歐拉
南開大學(xué) 張洪光
歐拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞爾；1783年9月18日卒于俄國(guó)圣彼得堡．?dāng)?shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)．
歐拉的祖先原來居住在瑞士東北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城——林道．16世紀(jì)末，他的曾祖父漢斯·喬治·歐拉(HansGeorg Euler)帶領(lǐng)全家順萊茵河而下，遷居巴塞爾．這個(gè)家族幾代人多為手藝勞動(dòng)者．歐拉的父親保羅·歐拉(Paul Euler)則畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)神學(xué)系，是基督教新教的牧師．1706年，保羅與另一位牧師的女兒瑪格麗特·勃魯克(Margarete Brucker)結(jié)婚．翌年春，歐拉降生．1708年，保羅舉家遷居巴塞爾附近的村莊——里亨(Riehen)．歐拉就在這田園靜謐的鄉(xiāng)村度過他的童年．
歐拉的父親很喜愛數(shù)學(xué)．還在大學(xué)讀書時(shí)，他就常去聽雅格布·伯努利(Jakob Bernouli)的數(shù)學(xué)講座．他親自對(duì)歐拉進(jìn)行包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的啟蒙教育，并盼望兒子成為教門的后起之秀．賢惠的母親為了使歐拉及時(shí)受到良好的學(xué)校教育，把他送到巴塞爾外祖母家生活了幾年，入那里的一所文科中學(xué)念書．可是，這所學(xué)校不教數(shù)學(xué)．勤勉好學(xué)的歐拉獨(dú)自隨業(yè)余數(shù)學(xué)家J．伯克哈特(Bu-rckhart)學(xué)習(xí)．歐拉聰敏早慧，酷愛數(shù)學(xué)．他曾下苦功研讀C．魯?shù)婪?Rudolf)的《代數(shù)學(xué)》(Algebra，1553)達(dá)數(shù)年之久．
1720年秋，年僅13歲的歐拉進(jìn)了巴塞爾大學(xué)文科．當(dāng)時(shí)，約翰·伯努利(Johann Bernoulli)任該校數(shù)學(xué)教授．他每天講授基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，同時(shí)還給那些有興趣的少數(shù)高材生開設(shè)更高深的數(shù)學(xué)、物理學(xué)講座．歐拉是約翰·伯努利的最忠實(shí)的聽眾．他勤奮地學(xué)習(xí)所有的科目，但仍不滿足．歐拉后來在自傳中寫道：“……不久，我找到了一個(gè)把自己介紹給著名的約翰·伯努利教授的機(jī)會(huì)．……他確實(shí)忙極了，因此斷然拒絕給我個(gè)別授課．但是，他給了我許多更加寶貴的忠告，使我開始獨(dú)立地學(xué)習(xí)更困難的數(shù)學(xué)著作，盡我所能努力地去研究它們．如果我遇到什么障礙或困難，他允許我每星期六下午自由地去找他，他總是和藹地為我解答一切疑難……無(wú)疑，這是在數(shù)學(xué)學(xué)科上獲得成功的最好的方法．”約翰的兩個(gè)兒子尼吉拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II)、丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)，也成了歐拉的摯友．
1722年夏，歐拉在巴塞爾大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位．翌年，他又獲哲學(xué)碩士學(xué)位．但授予這一學(xué)位是在1724年6月8日的會(huì)議上正式通告的．此前，他為了滿足父親的愿望，于1723年秋又入神學(xué)系．他在神學(xué)、希臘語(yǔ)、希伯萊語(yǔ)方面的學(xué)習(xí)并不成功．他仍把大部分時(shí)間花在數(shù)學(xué)上．盡管歐拉后來徹底放棄了當(dāng)牧師的念頭，但他卻終生虔誠(chéng)地信奉基督教．
歐拉18歲開始其數(shù)學(xué)研究生涯．1726年，他在《博學(xué)者》(Acta eruditorum)上發(fā)表了關(guān)于在有阻尼的介質(zhì)中的等時(shí)曲線結(jié)構(gòu)問題的文章．翌年，他研究彈道問題和船桅的最佳布置問題．后者是這年巴黎科學(xué)院的有獎(jiǎng)?wù)魑恼n題．歐拉的論文雖未獲得獎(jiǎng)金，卻得到了榮譽(yù)提名．此后，從1738年至1772年，歐拉共獲得巴黎科學(xué)院12次獎(jiǎng)金．
在瑞士，當(dāng)時(shí)青年數(shù)學(xué)家的工作條件非常艱難，而俄國(guó)新組建的圣彼得堡科學(xué)院正在網(wǎng)羅人才．1725年秋，尼古拉第二和丹尼爾應(yīng)聘前往俄國(guó)，并向當(dāng)局力薦歐拉．翌年秋，歐拉在巴塞爾收到圣彼得堡科學(xué)院的聘書，請(qǐng)他去那里任生理學(xué)院士助理．然而，故土難離．歐拉開始用數(shù)學(xué)和力學(xué)方法研究生理學(xué)，同時(shí)仍期望在巴塞爾大學(xué)找到職位．恰好，這時(shí)該校有一位物理學(xué)教授病故，出現(xiàn)空席．歐拉向?qū)W校教授評(píng)議會(huì)遞交了“論聲音的物理學(xué)原理”(Dissertatio physica de sono，1727)的論文，爭(zhēng)取教授資格．在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，未滿20歲的歐拉落選了．1727年4月5日歐拉告別故鄉(xiāng)，5月24日抵達(dá)圣彼得堡．從那時(shí)起，歐拉的一生和他的科學(xué)工作都緊密地同圣彼得堡科學(xué)院和俄國(guó)聯(lián)系在一起．他再也沒有回過瑞士．但是，出于對(duì)祖國(guó)的深厚感情，歐拉始終保留了他的瑞士國(guó)籍．
歐拉到達(dá)圣彼得堡后，立即開始研究工作．不久，他獲得了在真正擅長(zhǎng)的領(lǐng)域從事研究工作的機(jī)會(huì)．1727年，他被任命為科學(xué)院數(shù)學(xué)部助理院士．他撰寫的關(guān)于圣彼得堡科學(xué)院學(xué)術(shù)會(huì)議情況的調(diào)查報(bào)告，也開始在《圣彼得堡科學(xué)院匯刊(1727)》(Comme－ntarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae)第二卷(St．Petersburg，1729)上發(fā)表．盡管那些年俄國(guó)政局動(dòng)蕩，圣彼得堡科學(xué)院還處在艱難歲月之中，但周圍的學(xué)術(shù)氣氛對(duì)發(fā)展歐拉的才華特別有利．那里聚集著一群杰出的科學(xué)家，如數(shù)學(xué)家C．哥德巴赫(Goldbach)、丹尼爾·伯努利，力學(xué)家J．赫爾曼(Hermann)，三角學(xué)家F．梅爾(Maier)，天文學(xué)家和地理學(xué)家J．N．德萊索(Delisle)等．他們同歐拉的個(gè)人情誼與共同的科學(xué)興趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，歐拉成為物理學(xué)教授．1733年，丹尼爾·伯努利返回巴塞爾后，歐拉接替了他的數(shù)學(xué)教授職務(wù)，擔(dān)負(fù)起領(lǐng)導(dǎo)科學(xué)院數(shù)學(xué)部的重任．這對(duì)親密的朋友，以后通信40多年，促進(jìn)了科學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)和發(fā)展．是年冬，歐拉和科學(xué)院預(yù)科學(xué)校的美術(shù)教師、瑞士畫家G．葛塞爾(Gsell)的女兒柯黛林娜·葛塞爾(Katharina Gsell)結(jié)婚．翌年，其長(zhǎng)子約翰·阿爾勃蘭克(Johann Albrecht)降生．1740年，卡爾(Karl)出世．恬靜、美滿的家庭生活伴隨著歐拉科學(xué)生涯的第一個(gè)黃金時(shí)期．
還在圣彼得堡科學(xué)院建成之初，俄國(guó)政府就責(zé)成它除了進(jìn)行純科學(xué)研究之外，還要培養(yǎng)、訓(xùn)練俄國(guó)科學(xué)家．為此，科學(xué)院建立了一所大學(xué)和預(yù)科學(xué)校，大學(xué)辦了近50年，預(yù)科學(xué)校一直辦到1805年．俄國(guó)政府還委托科學(xué)院制定俄國(guó)的地圖，解決各種具體技術(shù)問題．歐拉積極參與并領(lǐng)導(dǎo)了科學(xué)院的這些工作．從1733年起，他和德萊索成功地進(jìn)行了地圖研究．從30年代中期開始，歐拉以極大的精力研究航海和船舶建造問題．這些問題對(duì)于俄國(guó)成為海上強(qiáng)國(guó)，是具有重大意義的．歐拉是各種技術(shù)委員會(huì)的成員，又擔(dān)任科學(xué)院考試委員會(huì)委員．他既要為科學(xué)院的期刊撰稿、審稿，還要為附屬大學(xué)、預(yù)科學(xué)校準(zhǔn)備講義、開設(shè)講座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在數(shù)學(xué)研究上．
在圣彼得堡的頭14年間，歐拉以無(wú)可匹敵的工作效率在分析學(xué)、數(shù)論和力學(xué)等領(lǐng)域作出許多輝煌的發(fā)現(xiàn)．截止1741年，他完成了近90種著作，公開發(fā)表了55種，其中包括1936年完成的兩卷本《力學(xué)或運(yùn)動(dòng)科學(xué)的分析解說》(Mechanica sive motus scie－ntia analytice exposita)．他的研究碩果累累，聲望與日俱增，贏得了各國(guó)科學(xué)家的尊敬．歐拉從前的導(dǎo)師約翰·伯努利早在1728年的信中就稱他為“最善于學(xué)習(xí)和最有天賦的科學(xué)家”，1737年又稱他是“最馳名和最博學(xué)的數(shù)學(xué)家”．歐拉后來謙遜地說：“……我和所有其他有幸在俄羅斯帝國(guó)科學(xué)院工作過一段時(shí)間的人都不能不承認(rèn)，我們應(yīng)把所獲得的一切和所掌握的一切歸功于我們?cè)谀莾簱碛械挠欣麠l件．”
由于過度的勞累，1738年，歐拉在一場(chǎng)疾病之后右眼失明了．但他仍舊堅(jiān)韌不拔地工作．他熱愛科學(xué)，熱愛生活．他非常喜歡孩子(他一生有過13個(gè)孩子，除了5個(gè)以外都夭亡了)．寫論文時(shí)往往膝上抱著嬰兒，大一點(diǎn)的孩子則繞膝戲耍．他酷愛音樂．在撰寫艱深的數(shù)學(xué)論文時(shí)，他的“那種輕松自如是令人難以置信的”．
1740年秋冬，俄國(guó)政局再度驟變，形勢(shì)極不安定．歐拉此時(shí)與圣彼得堡科學(xué)院粗魯、專橫的顧問J．D．舒馬赫爾(Schuma－cher)也產(chǎn)生了磨擦．為了使自己的科學(xué)事業(yè)不受損害，歐拉希望尋求新的出路．恰好這年夏天繼承了普魯士王位的腓特烈(Frederick)大帝決定重振柏林科學(xué)院，他熱情邀請(qǐng)歐拉去柏林工作．歐拉接受了邀請(qǐng)．1741年6月19日，歐拉啟程離開圣彼得堡，7月25日抵達(dá)柏林．
柏林科學(xué)院是在G．W．萊布尼茨(Leibniz)的大力推動(dòng)下于1700年創(chuàng)立的，后來它衰落了．歐拉在柏林25年．那時(shí)，他精力旺盛，不知疲倦地工作．他鼎力襄助院長(zhǎng)P．莫佩蒂(Maupe－rtuis)，在恢復(fù)和發(fā)展柏林科學(xué)院的工作中發(fā)揮了重大作用．
在柏林，歐拉任科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任．他是科學(xué)院的院務(wù)委員、圖書館顧問和學(xué)術(shù)著作出版委員會(huì)委員．他還擔(dān)負(fù)了其他許多行政事務(wù)，如管理天文臺(tái)和植物園，提出人事安排，監(jiān)督財(cái)務(wù)，以及歷書和地圖的出版工作．當(dāng)院長(zhǎng)莫佩蒂外出期間，歐拉代理院長(zhǎng)．1759年莫佩蒂去世后，雖然沒有正式任命歐拉為院長(zhǎng)，但他實(shí)際上一直領(lǐng)導(dǎo)著科學(xué)院的工作．歐拉和莫佩蒂的友誼，使歐拉能對(duì)柏林科學(xué)院的一切活動(dòng)，尤其是在選拔院士方面，施加巨大影響．
歐拉還擔(dān)任過普魯士政府關(guān)于安全保險(xiǎn)、退休金和撫恤金等問題的顧問，并為腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，設(shè)計(jì)改造費(fèi)諾運(yùn)河(1749年)，曾主管普魯士皇家別墅水力系統(tǒng)管系和泵系的設(shè)計(jì)工作．他和德國(guó)許多大學(xué)的教授保持廣泛聯(lián)系，對(duì)大學(xué)教科書的編寫和數(shù)學(xué)教學(xué)起了促進(jìn)作用．
在此期間，歐拉一直保留著圣彼得堡科學(xué)院院士資格，領(lǐng)取年俸．受該院委托，歐拉為其編纂院刊的數(shù)學(xué)部分，介紹西歐的科學(xué)思想，購(gòu)買書籍和科學(xué)儀器，同時(shí)推薦研究人員和課題．他在培養(yǎng)俄國(guó)的科學(xué)人才方面起了重大的作用．他還經(jīng)常把自己的學(xué)術(shù)論文寄往圣彼得堡．他的論文約有一半是用拉丁文在圣彼得堡發(fā)表的，另一半用法文在柏林出版．另外，他還先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員(1749年)、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員(1753年)及巴黎科學(xué)院院士(1755年)．
柏林時(shí)期是歐拉科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期，其研究范圍迅速擴(kuò)大．他與J．K．達(dá)朗貝爾(D’Alembert)和丹尼爾·伯努利展開的學(xué)術(shù)競(jìng)爭(zhēng)奠定了數(shù)學(xué)物理的基礎(chǔ)；他與A．克萊羅(Clairaut)和達(dá)朗貝爾一起推進(jìn)了月球和行星運(yùn)動(dòng)理論的研究．與此同時(shí)，歐拉詳盡地闡述了剛體運(yùn)動(dòng)理論，創(chuàng)立了流體動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，深入地研究了光學(xué)和電磁學(xué)，以及消色差折射望遠(yuǎn)鏡等許多技術(shù)問題．他寫了大約380篇(部)論著，出版了其中的275種．內(nèi)有分析學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、火炮和彈道學(xué)、船舶建造和航海等方面的幾部巨著，其中1748年出版的兩卷集著作《無(wú)窮分析引論》(Introdu－ctio in analysin infinitorum)在數(shù)學(xué)史上占有十分重要的地位．
歐拉參加了18世紀(jì)40年代關(guān)于萊布尼茨和C．沃爾夫(Wolff)的單子論的激烈辯論．歐拉在自然哲學(xué)方面接近R．笛卡兒(Descartes)的機(jī)械唯物主義，他和莫佩蒂都是單子論的“勁敵”．1751年，S．柯尼格(K nig)以聳入聽聞的新論據(jù)，發(fā)表了幾篇批評(píng)莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．歐拉翌年撰文反駁，并同莫佩蒂用更淺顯的語(yǔ)言來解釋最小作用原理．除了這些哲學(xué)和科學(xué)的爭(zhēng)論以外，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展來說，歐拉參加了另外三場(chǎng)更重要的爭(zhēng)論：與達(dá)朗貝爾關(guān)于負(fù)數(shù)對(duì)數(shù)的爭(zhēng)論；與達(dá)朗貝爾、丹尼爾·伯努利關(guān)于求解弦振動(dòng)方程的爭(zhēng)論；與J．多倫(Dollond)關(guān)于光學(xué)問題的爭(zhēng)論．
1759年莫佩蒂去世后，歐拉在普魯士國(guó)王的直接監(jiān)督之下負(fù)責(zé)柏林科學(xué)院的工作．歐拉同腓特烈大帝之間的關(guān)系并不融洽．1763年，當(dāng)獲悉腓特烈想把院長(zhǎng)的職務(wù)授予達(dá)朗貝爾后，歐拉開始考慮離開柏林．圣彼得堡科學(xué)院立即遵照卡捷琳娜(Catherine)女皇旨意寄給歐拉聘書，誠(chéng)摯希望他重返圣彼得堡．但是達(dá)朗貝爾拒絕長(zhǎng)期移居柏林，使腓特烈一度推遲就院長(zhǎng)入選作最后的決定．“七年戰(zhàn)爭(zhēng)”之后，腓特烈粗暴地干涉歐拉對(duì)柏林科學(xué)院的事務(wù)管理．1765年至1766年，在財(cái)政問題上，歐拉與腓特烈之間引發(fā)了一場(chǎng)嚴(yán)重的沖突．他懇請(qǐng)普魯士國(guó)王同意他離開柏林．1766年7月28日，歐拉重返圣彼得堡，他的三個(gè)兒子和兩個(gè)女兒也回到俄國(guó)，伴于身旁．
歐拉的家安置在涅瓦河畔離圣彼得堡科學(xué)院不遠(yuǎn)的舒適之處．他的長(zhǎng)子阿爾勃蘭克這年成為科學(xué)院院士、物理學(xué)部教授，三年后又被任命為科學(xué)院的終身秘書．1766年，歐拉父子還同時(shí)當(dāng)選為科學(xué)院執(zhí)行委員．歐拉的工作是順心的，然而，厄運(yùn)也接二連三地向他襲來．回到圣彼得堡不久，一場(chǎng)疾病使歐拉的左眼幾乎完全失明．這時(shí)，他已經(jīng)不能再看書了．只能勉強(qiáng)看清大字體的提綱，用粉筆在石板上寫很大的字母．1771年，歐拉雙目完全失明．這一年，圣彼得堡的一場(chǎng)特大火災(zāi)又使歐拉的住所和財(cái)產(chǎn)付之一炬，僅搶救出歐拉及其手稿． 1773年 11月，歐拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父異母的妹妹莎洛姆·葛塞爾(SalomeGsell)成為歐拉的第二個(gè)妻子．
歐拉晚年遭受雙目失明、火災(zāi)和喪偶的沉重打擊，他仍不屈不撓地奮斗，絲毫沒有減少科學(xué)活動(dòng)．在他的周圍，有一群主動(dòng)的合作者，包括：他的兒子阿爾勃蘭克和克利斯朵夫(Christoph)； W．L．克拉夫特(Krafft)院士和A．J．萊克塞爾(Lexell)院士；兩位年輕的助手N．富斯(Fuss)和M．E．哥洛文(Golovin)．歐拉和他們一起討論著作出版的總計(jì)劃，有時(shí)簡(jiǎn)要地口述研究成果．他們則使歐拉的設(shè)想變得更加明確，有時(shí)還為歐拉的論著編纂例證．據(jù)富斯自己統(tǒng)計(jì)，七年內(nèi)他為歐拉整理論文250篇，哥洛文整理了70篇．歐拉非常尊重別人的勞動(dòng)．1772年出版的《月球運(yùn)動(dòng)理論和計(jì)算方法》(Theoria motuum lunae， nova methodoPertractata)是在阿爾勃蘭克、克拉夫特和萊克塞爾的幫助下完成的，歐拉把他們的名字都印在這本書的扉頁(yè)上．
重返圣彼得堡后，歐拉的著作出版得更多．他的論著幾乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《積分學(xué)原理》(Institutiones calculi integralis， 1768—1770)和《關(guān)于物理學(xué)和哲學(xué)問題給德韶公主的信》(Lettresà une princesse d’AllemagneSur divers sujets de physique et de philosophie， 1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者產(chǎn)生于歐拉給普魯士國(guó)王的侄女的授課內(nèi)容．這本文筆優(yōu)雅、通俗易懂的科學(xué)著作出版后，很快就在歐洲翻譯成多種文字，暢銷各國(guó)，經(jīng)久不衰．歐拉是歷史上著作最多的數(shù)學(xué)家．
歐拉的多產(chǎn)也得益于他一生非凡的記憶力和心算能力．他70歲時(shí)還能準(zhǔn)確地回憶起他年輕時(shí)讀的荷馬史詩(shī)《伊利亞特》(Iliad)每頁(yè)的頭行和末行．他能夠背誦出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主要公式和前100個(gè)素?cái)?shù)的前六次冪．M．孔多塞(Condorcet)講述過一個(gè)例子，足以說明歐拉的心算本領(lǐng)：歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)頗為復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)相加起來，算到第50位數(shù)字時(shí)因相差一個(gè)單位而產(chǎn)生了爭(zhēng)執(zhí)．為了確定誰(shuí)正確，歐拉對(duì)整個(gè)計(jì)算過程進(jìn)行心算，最后把錯(cuò)誤找出來了．
1783年9月18日，歐拉跟往常一樣，度過了這一天的前半天．他給孫女輔導(dǎo)了一節(jié)數(shù)學(xué)課，用粉筆在兩塊黑板上作了有關(guān)氣球運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，然后同萊克塞爾和富斯討論兩年前F．W．赫歇爾(Herschel)發(fā)現(xiàn)的天王星的軌道計(jì)算．大約下午5時(shí)，歐拉突然腦出血，他只說了一句“我要死了”，就失去知覺．晚上11時(shí)，歐拉停上了呼吸．
歐拉逝世不久，富斯和孔多塞分別在圣彼得堡科學(xué)院和巴黎科學(xué)院的追悼會(huì)上致悼詞．孔多塞在悼詞的結(jié)尾耐人尋味地說：“歐拉停止了生命，也停止了計(jì)算．”
歐拉的菩作在他生前已經(jīng)有多種輸入了中國(guó)，其中包括著名的、1748年初版本的《無(wú)窮分析引論》．這些著作有一部分曾藏于北京北堂圖書館．它們是18世紀(jì)40年代由圣彼得堡科學(xué)院贈(zèng)給北京耶穌會(huì)或北京南堂耶穌學(xué)院的．這也是中俄數(shù)學(xué)早期交流的一個(gè)明證．19世紀(jì)70年代，清代數(shù)學(xué)家華蘅芳和英國(guó)人傅蘭雅(John Fryer)合譯的《代數(shù)術(shù)》(1873)和《微積溯源》(1874)，都介紹了歐拉學(xué)說．在此前后，李善蘭和偉烈亞力(Alexander Wylie)合譯的《代數(shù)學(xué)》(1859)、趙元益譯的《光學(xué)》(1876)、黃鐘駿的《疇人傳四編》(1898)等著作也記載了歐拉學(xué)說或歐拉的事跡(詳見文獻(xiàn)［32］)．中國(guó)人民是很早就熟悉歐拉的．歐拉不僅屬于瑞士，也屬于整個(gè)文明世界．著名數(shù)學(xué)史家A．П．尤什凱維奇(Юшкевич)說，人們可以借B．豐唐內(nèi)爾(Fontenelle)評(píng)價(jià)萊布尼茨的話來評(píng)價(jià)歐拉，“他是樂于看到自己提供的種子在別人的植物園里開花的人．”
在歐拉的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，其數(shù)學(xué)成就占據(jù)最突出的地位．他在力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等方面也閃現(xiàn)著耀眼的光芒．
數(shù) 學(xué)
歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的中心人物．他是繼I．牛頓(Newton)之后最重要的數(shù)學(xué)家之一．在歐拉的工作中，數(shù)學(xué)緊密地和其他科學(xué)的應(yīng)用、各種技術(shù)問題的應(yīng)用以及公眾的生活聯(lián)系在一起．他常常直接為解決力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、航海學(xué)、地理學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、流體力學(xué)、彈道學(xué)、保險(xiǎn)業(yè)和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)等問題提供數(shù)學(xué)方法．歐拉的這種面向?qū)嶋H的研究風(fēng)格，使得人們常說：應(yīng)用是歐拉研究數(shù)學(xué)的原因．其實(shí)，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用都十分愛好．作為一位數(shù)學(xué)家，歐拉把數(shù)學(xué)用到整個(gè)物理領(lǐng)域中去．他總是首先試圖用數(shù)學(xué)形式表示物理問題，為解決物理問題而提出一種數(shù)學(xué)思想并系統(tǒng)地發(fā)展和推廣這一思想．因此，歐拉在這個(gè)領(lǐng)域中的杰出成就作為一個(gè)整體，可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以系統(tǒng)的闡述．他酷愛抽象的數(shù)學(xué)問題，非常著迷于數(shù)論就是例子．歐拉的數(shù)學(xué)著作在其各種科學(xué)著作中所占的比重也明顯地說明了這一點(diǎn)．現(xiàn)代版的《歐拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷(74部分；近況詳見文獻(xiàn)［1］)中有29卷屬于純粹數(shù)學(xué)．
歐拉在連續(xù)和離散數(shù)學(xué)這兩方面都同樣有力，這是他的多方面天才的最顯著的特點(diǎn)之一．但是，在他的數(shù)學(xué)研究中，首推第一的是分析學(xué)．這同他所處的時(shí)代，特別是當(dāng)時(shí)自然科學(xué)對(duì)分析學(xué)的迫切需要有關(guān)．歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布尼茨學(xué)派的分析學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行整理，為19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了基礎(chǔ)．他還把微分積分法在形式上進(jìn)一步發(fā)展到復(fù)數(shù)的范圍，并對(duì)偏微分方程、橢圓函數(shù)論、變分法的創(chuàng)立和發(fā)展留下先驅(qū)的業(yè)績(jī)．在《歐拉全集》中，有17卷屬于分析學(xué)領(lǐng)域．他被同時(shí)代的人譽(yù)為“分析的化身”．
歐拉的計(jì)算能力，特別是他的形式計(jì)算和形式變換的高超技巧，無(wú)與倫比．他始終不渝地探求既能簡(jiǎn)明應(yīng)用于計(jì)算，又能保證計(jì)算結(jié)果足夠準(zhǔn)確的算法．只是在19世紀(jì)開始的“注意嚴(yán)密性”方面，略顯不足．他沒有適當(dāng)?shù)刈⒁獍瑹o(wú)限過程的公式的收斂性和數(shù)學(xué)存在性．歐拉還是許多新的重要概念和方法的創(chuàng)造者．
這些概念和方法的重要價(jià)值，有時(shí)只是在他去世一個(gè)世紀(jì)甚至更長(zhǎng)的時(shí)間以后才被人們徹底理解．譬如，美籍華人數(shù)學(xué)家陳省身說過：“歐拉示性數(shù)是整體不變量的一個(gè)源泉．”
歐拉是在數(shù)學(xué)研究中善于用歸納法的大師．他用歸納法，也就是說，他憑觀察、大膽猜測(cè)和巧妙證明得出了許多重要的發(fā)現(xiàn)．但他告誡人們：“我們不要輕易地把觀察所發(fā)現(xiàn)的和僅以歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真．”歐拉從不用不完全的歸納來最后證明他提出的假定是正確的．他的研究結(jié)果本質(zhì)上是建立在嚴(yán)密的論證形式之上的．
歐拉采用了許多簡(jiǎn)明、精煉的數(shù)學(xué)符號(hào)．譬如，用e表示自然對(duì)數(shù)的底，f(x)表示函數(shù)，∫n表示數(shù)n的約數(shù)之和，△y，△2y…表示
號(hào)，等等．這些符號(hào)從18世紀(jì)一直沿用至今．
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，18世紀(jì)可以正確地稱為歐拉世紀(jì)．約翰·伯努利在給歐拉的一封信中說過：“我介紹高等分析的時(shí)候，它還是個(gè)孩子，而你正在把它帶大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告訴年輕的數(shù)學(xué)家們：“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們大家的老師．”歐拉對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響不限于那個(gè)時(shí)期．19世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．
羅巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常從歐拉的工作出發(fā)開展自己的工作．高斯說過：“歐拉的工作的研究將仍舊是對(duì)于數(shù)學(xué)不同范圍的最好學(xué)校，并且沒有任何別的可以替代它．”人們還可以從由切比雪夫奠基的圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派追溯歐拉開辟的眾多道路．
1．?dāng)?shù)論
古代希臘和中國(guó)的數(shù)學(xué)家研究過數(shù)的性質(zhì)．17世紀(jì)，P．de費(fèi)馬(Fermat)開辟了近代數(shù)論的道路．他提出了若干值得注意的算術(shù)定理，但幾乎未留下任何證明．歐拉的一系列成果奠定了作為數(shù)學(xué)中一個(gè)獨(dú)立分支的數(shù)論的基礎(chǔ)．
歐拉的著作有很大一部分同數(shù)的可除性理論有關(guān)．他很早就采用了同余概念．1736年，歐拉首先證明了數(shù)論中重要的費(fèi)馬小定理．1760
要的發(fā)現(xiàn)是二次互反律．它表述在1783年的一篇論文中，但未給予證明．這個(gè)定理的敘述實(shí)際上早已包含在歐拉以前寫的論文中了，只是未引起同時(shí)代人的注意．二次互反律是18世紀(jì)數(shù)論中的最富首創(chuàng)精神、可能引出最多成果的發(fā)現(xiàn)．后來，A．M．勒讓德(Legendre)重新發(fā)現(xiàn)并不完全地證明了它．高斯參考了歐拉、勒讓德的著作，于1801年發(fā)表了二次互反律的完整的證明．他把這個(gè)初等數(shù)論中至關(guān)重要的定理譽(yù)為“算術(shù)中的寶石”．二次互反律后來引起了許多數(shù)學(xué)家，如E．E．庫(kù)默爾(Kummer)、D．希爾伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人對(duì)代數(shù)數(shù)域中高次互反律的研究，出現(xiàn)了不少意義深刻的工作．1950年，I．R．沙法熱維奇(Shafarevich)建立了廣義互反律．
歐拉還致力于丟番圖(Diophantus)分析的研究．費(fèi)馬重新發(fā)現(xiàn)了求解方程x2-Ay2=1的問題(其中，A是整數(shù)但非平方數(shù))，J．沃利斯(Wallis)全部解出了這個(gè)問題．歐拉在1732—1733年的一篇論文中，誤稱其為佩爾(Pell)方程，這個(gè)名稱也就這樣固定下來了．1759年，
后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)開始對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行全面研
究．對(duì)費(fèi)馬關(guān)于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)沒有正整數(shù)解”的著名猜測(cè)(此處x，y，z均為整數(shù)，xyz≠0)，1753年歐拉證明 n=3時(shí)，它是正確的．歐拉的證明建立在無(wú)窮遞降法的基礎(chǔ)上，并利用了形如
(Vollst ndige Anleitung Zur Algebra， 1770，德文版)一書中詳盡地?cái)⑹隽诉@個(gè)證明．此書兩卷，最先以俄文發(fā)表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是關(guān)于丟番圖分析的研究。
歐拉用算術(shù)方法和代數(shù)方法研究上述問題，他還首先在數(shù)論中運(yùn)用分析方法，開解析數(shù)論之先河．他利用調(diào)和級(jí)數(shù)
的發(fā)散性，簡(jiǎn)單而巧妙地證明了素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無(wú)窮的歐幾里得定理．1737年，歐拉推出了下列著名的恒等式：
函數(shù)ζ(s)．1749年，歐拉應(yīng)用發(fā)散級(jí)數(shù)求和法和歸納法，發(fā)現(xiàn)了與ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有關(guān)的函數(shù)方程，即：對(duì)于實(shí)的s，有
黎曼后來重新發(fā)現(xiàn)并建立了這個(gè)函數(shù)方程，他是第一個(gè)定義ζ函數(shù)，也是第一個(gè)定義自變量為復(fù)值的ζ函數(shù)的科學(xué)家．19世紀(jì)和20世紀(jì)，ζ函數(shù)已成為解析數(shù)論最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿達(dá)馬(Hadama- rd)等人關(guān)于素?cái)?shù)分布的研究中更是如此．
歐拉還研究了數(shù)學(xué)常數(shù)以及同超越數(shù)論有關(guān)的重要問題．J．H．蘭伯特(Lambert)1768年證明e和π是無(wú)理數(shù)時(shí)，曾用連分?jǐn)?shù)表示e，但連分式是歐拉首先采用并奠定理論基礎(chǔ)的．1873年，C．埃爾米特(Hermite)證明e是超越數(shù)．1882年，F(xiàn)．林德曼(Lindemann)應(yīng)用歐拉公式eiπ=-1 (歐拉1728年發(fā)現(xiàn)的)，證明了π是超越數(shù)，因此，用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)正方形和已知圓面積相等是不可能的，從而解決了古希臘遺留下來的“化圓為方”問題．歐拉常數(shù)
的超越性的猜測(cè)，則至今尚未解決．
2．代數(shù)
17世紀(jì)，代數(shù)是人們興趣的一個(gè)重要中心．到了18世紀(jì)，它變成從屬于分析，人們很難把代數(shù)和分析互相區(qū)別開來．歐拉很早就把對(duì)數(shù)定義為指數(shù)，并于1728年在其一篇未發(fā)表的手稿中引入e作為自然對(duì)數(shù)的底．1732年，歐拉對(duì)G．卡爾達(dá)諾(Cardano)的三次方程解法作出了第一個(gè)完整的討論．他還試圖找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，誠(chéng)然這是徒勞的．1742年，歐拉在給尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有實(shí)系數(shù)的n次多項(xiàng)式都可以分解為實(shí)一次或?qū)嵍我蚴降亩ɡ恚淳哂衝個(gè)形如a＋bi的根．這是和代數(shù)基本定理等價(jià)的重要命題，先后由達(dá)朗貝爾和歐拉證明．他們的證明思路不同，但都不夠完全．19世紀(jì)有了更精確的證明．前述的歐拉《代數(shù)學(xué)入門》一書，是16世紀(jì)中期開始發(fā)展的代數(shù)學(xué)的一個(gè)系統(tǒng)總結(jié)．此書出版后，很快被譯成英文、荷蘭文、意大利文、法文等多種文字，對(duì)于19世紀(jì)和20世紀(jì)代數(shù)學(xué)教科書的編寫產(chǎn)生極大影響．
3．無(wú)窮級(jí)數(shù)
在17世紀(jì)建立微積分的同時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)也進(jìn)入了數(shù)學(xué)的實(shí)踐．18世紀(jì)是級(jí)數(shù)理論的形式發(fā)展時(shí)期．在歐拉的著作中，無(wú)窮級(jí)數(shù)起初主要用作解題的輔助手段，后來成為他研究的一個(gè)科目，實(shí)際知識(shí)達(dá)到了很高水平．前面提到的對(duì)著名的ζ函數(shù)的研究就是一個(gè)例子．其出發(fā)點(diǎn)是整數(shù)平方的倒數(shù)求和問題
伯努利兄弟、J．斯特靈(Stirling)和其他一些數(shù)學(xué)家都曾徒勞地探討過它．1735年，歐拉解決了一個(gè)普遍得多的問題，證明了對(duì)于任意偶數(shù)2K＞0，
ζ(2K)=a2kπ2k，
這里a2k是有理數(shù)，它后來分別通過歐拉-馬克勞林求和公式的系數(shù)與伯努利數(shù)來表示．歐拉還給出了當(dāng)2K＋1是前面幾
性質(zhì)至今尚不清楚．
歐拉大約在1732年發(fā)現(xiàn)了上述求和公式，他于1735年給出了證明．C．馬克勞林(Maclaurin)不謀而合地在幾年后又獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．這個(gè)公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特靈奠基的．歐拉的《微分學(xué)原理》(Introductio calculi differentialis， 1755)是有限差演算的第一部論著，他第一個(gè)引進(jìn)差分算子．借助于這個(gè)求和公式，1735年，歐拉把前述的歐拉常數(shù)γ的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第16位
γ=0.57721566…．
歐拉在大量地應(yīng)用冪級(jí)數(shù)時(shí)，還引進(jìn)了新的極其重要的傅里葉三角級(jí)數(shù)類．1744年他在給哥德巴赫的一封信中，談到了用三角級(jí)數(shù)表示代數(shù)函數(shù)的例子：
它發(fā)表在1755年的《微分學(xué)原理》中．此后，他又得到了其他的展開式．1777年，為了把一個(gè)給定函數(shù)展成在(0，π)區(qū)間上的余弦級(jí)數(shù)，歐拉又推出了傅里葉系數(shù)公式．歐拉的論文遲至1798年才發(fā)表．他采用的正是現(xiàn)行通用的逐項(xiàng)積分方法．J．B．J．傅里葉(Fourier)對(duì)歐拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．歐拉也不知克萊羅1759年的相應(yīng)工作．
歐拉還把函數(shù)展開式引入無(wú)窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在后來的解析函數(shù)一般理論中占有重要的地位．無(wú)窮級(jí)數(shù)、無(wú)窮乘積和連分式之間許多相互變換的方法也是歐拉發(fā)現(xiàn)的．
形式觀點(diǎn)在18世紀(jì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的工作中占統(tǒng)治地位．級(jí)數(shù)被看成是無(wú)窮的多項(xiàng)式，并且就當(dāng)作多項(xiàng)式來處理，對(duì)其收斂和發(fā)散的問題是不太認(rèn)真對(duì)待的．歐拉多少意識(shí)到收斂性的重要，他也看到了關(guān)于發(fā)散級(jí)數(shù)的某些困難，特別是用它們進(jìn)行計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的困難．為了尋求收斂的一般理論，歐拉確信且著手進(jìn)行建立發(fā)散級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槭諗考?jí)數(shù)的法則這一艱苦的工作．為此，他對(duì)級(jí)數(shù)的和這一概念提出了新的更廣泛的定義．他還提出兩種求和法．這些豐富的思想，對(duì)19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)散級(jí)數(shù)理論中的兩個(gè)主題，即漸近級(jí)數(shù)理論和可和性的概念產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響．
4．函數(shù)概念
18世紀(jì)中葉，分析學(xué)領(lǐng)域有許多新的發(fā)現(xiàn)，其中不少是歐拉自己的工作．它們系統(tǒng)地概括在歐拉的《無(wú)窮分析引論》(圖1)、《微分學(xué)原理》和《積分學(xué)原理》組成的分析學(xué)三部曲中．這三部書是分析學(xué)發(fā)展的里程碑式的著作．它們至今饒有興味，尤其《無(wú)窮分析引論》的第一卷更是如此．專家們可以從這些著作中追尋分析學(xué)許多富有成果的方法的發(fā)展足跡．
圖1 《無(wú)窮分析引論》的扉頁(yè)，洛桑，1948年
《無(wú)窮分析引論》共兩卷，它是第一本溝通微積分與初等分析的書．在這部書中，歐拉第一次清晰地論述了數(shù)學(xué)分析是研究函數(shù)的科學(xué)，并對(duì)函數(shù)概念作了更加透徹的研究．他一開頭，就把函數(shù)定義為由一個(gè)變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式．在這一點(diǎn)上，他繼承了約翰·伯努利的思想．歐拉寫道，函數(shù)間的原則區(qū)別在于組成這些函數(shù)的變量與常量的組合法不同．他在書中給出了現(xiàn)今還廣泛應(yīng)用的函數(shù)的分類．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)，單值函數(shù)與多值函數(shù)．他按照自己和所有同時(shí)代的人的經(jīng)驗(yàn)，堅(jiān)信所有的函數(shù)都能展成級(jí)數(shù)．歐拉認(rèn)為函數(shù)的自變量不僅可以取實(shí)值，也可以是虛值，這一見解極其重要．
在歐拉、達(dá)朗貝爾和丹尼爾·伯努利等許多數(shù)學(xué)家卷入的關(guān)于弦振動(dòng)問題的研究中，發(fā)生了關(guān)于函數(shù)概念的爭(zhēng)論．它促使歐拉去推廣自己的函數(shù)概念．1755年，歐拉在《微分學(xué)原理》一書中給函數(shù)下了一個(gè)新定義：“如果某些量這樣地依賴于另一些量：當(dāng)后者改變時(shí)它經(jīng)受變化，那么稱前者為后者的函數(shù)．”不過，在《無(wú)窮分析引論》中，歐拉就已把函數(shù)當(dāng)作對(duì)應(yīng)值加以論述．
5．初等函數(shù)
《無(wú)窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函數(shù)論．其中，第八章研究圓函數(shù)，第一次闡述了三角函數(shù)的解析理論，并且給出了棣莫弗(de Moivre)公式
e±xi=cosx±isinx
的一個(gè)推導(dǎo)．雖然R．柯特斯(Cotes)在1714年發(fā)表了這個(gè)公式且與歐拉給出的略有不同，但只有歐拉才使該公式得到了廣泛的應(yīng)用．歐拉在《無(wú)窮分析引論》中研究了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，他給出著名的表達(dá)式
慮了正自變量的對(duì)數(shù)函數(shù)．1751年，歐拉發(fā)表了完備的復(fù)數(shù)理論．他斷言：對(duì)正實(shí)數(shù)而言，對(duì)數(shù)只有一個(gè)實(shí)值，其余都是虛值；但對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)或虛數(shù)而言，對(duì)數(shù)的一切值都是虛的．歐拉對(duì)這個(gè)問題的成功解答，實(shí)際上結(jié)束了此前1747—1748年在萊布尼茨和約翰·伯努利之間，達(dá)朗貝爾和歐拉本人之間通過信件進(jìn)行的關(guān)于負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)的爭(zhēng)論．但他的工作當(dāng)時(shí)并未被人們接受．
6．單復(fù)變函數(shù)
通過對(duì)初等函數(shù)的研究，達(dá)朗貝爾和歐拉在1747—1751年間先后得到了(用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)表達(dá)的)復(fù)數(shù)域關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和超越運(yùn)算封閉的結(jié)論．他們兩人還在解析函數(shù)的一般理論方面取得了最初的進(jìn)展．1752年，達(dá)朗貝爾在研究流體力學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)了把解析函數(shù)u(x，y)＋iv(x，y)的實(shí)部和虛部連結(jié)在一起的方程．177年，歐拉在提交圣彼得堡科學(xué)院的一篇論文中推出了同樣的方程
其要點(diǎn)是借助于虛代換z=x＋iy，利用實(shí)函數(shù)去計(jì)算復(fù)函數(shù)的積分，展
歐拉還借助于保角映射把復(fù)變解析函數(shù)用于理論制圖學(xué)等方面的研究．他在1768年的一篇論文中，利用復(fù)變函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種從一個(gè)平面到另一個(gè)平面的保角映射的表示方法．1775年，他又證明球面不可能全等地映入平面．這里，他再一次用了復(fù)變函數(shù)而且討論了相當(dāng)一般的保角表示．
歐拉的這些思想，19世紀(jì)在柯西、黎曼闡發(fā)解析函數(shù)的一般理論時(shí)，都獲得了深入的發(fā)展．譬如，上述達(dá)朗貝爾和歐拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的．
7．微積分學(xué)
歐拉的《微分學(xué)原理》和《積分學(xué)原理》二書對(duì)當(dāng)時(shí)的微積分方法作了最詳盡、最有系統(tǒng)的解說，他以其眾多的發(fā)現(xiàn)豐富了無(wú)窮小分析的這兩個(gè)分支．
在《微分學(xué)原理》中，歐拉詳盡地研究了變量替換下的微分公式．他在1734年的一篇論文中證明，若z=f(x，y)，則
導(dǎo)出了函數(shù)f(x，y)恰當(dāng)微分的必要條件．1736年，他又揭示了關(guān)于齊次函數(shù)的定理，即若z是x和y的n次齊次函數(shù)，則
他還就函數(shù)f(x)和f(x，y)的極值問題，得到許多重要的結(jié)果．
歐拉在《積分學(xué)原理》第一卷中，用相當(dāng)現(xiàn)代的方式敘述了不定積分的方法．他創(chuàng)造了“歐拉代換”等許多新方法．他計(jì)算了許多困難的定積分，進(jìn)一步奠定了特殊函數(shù)論的基礎(chǔ)．例如，1729年歐拉就研究了序列1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函數(shù)和Γ函數(shù)，繼而還發(fā)現(xiàn)了B函數(shù)和Γ函數(shù)的許多性質(zhì)，如：
在橢圓積分理論上，歐拉的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了加法定理．1770年他對(duì)二重定積分有了清楚的概念，還給出了用累次積分計(jì)算這種積分的程序．
《微分學(xué)原理》和《積分學(xué)原理》是歐拉那個(gè)時(shí)代的標(biāo)準(zhǔn)課本．他的形式化方法使微積分從幾何中解放出來，從而使它建立在算術(shù)和代數(shù)的基礎(chǔ)上．這至少為后來基于實(shí)數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路．
8．微分方程
《積分學(xué)原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏微分方程理論方面的眾多發(fā)現(xiàn)．他和其他數(shù)學(xué)家在解決力學(xué)、物理問題的過程中創(chuàng)立了微分方程這門學(xué)科．
在常微分方程方面，歐拉在1743年發(fā)表的論文中，用代換y=ekx給出了任意階常系數(shù)線性齊次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名詞．1753年，他又發(fā)表了常系數(shù)非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數(shù)逐次降低．歐拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星軌道攝動(dòng)的著作中應(yīng)用過常數(shù)變易法．他在1734—1735年領(lǐng)會(huì)了積分因子的概念，提供一個(gè)方法，并在1768—1770年的工作中廣泛地發(fā)展了積分因子法，把它應(yīng)用于許多一階微分方程類型，還推廣到高階方程．歐拉對(duì)黎卡提(Riccati)方程的性質(zhì)多有研究．1768年，他給出了一個(gè)從特殊積分鑒別奇解的判別法．這一年，歐拉在其有關(guān)月球運(yùn)行理論的著作中，創(chuàng)立了廣泛用于求帶有初值條件x=x0，y=y0的方程
的近似解的方法，次年又把它推廣到二階方程．這個(gè)現(xiàn)稱“歐拉折線法”的方法，為19世紀(jì)柯西關(guān)于解的存在性的嚴(yán)格證明和數(shù)值計(jì)算提供了重要途徑．
歐拉在18世紀(jì)30年代就開始了對(duì)偏微分方程的研究．他在這方面的最重要的工作，是關(guān)于二階線性方程的．?dāng)?shù)學(xué)物理中的許多問題都可以歸結(jié)為二階線性方程．弦振動(dòng)問題是一個(gè)著名的例子．1747年，達(dá)朗貝爾首次建立了弦振動(dòng)方程
得到形如兩個(gè)任意函數(shù)之和的解：
歐拉隨即對(duì)達(dá)朗貝爾的方法作了進(jìn)一步研究．他在允許什么函數(shù)可以作為初始曲線，因而也可以作為偏微分方程的解的問題上，有全然不同的想法．于是，這兩位數(shù)學(xué)家，還有丹尼爾·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些數(shù)學(xué)家，都卷進(jìn)了一場(chǎng)曠日持久的激烈論戰(zhàn)，延續(xù)了半個(gè)多世紀(jì)，直到傅里葉的《熱的分析理論》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)發(fā)表為止．其間，歐拉把特征線法發(fā)展得更加完善了．歐拉還在流體動(dòng)力學(xué)和鼓膜振動(dòng)、管內(nèi)空氣運(yùn)動(dòng)等問題中接觸到數(shù)學(xué)物理方程．例如，位勢(shì)方程
最早就出現(xiàn)在他1752年關(guān)于流體運(yùn)動(dòng)的論文中．1766年，歐拉從圓膜振動(dòng)問題得到后來所稱的貝塞爾(Bassel)方程，并借助于貝塞爾函數(shù)Jn(x)來求解．
9．變分法
歐拉從1728年解決約翰·伯努利提議的測(cè)地線問題開始從事變分法的研究．1734年，他推廣了最速降線問題．然后，著手尋找關(guān)于這種問題的更一般的方法．1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(圖2)一書出版．這是變分學(xué)史上的里程碑，它標(biāo)志著變分法作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的誕生．該書廣泛使用了幾何論證．書中系統(tǒng)地總結(jié)了歐拉在18世紀(jì)30年代和40年代初的一些成果，其中，包括歐拉1736年成功證明的關(guān)于使積分
取極大或極小值的函數(shù)y(x)必須滿足的常微分方程
以及大量應(yīng)用的例子．這個(gè)以歐拉名字命名的方程，迄今仍是變分法的基本微分方程．
18世紀(jì)50年代中期，拉格朗日循著歐拉的思路和結(jié)果，從純分析方法的角度，創(chuàng)造了應(yīng)用于變分演算的新算法和新符號(hào)，得到了更完善的結(jié)果．歐拉隨后放棄了自己以前的說明，并對(duì)拉格朗日的方法作了詳細(xì)、清晰的解釋．歐拉認(rèn)為拉格朗日的方法是一種新的計(jì)算方法，并在自己的論文中正式將它命名為“變分法”(the calculus of variation)． 1770年，歐拉在《積分學(xué)原理》第三卷中把變分法應(yīng)用于具有常數(shù)限的二重積分的極值問題．其后不久，歐拉又提出了變分演算的另一種解釋方法．他早期變分法研究中使用的直接方法，一個(gè)半世紀(jì)以后，也在尋找變分問題及相應(yīng)的微分方程的精確解或近似解中獲得獨(dú)立的價(jià)值．
10．幾何學(xué)
18世紀(jì)，坐標(biāo)幾何得到廣泛的探討．歐拉在《無(wú)窮分析引論》第二卷中引入了曲線的參數(shù)表示．他從二次曲線的一般方程著手，超越同時(shí)代的人，對(duì)二次曲線理論的代數(shù)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．他用類比法研究三次曲線，還討論了高次平面曲線．但是，歐拉的主要貢獻(xiàn)是第一次在相應(yīng)的變換里應(yīng)用歐拉角，徹底地研究了二次曲面的一般方程．
在微分幾何方面，歐拉于1736年首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長(zhǎng)這一幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究．他將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對(duì)于弧長(zhǎng)的變化率．歐拉關(guān)于曲面測(cè)地線的研究是眾所周知的．然而，更重要的是他在曲面論方面的開拓性研究．1760年，歐拉在《關(guān)于曲面上曲線的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理論．這本著作是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，是微分幾何發(fā)展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他幾何學(xué)家后來的研究就是從曲面論開始的．18世紀(jì)60年代和70年代，歐拉繼續(xù)研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截線曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分條件．1775年，他還成功地重新闡述了空間曲線的一般理論．
歐拉對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究也具有第一流的水平．1735年，歐拉用簡(jiǎn)化(或理想化)的表示法解決了著名的哥尼斯堡七橋游戲問題(如圖3，有7座橋，問是否可一次走遍，不許重復(fù)也不許遺漏．)他得到具有拓?fù)湟饬x的河-橋圖的判斷法則，即現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)論中的歐拉定理．1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)．其中，有一條是：如果用V，E和F分別表示閉的凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有V-E＋F=2．次年他給出了這條性質(zhì)的一個(gè)證明．盡管100年后人們發(fā)現(xiàn)笛卡兒早就知道這一性質(zhì)，但是，第一個(gè)認(rèn)識(shí)V-E＋F這個(gè)“交錯(cuò)和”重要意義的人似乎是歐拉．他之所以對(duì)這一關(guān)系感興趣，是要用它來作多面體的分類．歐拉示性數(shù)V-E＋F以及由H．龐加萊(Poicaré)提出的在多維復(fù)形中的推廣是現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的主要不變量之一，陳省身言簡(jiǎn)意賅地說過：“歐拉示性數(shù)是大量幾何課題的源泉和出發(fā)點(diǎn)．”他用圖形(圖4)表示了這種關(guān)系．
力 學(xué)
歐拉在1736年的《力學(xué)》導(dǎo)言中，概述了對(duì)這門科學(xué)各個(gè)分支的巨大研究計(jì)劃．與其前輩采用綜合法、幾何法來研究力學(xué)不同，歐拉第一個(gè)意識(shí)到把分析方法引入力學(xué)的重要性．歐拉系統(tǒng)而成功地將分析學(xué)用于力學(xué)的全面研究．他的《力學(xué)或運(yùn)動(dòng)科學(xué)的分析解說》(圖5)的書名就清楚地表達(dá)了他的這一思想．歐拉在力學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有突出貢獻(xiàn)，他是剛體力學(xué)和流體力學(xué)的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人．
1．一般力學(xué)
《力學(xué)或運(yùn)動(dòng)科學(xué)的分析解說》研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，是用分析的方法來發(fā)展牛頓質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一本教科書．此書共分兩卷：第一卷研究質(zhì)點(diǎn)在真空中和有阻力的介質(zhì)中的自由運(yùn)動(dòng)；第二卷研究質(zhì)點(diǎn)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)．歐拉的這本著作與以往的著作迥然不同，他試圖通過定義和論證的結(jié)合，來證明力學(xué)是一門能一步一步推演出的許多命題的“合理的科學(xué)”．他所提供的基本概念和定律接近我們今天所知道的力學(xué)體系．他用解析形式給出了運(yùn)動(dòng)方程式，并確認(rèn)它們構(gòu)成了整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)．因此，具有重要的歷史意義．
1765年，歐拉的著作《剛體運(yùn)動(dòng)理論》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此書與上述《力學(xué)》相互關(guān)聯(lián)．歐拉得到了剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的最基本的結(jié)果，其中包括：剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可用三個(gè)角度，即歐拉角的變化來描述；剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度變化和外力矩的關(guān)系；定點(diǎn)剛體在不受外力矩時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及自由剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程等等．歐拉先用橢圓積分解決了剛體在重力下繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題的一種可積情形，即歐拉情形．此后一個(gè)多世紀(jì)，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡婭(Ковaлескaя)于1888年才相繼完成全部可積情況的工作，徹底解決了經(jīng)典力學(xué)中的這一著名難題．
2．流體力學(xué)
歐拉根據(jù)早期積累的經(jīng)驗(yàn)而寫成的兩卷集《航海學(xué)》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷論述浮體平衡的一般理論，第二卷將流體力學(xué)用于船舶．該書對(duì)浮體的穩(wěn)定和浮體在平衡位置附近的輕微擺動(dòng)問題作了獨(dú)創(chuàng)性的闡述．1752年至1755年，歐拉相繼寫了“流體運(yùn)動(dòng)原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇詳細(xì)闡述流體力學(xué)解析理論的權(quán)威論文，即“流體平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流體運(yùn)動(dòng)的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流體運(yùn)動(dòng)理論續(xù)篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．這三篇論文于1757年同時(shí)發(fā)表．歐拉創(chuàng)造性地用偏微分方程解決數(shù)學(xué)物理問題．他在這些論著中給出了流體運(yùn)動(dòng)的歐拉描述法，提出了理想流體模型，建立了流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，即連續(xù)介質(zhì)流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程，奠定了流體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)．此外，他還仔細(xì)地研究了管內(nèi)液體和氣體的運(yùn)動(dòng)，管內(nèi)空氣的振動(dòng)和聲音的傳播等許多具體問題，以及水力技術(shù)問題．
除了在一般力學(xué)、流體力學(xué)方面的上述工作外，歐拉在《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的方法》一書的附錄一中，應(yīng)丹尼爾·伯努利的請(qǐng)求，將變分演算應(yīng)用于研究彈性理論的某些問題．這些問題，歐拉從1727年就開始研究．這個(gè)附錄是第一部應(yīng)用數(shù)學(xué)來研究彈性理論的著作．歐拉率先從理論上研究了細(xì)壓桿的彈性穩(wěn)定問題．他提出了柱的穩(wěn)定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的臨界壓力公式．在同書的附錄二中，歐拉還與莫佩蒂幾乎同時(shí)獨(dú)立地得出了力學(xué)中的最小作用原理．歐拉為力學(xué)和物理學(xué)的變分原理的許多研究奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．這種變分原理至今仍在科研中應(yīng)用．
天文學(xué)
對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉．18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對(duì)天體運(yùn)行規(guī)律的探索極為重視．歐拉對(duì)天文學(xué)作過大量的研究，他最出色的著作都和天體力學(xué)有關(guān)．這些論著特別吸引當(dāng)時(shí)的科學(xué)家，并多次榮獲英、法等國(guó)的獎(jiǎng)金．
17世紀(jì)，牛頓提出著名的萬(wàn)有引力定律，從力學(xué)原理上解釋了月球運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．此后，“三體問題”，特別是太陽(yáng)、地球和月亮，成了18世紀(jì)科學(xué)家十分關(guān)注的重要課題．三體問題的攝動(dòng)理論最先應(yīng)用于月球的運(yùn)動(dòng)．歐拉、克萊羅等人曾試圖求得一般三體問題的精確解，終因困難至甚轉(zhuǎn)而采用近似方法．1745年，克萊羅和達(dá)朗貝爾用萬(wàn)有引力定律算得月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的近地點(diǎn)的周期為18年，而實(shí)際觀察則表明它應(yīng)該是9年．這曾使得人們從總體上對(duì)牛頓力學(xué)體系的正確性產(chǎn)生懷疑，甚至歐拉和其他一些科學(xué)家也認(rèn)為牛頓萬(wàn)有引力定律需要作某些修正．1749年，克萊羅確認(rèn)：理論值和觀察值之間的誤差，是由于求解相應(yīng)微分方程局限于第一次逼近所致．當(dāng)他作第二次逼近演算后，結(jié)果是令人滿意的．為此，歐拉向圣彼得堡科學(xué)院舉薦克萊羅的論文，使之獲得該院1752年獎(jiǎng)金．不過，歐拉仍不滿意并繼續(xù)研究．1753年，他的《月球運(yùn)動(dòng)理論》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一書出版．在這部著作中，歐拉闡述了求三體問題近似解的新穎方法，亦稱“歐拉第一月球理論”．他得到的數(shù)值結(jié)果也與牛頓萬(wàn)有引力理論一致．
歐拉的第一月球理論對(duì)當(dāng)時(shí)的天文學(xué)和航海事業(yè)產(chǎn)生了很重要的影響．1755年，格丁根大學(xué)的天文學(xué)家T．邁爾(Mayer)根據(jù)歐拉的理論制成了一張?jiān)虑蜻\(yùn)行表．它對(duì)艦船導(dǎo)航極有價(jià)值．經(jīng)過10年的航海實(shí)踐，1765年英國(guó)國(guó)會(huì)終于將半個(gè)世紀(jì)前懸賞的獎(jiǎng)金授予邁爾的遺孀．同時(shí)，也獎(jiǎng)給歐拉三百英磅獎(jiǎng)金，以表彰他為此所作的開創(chuàng)性的理論工作．
1772年，歐拉的另一本天文學(xué)著作《月球運(yùn)動(dòng)理論和計(jì)算方法》在圣彼得堡出版．他在此書中詳細(xì)闡述了“歐拉第二月球理論”．由于種種原因，直到19世紀(jì)末，當(dāng)G．W．希爾(Hill)發(fā)展了歐拉月球理論中關(guān)于以直角坐標(biāo)為基本變量和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的概念，建立了一種新的月球運(yùn)動(dòng)理論后，人們才可能對(duì)歐拉的這種新方法的價(jià)值作出正確的評(píng)價(jià)．
歐拉一生還寫了許多關(guān)于慧星和行星軌道計(jì)算的論著．1748年，他在一篇論文中最先用參數(shù)變值法研究木星和土星運(yùn)動(dòng)的攝動(dòng)，獲得了巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金．1769—1771年，歐拉已雙目失明，他以堅(jiān)強(qiáng)的毅力和永不懈怠的進(jìn)取精神，繼續(xù)研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的攝動(dòng)．“春蠶到死絲方盡”，歐拉對(duì)天文學(xué)的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．
物理學(xué)
18世紀(jì)物理學(xué)的進(jìn)展并不像17世紀(jì)前80年那樣不尋常，它很少產(chǎn)生偉大的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家．歐拉作為一位物理學(xué)家，與丹尼爾·伯努利也不一樣，其主要貢獻(xiàn)是從數(shù)學(xué)的角度詳盡地闡述前面已討論過的那些類問題．歐拉所涉及的各種物理問題，當(dāng)時(shí)多半與數(shù)學(xué)分析無(wú)緣．他渴望創(chuàng)造一種與物理學(xué)界取得一致的數(shù)學(xué)理論．他廣泛地將數(shù)學(xué)應(yīng)用到整個(gè)物理領(lǐng)域，并在力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)和電磁學(xué)等方面做出了許多重要貢獻(xiàn)．
1644年，笛卡兒曾經(jīng)假定星際空間充滿著物質(zhì)，并且它們?cè)诤艽蟮匿鰷u中運(yùn)動(dòng)．這在歐洲大陸人們的思想中，直到近18世紀(jì)中葉時(shí)還保持著它的地位．1724年，歐拉被授予哲學(xué)碩士學(xué)位，他發(fā)表的演講就是對(duì)牛頓和笛卡兒的哲學(xué)思想進(jìn)行比較．歐拉不是笛卡兒自然哲學(xué)體系的代表人物，但是，他更接近于這個(gè)自然哲學(xué)體系．歐拉否認(rèn)空虛空間中的運(yùn)動(dòng)和遠(yuǎn)距離作用的可能性，他認(rèn)為宇宙中充滿了以太，并且用以太的力學(xué)性質(zhì)來解釋觀察到的現(xiàn)象的多樣性是可能的．他還將單磁流的概念引入電磁學(xué)．
歐拉在廣為流傳的《關(guān)于物理學(xué)和哲學(xué)問題給德韶公主的信》中，提出了一切物理現(xiàn)象都是以太與物質(zhì)相互作用的結(jié)果的思想，企圖建立物理世界的統(tǒng)一圖象．這一思想對(duì)18世紀(jì)、19世紀(jì)物理學(xué)的發(fā)展是重要的．歐拉關(guān)于電的本質(zhì)的觀點(diǎn)是M．法拉第(Faraday)和J．C．麥克斯韋(Maxwell)電磁場(chǎng)理論的雛型．他的以太理論影響了黎曼．
歐拉在物理學(xué)方面建立的人造模型和提出的一些假設(shè)，壽命都不長(zhǎng)．但是，他的光學(xué)著作在18世紀(jì)的物理學(xué)中起了重要作用．他否定權(quán)威的光粒子論，他是這個(gè)世紀(jì)提倡波動(dòng)說的唯一的杰出科學(xué)家．他認(rèn)為光的起因是以太特有的振蕩的結(jié)果．歐拉1746年發(fā)表的《光和色彩的新理論》(Nova theoria lucis et colo- rum)解釋了一些光學(xué)現(xiàn)象．他同倫敦的光學(xué)儀器商多倫在色散理論上發(fā)生過爭(zhēng)論，雙方都有正誤之處．1758年，多倫創(chuàng)造消色差望遠(yuǎn)鏡送交英國(guó)皇家學(xué)會(huì)，轟動(dòng)了整個(gè)歐洲．這是光學(xué)技術(shù)上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)．而歐拉的三大卷本《屈光學(xué)》(Dioptrica，1771)則奠定了光學(xué)體系的計(jì)算基礎(chǔ)．此書第一卷論述光學(xué)原理，第二、三卷分別論述望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡的構(gòu)造，只是書中的數(shù)學(xué)模型超出了實(shí)驗(yàn)光學(xué)家的理解力．值得一提的是，歐拉1739年的音樂新理論也有超出音樂家理解力的地方，人們說，它對(duì)數(shù)學(xué)家“太音樂”了，而對(duì)音樂家“太數(shù)學(xué)”了．有人認(rèn)為，歐拉的某些思想在現(xiàn)代音樂家的著作中得到了發(fā)展．
歐拉給后人留下了極其豐富的科學(xué)遺產(chǎn)和為科學(xué)獻(xiàn)身的精神．歷史學(xué)家把歐拉同阿基米德(Archimedes)、牛頓、高斯并列為數(shù)學(xué)史上的“四杰”．?dāng)?shù)學(xué)家J．R．紐曼(Newman)1956年稱歐拉是“數(shù)學(xué)家之英雄”．現(xiàn)在，英雄歐拉安詳?shù)靥稍诙砹_斯的土地上．1983年，在歐拉逝世200周年之際，各國(guó)學(xué)者在列寧格勒(即圣彼得堡)、西柏林、東柏林和莫斯科先后隆重集會(huì)紀(jì)念其豐功偉績(jī)．而在歐拉的故鄉(xiāng)——巴塞爾，則出版了各國(guó)著名科學(xué)家和科學(xué)史家研究、紀(jì)念他的巨型文集《列昂哈德·歐拉——生活事業(yè)文獻(xiàn)集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法國(guó)科學(xué)家L．巴斯德(Pasteur)說得好：“科學(xué)沒有國(guó)籍．但是科學(xué)家有祖國(guó)，他對(duì)于祖國(guó)的光榮應(yīng)當(dāng)盡心竭力，死而后已．熱烈的愛國(guó)心會(huì)使他有勇氣和毅力承擔(dān)艱難而偉大的工作；而這工作，正是對(duì)人類有益的．”(在丹麥哥本哈根萬(wàn)國(guó)醫(yī)學(xué)會(huì)上的講話，1884)以此贊美歐拉，他是當(dāng)之無(wú)愧的．
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