牛頓（Newton,Isaac,1642.1.4-1727.3.31）
英國數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學學家。在1642年生于英格蘭林肯郡伍爾索普，是個早產(chǎn)兒，且是個遺腹子，卒于倫敦。
1661年以優(yōu)異成績考入劍橋大學三一學院。其實在大學期間，他已經(jīng)摸索出二項展開式，為其微積分打下基礎。1665年獲學士學位。1665年倫敦發(fā)生大瘟疫，Newton 回到家鄉(xiāng)的農(nóng)場，開始構(gòu)思萬有引力學說。然而由于實際觀測與理論計算所得的數(shù)據(jù)有些出入，加上數(shù)學上的一些障礙，Newton 并沒有發(fā)表他的學說。1668年獲碩士學位。1669年任盧卡斯教授。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，1699年任廠長。1703年當選為英國皇家學會主席。1705年被封為爵士。他在數(shù)學方面的最卓越的貢獻是創(chuàng)建微積分，并在代數(shù)、數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法、概率論、力學、光學和天文學等許多領域都有巨大貢獻，被奉為最偉大的科學家之一。著有《運用無窮多項方程的分析》（1669年完成，1711年出版），《流數(shù)法與無窮級數(shù)》（1671完成，1736年出版），《曲線求積術(shù)》（1676年完成，1704年出版），《自然哲學的數(shù)學原理》（1687）等。
達朗貝爾（D’Alembert, Jean Le Rond, 1717.11.16-1783.10.29）
法國數(shù)學家、物理學家。生于巴黎，卒于同地。1735年畢業(yè)于馬扎林學院、1741年成為法國科學院院士。1746年任法國《百科全書》副主編，并撰寫了許多重要條目。1746年發(fā)表《關(guān)于風的一般成因的推論》，獲法國科學院大獎。1754年當選為法蘭西學院院士，1772年任該學院終身秘書。他還是柏林科學院院士。他在數(shù)學、力學和天文學等許多領域都做出貢獻，在音樂方面也造詣頗深，并致力于哲學研究，是18世紀法國啟蒙運動的一位杰出代表。著有《論動力學》（1743），《弦振動研究》（1747），《關(guān)于流體阻力的新理論》（1752），《哲學原理》和《力學原理》等。
數(shù)學是達朗貝爾研究的主要課題，他是數(shù)學分析的主要開拓者和奠基人。達朗貝爾為極限作了較好的定義，但他沒有把這種表達公式化。波義爾做出這樣的評價：達朗貝爾沒有擺脫傳統(tǒng)的幾何方法的影響，不可能把極限用嚴格形式闡述；但他是當時幾乎唯一一位把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學家。
達朗貝爾是十八世紀少數(shù)幾個把收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)分開的數(shù)學家之一，并且他還提出了一種判別級數(shù)絕對收斂的方法——達朗貝爾判別法，即現(xiàn)在還使用的比值判別法；他同時是三角級數(shù)理論的奠基人；達朗貝爾為偏微分方程的出現(xiàn)也做出了巨大的貢獻，1746年他發(fā)表了論文《張緊的弦振動是形成的曲線研究》，在這篇論文里，他首先提出了波動方程，并于1750年證明了它們的函數(shù)關(guān)系；1763年，他進一步討論了不均勻弦的振動，提出了廣義的波動方程；另外，達朗貝爾在復數(shù)的性質(zhì)、概率論等方面也都有所研究，而且他還很早就證明了代數(shù)基本定理。
達朗貝爾在數(shù)學領域的各個方面都有所建樹，但他并沒有嚴密和系統(tǒng)的進行深入的研究，他甚至曾相信數(shù)學知識快窮盡了。但無論如何，十九世紀數(shù)學的迅速發(fā)展是建立在他們那一代科學家的研究基礎之上的，達朗貝爾為推動數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻。
達朗貝爾認為力學應該是數(shù)學家的主要興趣，所以他一生對力學也作了大量研究。達朗貝爾是十八世紀為牛頓力學體系的建立作出卓越貢獻的科學家之一。
波爾查（Bolza, Oskzr, 1857.5.12-1942.7.5）
德國數(shù)學家。曾在弗賴堡和芝加哥大學工作。他于1913年提出的波爾查問題，是古典變分法的基本問題之一。著有《變分法講義》（1904）。
勒讓德（Andrien Marie Legendre, 1752.9.18-1833.1.9）
法國數(shù)學家。生于巴黎，卒于同地。約1770年畢業(yè)于馬扎林學院。1775年任巴黎軍事學院數(shù)學教授。1782年以彈道學研究方面的論文獲柏林科學院獎。1783年當選為巴黎科學院助理院士，兩年后升為常任院士。法國科學院的秘書說：「Laplace 是法國的牛頓，而 Legendre 則是法國的歐拉?！顾麄儍晌患由?Lagrange 稱為三巨頭，其姓氏都以 L 作為開頭。他與拉格朗日、拉普拉斯被并稱為法國數(shù)學界的“三L”。他的研究主要涉及數(shù)學分析、初等幾何、數(shù)論及天體力學等方面。他是橢圓積分理論的奠基人之一， 發(fā)表了《行星外形的研究》、《幾何學基礎》、《橢圓函數(shù)論》和《數(shù)論》等大量論著。他在大地測量理論、球面三角形理論和最小二乘法等方面有重要貢獻。他還對高等幾何學、力學、天文學和物理學等問題有過論述。
雅可比（Jacobi, Karl Gustav Jacbo, 1804.12.10-1852.2.18）
德國數(shù)學家。生于波茨坦，卒于柏林。1820年入柏林大學學習，1825年獲哲學博士學位。1827年被選為柏林科學院院士。1832年任科尼斯堡大學教授，同年成為倫敦皇家學會會員。他還是彼得堡科學院、維也納科學院、巴黎科學院、馬德里科學院等名譽院士或通訊院士。雅可比很早就展現(xiàn)了他的數(shù)學天份。他從歐拉及 Lagrange 的著作中學習代數(shù)及微積分，并被吸引到數(shù)論的領域。他處理代數(shù)問題的手腕只有歐拉與印度的 Ramanujan 可以相提并論。 Jacobi 少 Abel 兩歲。他不知道 Abel 從1820年起就在作五次式的問題，他也去作，但是沒有完滿的結(jié)果。 年輕的時候，Jacobi 有許多發(fā)現(xiàn)都跟高斯的結(jié)果重疊，但高斯并沒有發(fā)表這些結(jié)果。高斯很看重雅可比，1839年 Jacobi 還去拜訪了高斯。1849年45歲的時候，除了高斯之外，Jacobi 已經(jīng)是歐洲最有名的數(shù)學家了。他是橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人之一，代表作為《橢圓函數(shù)論新基礎》。他建立了函數(shù)行列式求導公式，引進了“雅可比行列式”，并提出這些行列式在多重積分中變換和解偏微分方程時的作用。他在數(shù)論、線性代數(shù)、變分學、微分方程理論、復變函數(shù)和數(shù)學史等方面均有重要貢獻。數(shù)學中的許多術(shù)語都與雅可比的名字有關(guān)。
魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815.10.31-1897.2.19）
德國數(shù)學家。生于威斯特伐利亞的奧斯坦菲爾德，卒于柏林。1838年畢業(yè)于波恩大學法律系，之后轉(zhuǎn)學數(shù)學。1841年在中學執(zhí)教勒15年。1854年獲名譽博士學位。1856年任柏林大學助理教授，1865年任教授。1868年當選為法國科學院和柏林科學院院士。他的主要貢獻在數(shù)學分析、解析函數(shù)論、變分學、微分幾何和線性代數(shù)等方面。與戴德金、康托爾的共同努力下，創(chuàng)立了實數(shù)理論。他是19世紀最有影響的分析學家，被公認為第一流的數(shù)學家，并被譽為近世分析之父。他的論文與教學影響整個二十世紀分析學（甚至整個數(shù)學）的風貌．他還是一位杰出的教育家，培養(yǎng)了大批有成就的數(shù)學人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡婭（1850-1891）、施瓦茲、萊夫勒等。
除了一些在地方學報發(fā)表的數(shù)學文章。Weirstrass 第一篇重量級論文〈Zur Theorie der Abelschen Functionen〉（Abel 函數(shù)理論）1854年發(fā)表在《Crelle》期刊，展現(xiàn)他之前發(fā)展已久之收斂冪級數(shù)法的威力。 Konigsberg 大學因此給他榮譽博士學位，并且他也開始申請大學的教職， Dirichlet 甚至向普魯士文化部強力推舉他在大學任教。1856年當他第二篇關(guān)于 Abel 函數(shù)的論文發(fā)表后。各大學及研究院的聘書蜂擁而至，最后以41歲的「高齡」，他終于落腳在柏林大學。與 Kummer、Kronecker 將柏林大學的數(shù)學研究帶入鼎盛時期。
不知道是否與他的高中教師經(jīng)歷有關(guān)，Weirstrass 的授課十分成功吸引了全世界的數(shù)學學子。尤其在1859-1864的課程《分析導論》、《積分》、《解析函數(shù)論》中，開始為整個分析學打下嚴謹?shù)幕A。引入 方法；發(fā)展實數(shù)理論；證明復數(shù)是實數(shù)唯一的體擴
張（field extension）（完成高斯的猜測）；并提出有名的異例：一個到處連續(xù)卻到處不可微的函數(shù)。
他的理論被弟子（如Killing， Hurwitz）記錄出版，一直到今天的分析學課程，仍然采用Weirstrass 的課題與進路。他的學生非常多（如 Cantor、Holder、Klein、Lie、Minkowski、Mittag-Leffler、Schwarz 等，還有 Kovalevskaya），日后都是數(shù)學名家，也將 Weirstrass 的影響力帶入二十世紀。
Weirstrass 是現(xiàn)代分析學之父，工作涵蓋：冪級數(shù)理論、實分析、橢圓函數(shù)、Abel 函數(shù)、無窮乘積、變分學、雙線型與二次型、entire 函數(shù)等。在數(shù)學基礎上，他接受 Cantor 的想法（甚至因此與多年好友 Kronedcer 絕交）。透過他的教學與學生，Weirstrass 也影響了二十世紀數(shù)學的風貌
費馬（Fermat, Pierre de, 1601.8.20-1665.1.12）
法國數(shù)學家和物理學家。生于博蒙---德洛馬涅，卒于卡斯特爾。曾在圖盧茲大學學習法律，畢業(yè)后任律師。1631年起一直任圖盧茲會議議員，并在業(yè)余時間鉆研數(shù)學。他在數(shù)論、解析幾何、概率論、光學等方面都有重大貢獻，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。著有《數(shù)學論集》、《平面與立體軌跡理論導論》和《論求最大和最小值的方法》等。他提出著名德“費馬大定理”，即方程在時沒有整數(shù)解，激起后來歷代數(shù)學家的興趣，但至今尚未得到普遍證明。他還提出光學的“費馬定理”，改后來的變分發(fā)研究以極大的啟示
萊布尼茨（Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646.7.1---1716.11.14）
德國數(shù)學家、物理學家和哲學家等，數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。生于萊比錫，卒于漢諾威。Leibniz 的父親在萊比錫大學教授倫理學，Leibniz 六歲時過世，遺下大量的人文書籍，早慧的他自習拉丁文與希臘文，廣泛閱讀。他15歲進入萊比錫大學一直到21歲拿到博士學位
之間的三篇論文，大概就可以為他一生的興趣定調(diào)。1661年入萊比錫大學學習法律，又曾到耶拿大學學習幾何。1666年獲法學博士學位。1673年當選為英國皇家學會會員。1676年30歲的他離開法國，回國后任漢諾威圖書館館長。1700年當選為巴黎科學院院士，促成組建了柏林科學院并任首任院長。此后許多年，他終生待在漢諾威（只有短期為撰寫宮庭家族史，到過意大利），做一些浪費他天才的工作。后來選帝候到英國繼任英王（喬治一世），竟不愿帶他隨行，Leibniz 稱的上晚景凄涼，死時連送葬的人也沒有。他的研究領域十分廣泛，涉及到邏輯學、數(shù)學、力學、地質(zhì)學、法學、歷史學、語言學、生物學以及外交、神學等諸多方面。他曾制作了乘法計算器，被認為是現(xiàn)代機器數(shù)學的先驅(qū)者。1693年，他發(fā)現(xiàn)了機械能的能量守恒定律。他系統(tǒng)闡述了二進制記數(shù)法，并把它和中國的八卦聯(lián)系起來。在哲學方面，著有《單子論》，內(nèi)含辯證法的因素。
最重要的數(shù)學貢獻是發(fā)明微積分（獨立于牛頓），他與牛頓并稱為微積分的創(chuàng)立者。萊布尼茨研究了巴羅的著作之后，意識到微分和積分的互逆關(guān)系。他認識到，求曲線的切線依賴于縱坐標和差值與橫坐標的差值之比（當這些差值變成無限小時），而求面積則依賴于橫坐標的無限小區(qū)間上的無限窄的矩形面積之和。并且這種求差與求和的運算是互逆的。萊布尼茨的微分學是把微分看作變量相鄰二值的無限小的差，而積分概念是以變量分成無窮多個微分之和的形式出現(xiàn)。
萊布尼茨從1684年起發(fā)表微積分論文。在1684年的《博學學報》上他發(fā)表了一篇題為《一種求極大值與極小值和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。這是歷史上最早公開發(fā)表的關(guān)于微分學的貢獻。在這篇論文中，他簡明地解釋了他的微分學。文中給出了微分的定義，函數(shù)的加、減、乘、除以及關(guān)于乘冪的微分法則，關(guān)于二階微分的概念，以及關(guān)于微分學對于研究極值、作切線、求曲率及拐點的應用。他所給出的微分學符號和計算導數(shù)的許多一般法則一直沿用到今天。它使得微分運算幾乎是機械的，而在這以前人們還不得不對每一個個別情況采用取極限的步驟。值得慶幸的另一點是，萊布尼茨引入了一套設計得很好的，令人滿意的符號。萊布尼茨的符號具有獨到之處。他不但為我們提供了今天還在使用的一套非常靈巧的微分學符號，而且還在1675年引入了現(xiàn)代的積分符號，用拉丁字Summa（求和）的第一個字母S拉長了表示積分。但是“積分”的名稱出現(xiàn)得比較遲，它是由J伯努利提出的。
萊布尼茨關(guān)于積分的第一篇論文發(fā)表于1686年。他得到的積分法有：變量替換法、分部積分法、利用部分分式求有理式的積分法等．萊布尼茨是數(shù)學史上最偉大的符號學者。他在創(chuàng)造微積分的過程中，花了很多時間去選擇精巧的符號。他認識到，好的符號可以精確、深刻地表述概念、方法和邏輯關(guān)系。、他曾說：“要發(fā)明就得挑選恰當?shù)姆?。要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表示或比較忠實的描繪事物的內(nèi)在的本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動?！爆F(xiàn)在微積分學的基本符號基本都是他創(chuàng)造的。這些優(yōu)越的符號為以后分析學的發(fā)展帶來了極大的方便。
另外，萊布尼茨對中國的科學文化和哲學思想十分重視。1696年他編輯出版了《中國新事萃編》一書。在該書的序言中，他說：“中國和歐洲各居世界大陸的東西兩端，是人類偉大的教化和燦爛的文明的集中點?！彼鲝垨|西方應在文化，科學方面互相學習，平等交流。他曾寫了一封長達4萬字的信，專門討論中國的哲學。信的最后說到伏曦的符號，《易經(jīng)》中的64個圖形與他的二進制，他說中國許多偉大的哲學家“都曾在這64個圖形中尋找過哲學的秘密……，這恰恰是二進制算術(shù)。這種算術(shù)是這位偉大的創(chuàng)造者（伏曦）所掌握而幾千年后我發(fā)現(xiàn)的。”他還送過一臺他制作的計算機的復制品給康熙皇帝。
綜上所述，牛頓和萊布尼茨研究微積分的基礎都達到了同一目的，但各自的方法不同。牛頓主要從力學的概念出發(fā)，而萊布尼茨作為哲學家和幾何學家對方法本身感興趣。雖然牛頓在1665年左右（Leibniz 約20歲時）即已發(fā)展微積分的想法，但是由于他一直沒有發(fā)表。因此萊布尼茨獨立開展自己對微積分的想法，并發(fā)展他自己使用的符號，在1675年他29歲時，提出了我們所熟悉的萊布尼茨法則，而且也已經(jīng)使用常見的積分符號．不過萊布尼茨不但在出版《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》（極大與極小的新方法）的時間上（1684年）早于牛頓的《原理》（1685年），到今天，不但一般的數(shù)學史家都己相信微積分是他們兩人獨立的結(jié)果，而且現(xiàn)在的微積分課本上使用的都是萊布尼茨發(fā)明的符號．
泰勒（Taylor, Brook, 1685.8.18—1731.12.29）
英國數(shù)學家。生于埃德蒙頓，卒于倫敦。1709年獲法學博士學位。1712年當選為皇?學會會員。他和哈雷、牛頓是親密的朋友。在數(shù)學方面，他主要從事函數(shù)性質(zhì)研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一書，書中發(fā)表了將函數(shù)展成級數(shù)的一般公式，這一級數(shù)后來被稱為泰勒級數(shù)。他還研究插值法的某些原理，并用這種計算方法研究弦的振動問題、光程微分方程的確定問題等。泰勒在音樂和繪畫方面也極有才能。他曾把幾何方法應用于透視畫方面，1715年出版《直線透視原理》和1719年出版《直線透視新原理》。另外，還撰有哲學遺作，發(fā)表于1793年。
拉格朗日（Lagrange, Joseph Louis, Comte de, 1736.1.25-1813.4.10）
法國數(shù)學家、力學家、天文學家，分析力學的奠基人。生于意大利都靈，卒于巴黎。1755年任都靈炮兵學校的數(shù)學教授，1759年被選為柏林科學院院士。1772年當選為巴黎科學院院士。1776年當選為彼得堡科學院名譽院士。1766-1787年任柏林科學院主席。他在數(shù)學分析、代數(shù)方程理論、變分法、概率論、微分方程、分析力學、天體力學、偏微分方程、數(shù)論、球面天文學和制圖學等方面均取得勒重要成果。他著有《分析力學》（1788）、《解析函數(shù)論》（1797）、《函數(shù)計算講義》（1801）、《關(guān)于物體任何系統(tǒng)的微小振動》、《關(guān)于月球的天平運動問題》、《彗星軌道的攝動》等書。他在數(shù)學史上被認為史對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。
拉格朗日總結(jié)了18世紀的數(shù)學成果，同時又為19世紀的數(shù)學研究開辟了道路，堪稱法國最杰出的數(shù)學大師。同時，他的關(guān)于月球運動(三體問題)、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力學等方面的成果，在使天文學力學化、力學分析化上，也起到了歷史性的作用，促進了力學和天體力學的進一步發(fā)展，成為這些領域的開創(chuàng)性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數(shù)學的發(fā)展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》 。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。他試圖尋找五次方程的預解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。
在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結(jié)為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。
在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。
在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結(jié)為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。
拉格朗日也是分析力學的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結(jié)歷史上各種力學基本原理的基礎上，發(fā)展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數(shù)學分析應用于質(zhì)點和剛體力學，提出了運用于靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W形式，奠定了分析力學的基礎，為把力學理論推廣應用到物理學其他領域開辟了道路。
他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉(zhuǎn)對稱軸上的定點轉(zhuǎn)動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學有關(guān)。他用自己在分析力學中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。
近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學家”。
高斯（Gauss, Johann Carl Friedrich, 1777.4.30—1855.2.23）
德國數(shù)學家、天文學家和物理學家。生于不倫瑞克，卒于格廷根。此時高斯已經(jīng)做出了許多劃時代的成就。父親格爾恰爾德·迪德里赫先后當過護堤工、泥瓦匠和園丁，第一個妻子和他生活了10多年后因病去世，沒有為他留下孩子。迪德里赫后來娶了羅捷雅，第二年他們的孩子高斯出生了，這是他們唯一的孩子。父親對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過份，常常喜歡憑自己的經(jīng)驗為年幼的高斯規(guī)劃人生。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。1795年入格廷根大學，1799年獲博士學位。從1807年直到1855年去世，一直擔任格廷根大學教授兼職廷根天文臺臺長。他的數(shù)學成就遍及各個領域，在數(shù)論、橢圓函數(shù)論、矢量分析、概率論和變分法等方面均有一系列開創(chuàng)性貢獻，發(fā)表論文155篇。他創(chuàng)立和開發(fā)了最小二乘法、曲面論、位勢論等。著有《算術(shù)研究》、《曲面的一般研究》、《地磁概念》、《天體運動論》和《論與距離平方成反比例的引力和斥力的普遍定律》等。他是人類歷史上最偉大的數(shù)學家之一。高斯的學術(shù)地位，歷來為人們推崇得很高。他有“數(shù)學王子”、“數(shù)學家之王”的美稱、被認為是人類有史以來“最偉大的三位（或四位）數(shù)學家之一”（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。人們還稱贊高斯是“人類的驕傲”。天才、早熟、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰、……，人類智力領域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過份。
格林（George Green, 1793.7.14—1841.5.31）
英國數(shù)學家。生于諾丁漢郡，卒于劍橋。1833年自費入劍橋大學學習，1837年獲學士學位。1839年任劍橋大學教授。他是一位自學成才的科學家。1828年，他寫成重要著作《數(shù)學分析在電磁理論中的應用》，書中他引用了位勢概念，提出了著名的格林函數(shù)與格林定理，發(fā)展了電磁理論。他還發(fā)展了能量守恒定律，得出了彈性理論的基本方程。變分法中的狄利克雷原理、超球面函數(shù)的概念等最初都是由他提出來的。他的名字經(jīng)常出現(xiàn)在大學數(shù)學、無力教科書或當代文獻中，以他的名字命名的術(shù)語有格林定理、格林公式、格林函數(shù)、格林曲線、格林算子、格林測度和格林空間等。
奧斯特洛格拉茨基（Ostrogradski?, Mihail Vasilevic, 1801.9.24—1862.1.1）
俄國數(shù)學家、力學家。生于帕先納亞，卒于波爾塔瓦。1816年入哈爾科夫大學學習。1822年留學巴黎索邦和法蘭西學院。1827年回到俄國。1828年在彼得堡個大學和軍事學院任教。1830年當選為彼得堡科學院院士。他還是紐約科學院、都靈科學院、羅馬科學院院士和巴黎科學院通訊院士。他的研究涉及分析學、理論力學、數(shù)學物理、概率論、數(shù)論、傳熱學、代數(shù)學、變分學和天體力學等領域。他最重要的數(shù)學工作是證明了三重積分與曲面積分之間關(guān)系的公式，即奧－高公式。他還是一位優(yōu)秀的教育家，寫過大量教科書，主要有《初等幾何教程》、《三角學概要》、《天體力學教程》和《代數(shù)和超越分析講義》等。
哈密頓（Hamilton, Sir William Rowan, 1805.8.4—1865.9.2）
愛爾蘭數(shù)學家、物理學家和力學家。生于都柏林，卒于同地。1823年入都柏林三一學院學習。1827年任三一學院天文學教授，并獲愛爾蘭皇家科學院院長。他還是法國科學院、美國科學院院士、彼得堡科學院通訊院士和英國皇家學會會員。物理上他對分析力學的發(fā)展作出了重要貢獻，在1834年發(fā)表的《動力學的一般方法》中提出了最小作用原理。他建立了光學的數(shù)學理論，并把這種理論用于動力學中去。數(shù)學上他的主要貢獻是1843年發(fā)現(xiàn)了“四元數(shù)”，并建立了其運算法則。他還在微分方程和泛函分析方面取得了成就。他的論著有140多篇，其中最重要的著作是1853年出版的《四元數(shù)講義》。
黎曼（Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 1826.9.17—1866.7.20）
德國數(shù)學家。生于漢諾威的布瑞塞林茲，卒于意大利的色拉斯卡。1846年入格廷根大學，師從高斯。1847—1849年在柏林大學就讀，聽過狄利克雷、雅可比等的講課。1851年獲博士學位。兩年后提出論文〈On the representation of a function by means of a trigonometrical series〉申請哥廷根的（無給）講師職位，1854年在偉大的高斯面前發(fā)表就職演說〈On the Hypothesis that forms the foundation of Geometry〉。在這篇演說中，黎曼為此后一百五十年的微分幾何大業(yè)指出了方向，立下了基礎，論文的本身不僅是個數(shù)學史上的一篇杰作，并且在表達上也是一個典范。1857年黎曼升副教授，1859升教授，并繼承 Dirichlet 的位置。 Dirichlet 在1855年繼承高斯，生前總是盡己所能協(xié)助和支持黎曼。 1859年去世以后，33歲的黎曼成為高斯的第二個繼承人。1859年任格廷根大學教授同年當選為德國科學院院士。他的科學成就廣泛，在數(shù)論、復變函數(shù)論、傅里葉級數(shù)、微分幾何、代數(shù)幾何和微分方程等方面都有貢獻，并寫過物理學方面得論文。他提出了黎曼積分并創(chuàng)立了黎曼幾何，后者為愛因斯坦得廣義相對論提供了最合適得數(shù)學工具。他著作主要有《單復變函數(shù)得一般理論得基礎》、《數(shù)學物理的微分方程》和《橢圓函數(shù)論》等。
他的具體成就有:
一、復變函數(shù)論 黎曼和柯西及魏爾斯特拉斯被公認為復變函數(shù)論三大奠基人.而黎曼:
1 通過復變函數(shù)的導數(shù)定義,建立復變函數(shù)論的基礎 2 對多值函數(shù)定義黎曼曲面 3 黎曼曲面的拓撲(黎曼是第一個研究曲面拓撲的人,他引進橫剖線的方法來研究曲面的連通性質(zhì)) 4 黎曼曲面上的函數(shù)論(黎曼研究的基本問題是黎曼曲面上函數(shù)的存在性及唯一性問題.他比以前數(shù)學家的先進之處在于,函數(shù)的存在不必通過構(gòu)造出解析表達式來證明,黎曼可以通過其奇點來定義,這對后世數(shù)學有重要影響.) 5 狄利克雷原理(黎曼給出其證明并有效地表述及運用狄利克雷原理,這個原理是他從狄利克雷的課程中學來的)
二、阿貝爾函數(shù)論 關(guān)于阿貝爾函數(shù),黎曼發(fā)表過兩篇文章:一是<阿貝爾函數(shù)論>,一是<論函數(shù)的零點>. 1阿貝爾積分的表示及分類(黎曼對由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進行了分類.第一類阿貝爾積分,在黎曼曲面上處處有界.線性獨立的第一類阿貝爾積分的數(shù)目等于曲面的虧格p,如果曲面的連通數(shù),這p個阿貝爾積分稱為基本積分.第二類阿貝爾積分,在黎曼曲面上以有限多點為極點.第三類阿貝爾積分,在黎曼曲面上具有對數(shù)奇點.每一個阿貝爾積分均為以上三類積分的和. 2黎曼-洛赫定理(這是代數(shù)函數(shù)論及代數(shù)幾何學最重要的定理.黎曼得到的黎曼不等式,是黎曼-洛赫定理的原始形態(tài)) 3 黎曼矩陣,黎曼點集和阿貝爾函數(shù). 4 函數(shù)及雅可比反演問題(為了研究雅可比簇,黎曼推廣雅可比 函數(shù),引進了黎曼函數(shù). 5 雙有理變換的概念和參模
三、超幾何級數(shù)和常微分方程 超幾何微分方程有3個奇點0,1,a,它作為二階微分方程有兩個獨立特解和,其他解均為這兩解的線形組合.黎曼的思想是當,沿繞奇點的路徑變化時必經(jīng)歷線形變換 對于所有繞奇點的路徑,這些變換組成群.他把結(jié)果推廣到m個奇點n個獨立函數(shù)的情形,他證明給定線形變換后,這n個獨立函數(shù)滿足一個n階線形微分方程,但他沒有證明這些奇點(支點)和這些變換可以任意選取,從而留下了著名的黎曼問題.希爾伯特把他列入23個問題中的第21個問題.
四、 解析理論 黎曼是現(xiàn)代意義下解析數(shù)論的奠基者,生前他只在1859年發(fā)表過一篇論文<論給定數(shù)以內(nèi)的素數(shù)數(shù)目>
五、實分析----函數(shù)觀念,黎曼積分,傅立葉級數(shù),連續(xù)不可微函數(shù) 黎曼積分是數(shù)學特別是物理應用的主要分析工具;黎曼還是最早認識到連續(xù)性及可微性的區(qū)別的數(shù)學家之一.
六、幾何學 黎曼的空間觀念使數(shù)學及物理發(fā)生空前的變革.黎曼的幾何論文有兩篇,一篇是他的授課資格的演講,另一篇是所謂<巴黎之作>,即<論熱傳導問題>
愛因斯坦，他把黎曼幾何引入廣義相對論，在牛津大學的演講中 ((On the method of theoretical physics, Oxford Universty )), Oxford 1933 說道， 「……純粹數(shù)學的建構(gòu)可以使我們表現(xiàn)觀念和聯(lián)系其間的法則，開始了我們對自然現(xiàn)象的了解。」 愛因斯坦所稱的純數(shù)學的建構(gòu)指得正是黎曼幾何。
施瓦茨（Schwarz, Carl Hermann Amandus, 1843.1.25—1921.11.30）
德國數(shù)學家。生于赫爾姆斯多夫，卒于柏林。1864年畢業(yè)與柏林工業(yè)學院，獲哲學博士學位。1867年任哈雷大學教授。1869年任蘇黎士大學教授。1875年主持格廷根大學數(shù)學講座。1892年任柏林大學教授。他是普魯士科學院和巴伐利亞科學院院士。他的數(shù)學成就主要涉及到分析學、微分方程、幾何學和變分法等方面。他給出了泊松積分的嚴格理論。他在微分方程解析理論方面引入了特種函數(shù)，后稱為施瓦茨函數(shù)。1873年，他首次得出了混合導數(shù)等式的證明。他在保角映射研究中給出了任意多角形變換成半平面的函數(shù)的一般解析公式。
雅可布.伯努利（Jacob Bernoulli, 1654.12.27—1705.8.16）
瑞士數(shù)學家。生于巴塞爾，卒于同地。分別于1671年和1676年獲哲學和神學學位。1687年始任巴塞爾大學數(shù)學教授。他研究過許多種特殊曲線，如懸鏈線、雙紐線和對數(shù)螺線，首先使用數(shù)學意義下的積分一詞，發(fā)明了極坐標，引入了在tan(x)函數(shù)的冪級數(shù)展開式中伯努利數(shù)。他提出了微分方程中的“伯努利方程”。他與其弟約翰.伯努利奠定了變分法的基礎，提出并部分解決了捷線問題和等周問題。1704年，出版《關(guān)于無窮級數(shù)及其有限和的算術(shù)應用》一書。在1713年出版的巨著《猜度論》中給出了伯努利數(shù)和伯努利大數(shù)定理。許多概率論的術(shù)語都是以他的名字命名的。他在算術(shù)、代數(shù)、幾何學及物理學等方面的研究也有一定的成就。
約翰.伯努利（Johann Bernoulli, 1667.8.6—1748.1.1）
瑞士數(shù)學家。生于巴塞爾，卒于同地。他早年學醫(yī)，于1694年獲得巴塞爾大學博士學位。1695年任荷戈羅寧根大學數(shù)學物理教授。1705年任巴塞爾大學教授。他是彼得堡科學院名譽院士。1696年約翰向全歐洲數(shù)學家挑戰(zhàn)，提出著名的“最速降線”問題，對變分法的發(fā)展起了推動作用。這個問題陳述起來很簡單，就是平面上有兩個點A，B，這兩個點連線既不是水平也不是垂直，試尋找連接這兩個點的曲線，使得靠自身重力的一個小球能用最快時間從這點滑到那點（摩擦阻力不計）。牛頓、伯努利兄弟、萊布尼茨和洛必達都對該問題做了解答。據(jù)說當年牛頓已經(jīng)從科學第一線退了下來，到了皇家造幣廠當廠長。勞累了一天以后，回家在壁爐前看到了伯努利的題，熬夜到凌晨4點，就搞定了。伯努利看到這個匿名送來的答案，說道："我看到了獅子露出來了利爪。"在這么多解答當中，約翰的應該是最漂亮的，類比了費馬光學原理作了出來，用光學一下做了出來。但是從影響來說，弟弟的做法真正體現(xiàn)了變分思想。 這個思想是把每條曲線看作一個變量，進而在每條曲線上所用時間便是曲線的函數(shù)，這就是泛函。類似于微積分求最大最小值的辦法，把微積分推廣到一般函數(shù)空間去，這就是【變分法】。不過變分法真正成為一門理論還要屬于約翰的弟子歐拉和法國的拉格朗日。他在微積分學、微分方程理論、變分學、幾何學和力學等方面均取得了重要成果。1742年，他出版了《積分學教程》一書。
歐拉（Euler, Léonhard, 1707.4.15—1783.9.18）
瑞士數(shù)學家、物理學家、天文學家和力學家，理論力學的創(chuàng)始人。是數(shù)學史上最偉大的數(shù)學家之一，也是最多產(chǎn)的數(shù)學家。生于巴塞爾，卒于彼得堡。1720年入巴塞爾大學，師從約翰.伯努利。1723年獲碩士學位。盡管他的天賦很高，但如果沒有約翰的教育，結(jié)果也很難想象。由于約翰·伯努利以其豐富的閱歷和對數(shù)學發(fā)展狀況的深刻的了解，能給歐拉以重要的指點，使歐拉一開始就學習那些雖然難學卻十分必要的書，少走了不少彎路。這段歷史對歐拉的影響極大，以至于歐拉成為大科學家之后仍不忘記育新人，這主要體現(xiàn)在編寫教科書和直接培養(yǎng)有才化的數(shù)學工作者，其中包括后來成為大數(shù)學家的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736.1.25-1813.4.10）。當時法國的拉格朗日只有19歲，而歐拉已48歲。拉格朗日與歐拉通信討論"等周問題"，歐拉也在研究這個問題。后來拉格朗日獲得成果，歐拉就壓下自己的論文，讓拉格朗日首先發(fā)表，使他一舉成名。1727年春，在巴塞爾他試圖擔任空缺的教研室主任職務，但沒有成功。這時候，俄國的圣彼得堡科院剛建立不久，正在全國各地招聘科學家，廣泛地搜羅人才。已經(jīng)應聘在彼得堡工作的丹爾·伯努利深知歐拉的才能，因此，他竭力聘請歐拉去俄羅斯。在這種情況下，歐拉離開了自己的祖國。由于丹尼爾的推薦，1727年，歐拉應邀到圣彼得堡做丹尼爾的助手。在圣彼得堡科學院，他順利地獲得了高等數(shù)學副教授的職位。1731年，又被委任領導理論物理和實驗物理教研室的工作。1733年當選為彼得堡科學院院士。晚年失明。1774年，他把變分問題的研究成果發(fā)表在《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》一書中，從而創(chuàng)立了變分法。在幾乎所有數(shù)學的重要分支中，都有他開創(chuàng)性的貢獻，他還把數(shù)學用到了幾乎整個物理領域。他是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，史學家把他和阿基米德、牛頓、高斯列為人類有史以來貢獻最大的四位數(shù)學家，依據(jù)是他們都有一個共同點，就是在創(chuàng)建純粹理論的同時，還應用這些數(shù)學工具去解決大量天文、物理和力學等方面的實際問題，他們的工作是跨學科的，他們不斷地從實踐中吸取豐富的營養(yǎng)，但又不滿足于具體問題的解決，而是把宇宙看作是一個有機的整體，力圖揭示它的奧秘和內(nèi)在規(guī)律，同時他也是最多產(chǎn)的數(shù)學家，發(fā)表過800多篇文章，給后人留下了豐富的科學遺產(chǎn)?！W拉本人雖不是教師，但他對教學的影響超過任何人。他身為世界上第一流的學者、教授，肩負著解決高深課題的重擔，但卻能無視"名流"的非議，熱心于數(shù)學的普及工作。他編寫的《無窮小分析引論》、《微分法》和《積分法》產(chǎn)生了深遠的影響。有的學者認為，自從1784年以后，初等微積分和高等微積分教科書基本上都抄襲歐拉的書，或者抄襲那些抄襲歐拉的書。歐拉在這方面與其它數(shù)學家如高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）、牛頓（I.Newton,1643.1.4-1727.3.31）等都不同，他們所寫的書一是數(shù)量少，二是艱澀難明，別人很難讀懂。而歐拉的文字既輕松易懂，堪稱這方面的典范。他從來不壓縮字句，總是津津有味地把他那豐富的思想和廣泛的興趣寫得有聲有色。他用德、俄、英文發(fā)表過大量的通俗文章，還編寫過大量中小學教科書。他編寫的初等代數(shù)和算術(shù)的教科書考慮細致，敘述有條有理。他用許多新的思想的敘述方法，使得這些書既嚴密又易于理解。歐拉最先把對數(shù)定義為乘方的逆運算，并且最先發(fā)現(xiàn)了對數(shù)是無窮多值的。他證明了任一非零實數(shù)Ｒ有無窮多個對數(shù)。歐拉使三角學成為一門系統(tǒng)的科學，他首先用比值來給出三角函數(shù)的定義，而在他以前是一直以線段的長作為定義的。歐拉的定義使三角學跳出只研究三角表這個圈子。歐拉對整個三角學作了分析性的研究。在這以前，每個公式僅從圖中推出，大部分以敘述表達。歐拉卻從最初幾個公式解析地推導出了全部三角公式，還獲得了許多新的公式。歐拉用a 、b 、c 表示三角形的三條邊，用Ａ、Ｂ、Ｃ表示第個邊所對的角，從而使敘述大大地簡化。歐拉得到的著名的公式：
又把三角函數(shù)與指數(shù)函聯(lián)結(jié)起來。
在普及教育和科研中，歐拉意識到符號的簡化和規(guī)則化既有有助于學生的學習，又有助于數(shù)學的發(fā)展，所以歐拉創(chuàng)立了許多新的符號。如用sin 、cos 等表示三角函數(shù)，用 e 表示自然對數(shù)的底，用f(x) 表示函數(shù)，用 ∑表示求和，用 i表示虛數(shù)等。圓周率π雖然不是歐拉首創(chuàng)，但卻是經(jīng)過歐拉的倡導才得以廣泛流行。而且，歐拉還把e 、π 、i 統(tǒng)一在一個令人叫絕的關(guān)系式 中。 歐拉在研究級數(shù)時引入歐拉常數(shù)Ｃ，
這是繼π 、e 之后的又一個重要的數(shù)。
拉普拉斯說過：“讀讀歐拉，這是我們一切人的老師”。 被譽為數(shù)學王子的高斯也普說過："對于歐拉工作的研究，將仍舊是對于數(shù)學的不同范圍的最好的學校，并且沒有別的可以替代它"。
泊松（Poisson, Simeon Denis, 1781.6.21—1840.4.25）
法國數(shù)學家、力學家和物理學家。生于盧瓦雷省的皮蒂維爾斯，卒于巴黎。1800年畢業(yè)于巴黎綜合工科學校，1806年任該校教授。1812年當選為巴黎科學院院士。1816年任素爾博納大學理論力學教授。1826年當選為彼得堡科學院院士。1837年被授予爵士。他的研究涉及現(xiàn)代科學的諸多方面。發(fā)表過300多篇論文。他在天體力學、傳熱學、電磁學、彈力學、數(shù)學分析、偏微分方程、概率論、變分學、內(nèi)、外彈道學刻流體力學等方面都有重要貢獻。提出來的概率論中的泊松分布、彈性力學中的泊松常數(shù)和球體引力的泊松方程都非常著名。他的著作主要有《力學教程》、《關(guān)于引力理論教程》、《熱的分析理論》和《關(guān)于球體引力》等。
狄利克雷（Dirichlet, Peter Gustav Leheune, 1805.2.13—1859.5.5）
德國數(shù)學家。生于迪倫，卒于格廷根。早年就讀于法蘭西學院和巴黎理學院，深受傅里葉的影響。1828年任柏林大學特別教授，1839年任教授。1855年任格廷根大學教授。他是普魯士科學院院士和倫敦皇家學會會員。他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，創(chuàng)立了代數(shù)單位元素的一般理論。在數(shù)學分析方面，他首次準確解釋了級數(shù)條件收斂的可能性。著有《數(shù)論講義》（1836）、《關(guān)于三角級數(shù)的收斂性》、《用正弦和余弦級數(shù)表示完全任意函數(shù)》等書。提出“狄利克雷函數(shù)”、“狄利克雷積分”和“狄利克雷原理”等。他還在位勢論、熱學、磁學和數(shù)學物理等方面也有一些研究成果。
弗雷德霍姆（Fredholm, Erik Ivar, 1866.4.7—1927.8.17）
瑞典數(shù)學家。生于斯德哥爾摩，卒于同地。早年在烏普薩拉大學和斯德哥爾摩大學學習，畢業(yè)后在斯德哥爾摩大學任教。1898年獲博士學位。1906年任教授。他是瑞典科學院院士和法國科學院通訊院士，并獲得過巴黎科學院獎。他的主要貢獻在積分方長方面，是積分方程一般理論的創(chuàng)立者。他研究了三類重要積分方程，提出了兩個定理及其解，后來這三類積分方程分別稱為第一、二、三類弗雷德霍姆積分方程，而有關(guān)弗雷德霍姆積分方程解的研究則稱為弗雷德霍姆理論。他還在冪級數(shù)理論上有所貢獻。
歐幾里得（Euclid, 約前330-前270）
古希臘數(shù)學家。生于雅典。柏拉圖的學生。公元前300 年左右，受托勒密王（前364-前283）之邀，到亞歷山大從事學術(shù)活動。他一生著述頗多，其中以巨著《幾何原本》最著名。該書原有13卷，后人增補2卷。這部最古老的數(shù)學著作博大精深，為2000年來用公理法建立演繹的數(shù)學體系樹立了最早的典范，并一直是幾何學的經(jīng)典教本。英國數(shù)學家德摩根（De Morgan）曾說，除了《圣經(jīng)》，再沒有任何一種書像《幾何原本》這樣擁有如此眾多的讀者，被譯成如此多種語言。從1482年到19世紀末，《幾何原本》的各種版本用各種語言出了1000版以上。他的主要著作還有《論圖形的分割》、《現(xiàn)象》、《衍論》、《光學》和《音樂原理》等。
Euclid 在《原本》中，便用五種邏輯用法，從五個公理推演出465個定理，內(nèi)容含蓋我們熟知的平面幾何，此外還討論了幾何式代數(shù)、比例論、數(shù)論及立體幾何。后人呈現(xiàn)數(shù)學大多師法這種公理化的方法。 Euclid 的《原本》經(jīng)由幾個后人的評注版本，衍生出許多歐文（及其它語言）的譯本。由于學數(shù)學的人大都研習幾何學，《原本》就成為歷來版本最多、行銷最廣、最具影響力的教科書?，F(xiàn)在的幾何課本雖然采用這些譯本，但內(nèi)容大致還是以《原本》的前六卷為規(guī)范的。利瑪竇與徐光啟就是把前六卷譯成中文的《幾何原本》。Euclid 的生平卻隱沒不詳，惟一可以確定的事，他在亞歷山大城著書立說，傳道授業(yè)，而以「亞歷山大的 Euclid」聞名。
笛卡爾（Descartes, René, 1596.3.31—1650.2.11）
法國哲學家、數(shù)學家、物理學家和生物學家，解析幾何學奠基人之一。Descartes 坐標的發(fā)明，則是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的第一個里程碑，影響深遠。
生于土倫的拉埃耶，卒于瑞典斯德哥爾摩。Descartes 生于貴族豪門，小時身體十分孱弱（他的名字 Rene 有「重生」之意），在耶穌會 Le Fleche's 公學上課時，他還被特別允許遲至早上十一點才起床，他藉此閱讀大量的書籍，這個習慣終生不變。
1612年入巴黎普瓦捷大學讀法學，1616年獲博士學位。1617年從軍。1625年返巴黎。1628年移居荷蘭，潛心研究數(shù)學、哲學、天文學、物理學、化學和生理學等諸多領域，埋頭著述20多年。他的貢獻是多方面的，尤其在數(shù)學方面以創(chuàng)立解析幾何而著稱，代表作《幾何學》。他還對微積分的創(chuàng)立起到了重要推動作用。在哲學上，他開創(chuàng)重視科學認識的方法論和認識論，稱為西方近代哲學的創(chuàng)始人之一。他提出“我思故我在”的哲學原則，著有哲學著作《方法論》，后面有三篇著名的附錄：《折光學》、《論大氣現(xiàn)象》和《幾何學》, 用來展示他思想方法的威力，前兩篇在當時都是新鮮的觀點并造成影響，但是作為用來證明前兩篇的第三篇附錄〈幾何〉，才是真正的瑰寶，因為他在這里正式提出了 Descartes 坐標. 西方古典數(shù)學基本上是幾何式的，在研究代數(shù)問題時經(jīng)常使用幾何方法，但是 Descartes 坐標的提出，反而將繁復的幾何問題化約成有確切方法的代數(shù)問題。這使得數(shù)學家能通過清楚的代數(shù)方法，去重新將看似不相關(guān)的幾何物體予以深刻的分類。而且更重要的是，由于 Descartes 坐標，我們才能不自限于傳統(tǒng)的幾何對象與問題，開啟了全新的幾何領域、問題與方法，日后也才有可能用分析的方法去研究函數(shù)。 Descartes 的數(shù)學成果并不多，但是他在數(shù)學史上卻很重要的原因就在這里。
柯西（Cauchy, Augstin Louis, Baron, 1789.8.21—1857.5.23）
法國數(shù)學家、力學家。生于巴黎，卒于索鎮(zhèn)。在分析學與數(shù)學物理卓有貢獻，也是微積分嚴格化的第一人。
1807和1810年先后畢業(yè)于巴黎綜合工科學校和巴黎橋梁公路學院。1809年成為工程師。1813年回到巴黎綜合工科學校任教 ，1816年任該校教授，并當選為法國科學院院士。他還是倫敦皇家學會會員和幾乎所有外國科學院的院士。他還擔任過巴黎大學理學院、法蘭西學院和都靈大學的教授。他至少出版過7部著作和800多篇論文。從數(shù)學史的觀點，他最重要的成就或許在于，他是打下分析（實變量或復變量）嚴格基礎的先驅(qū)者：例如收斂、極限、連續(xù)函數(shù)的意義（一說在布拉格受 Bolzano 的影響），無窮級數(shù)的收斂條件，復變量函數(shù)的定義等。另外他在微分方程、數(shù)學物理（彈性理論，光學等）、代數(shù)也有很大的貢獻，他的成就遍及數(shù)學分析、復變函數(shù)、誤差理論、代數(shù)、幾何、微分方程、力學和天文學等諸多領域。他在數(shù)學方面最重要的貢獻在三個領域：微積分學、復變函數(shù)和微分方程。他是經(jīng)典分析的奠基人之一，是現(xiàn)代復變函數(shù)理論的創(chuàng)建人之一，并為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎。
施圖姆（Sturm, Jacques Charles Francois, 1803.9.29—1855.12.28）
瑞士－法國數(shù)學家。生于日內(nèi)瓦，卒于巴黎。他早年在日內(nèi)瓦學院學習。畢業(yè)后任家庭教師，后又進入巴黎科學界，1833年入法國國籍。1836年成為巴黎科學院院士。他還是柏林科學院、彼得堡科學院院士及英國皇家學會會員。1840年任巴黎綜合工科學校教授。他在數(shù)學上做出了許多開創(chuàng)性、奠基性貢獻。他建立了n次實系數(shù)代數(shù)方程的實根的施圖姆定理。他提出了不求方程的解而得知解的零點分布狀態(tài)的方法，是微分方程理論的奠基人之一。他與法國數(shù)學家劉維爾合作，研究二階常微分方程的特征值與特征函數(shù)問題，取得若干重要結(jié)果。他在射影幾何、微分幾何、幾何光學和分析力學方面也有重要貢獻。著有《力學教程》和《分析教程》等。
劉維爾（Liouville, Joseph, 1809.3.24—1882.9.8）
法國數(shù)學家。生于圣奧梅爾，卒于巴黎。1827年畢業(yè)于巴黎工科大學。1833年起先后任巴黎工科大學、索邦大學、法蘭西學院教授和天文事物局局長。1836年獲博士學位，同年創(chuàng)辦《純粹與應用數(shù)學雜志》，并任主編達40年之久。1839年當選為巴黎科學院院士。1850年當選為倫敦皇家學會會員。他還是彼得堡科學院名譽院士。他發(fā)表近400篇論著，涉及數(shù)學和物理學的十幾個分支。他在初等函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)理論、超越函數(shù)理論和微分幾何等方面均取得了重要成果。他建立了橢圓函數(shù)理論，還與施圖姆合作開創(chuàng)了二階常微分方程邊值問題的研究方向，并取得若干重要成果。
諾伊曼（Neumann, Carl Gottfried von, 1832.5.7—1925.3.27）
德國數(shù)學家、理論物理學家。生于柯尼斯堡，卒于萊比錫。早年在柯尼斯堡大學求學，1855年獲博士學位。先后執(zhí)教于哈雷大學（1863）、巴塞爾大學（1864）、蒂賓根大學（1865）和萊比錫大學（1868-1911）。1868年，他與克萊布什共同創(chuàng)辦了德國數(shù)學雜志《數(shù)學年刊》。他是柏林科學院院士。他在解析理論、常微分方程、偏微分方程位勢理論、特殊函數(shù)理論和積分方程理論等方面做出了貢獻。他特別研究了拉普拉斯方程的另一種邊值問題，即著名的諾伊曼問題。著有《代數(shù)函數(shù)的黎曼理論講義》和《關(guān)于阿貝爾積分的黎曼理論講義》等專著。
羅賓（Robin, Gustave, 1855-1897）
國籍生卒不祥。他精于容量理論與微分方程。曾提出羅賓常數(shù)與橢圓偏微分方程的羅賓問題。
巴拿赫（Banach,Stefan, 1892.3.30—1945.8.31）
波蘭數(shù)學家，泛函分析奠基者。生于克拉科夫，卒于烏克蘭的利沃夫。1914年畢業(yè)于利沃夫大學并留校任教，1920年獲博士學位。1924年任利沃夫大學教授。他是波蘭科學院院士、烏克蘭科學院通訊院士、波蘭數(shù)學學會主席。他曾獲波蘭科學院院士、烏克蘭科學院通訊院士、波蘭數(shù)學學會主席。他曾獲波蘭科學院重大科學獎。他和斯坦因豪斯（Steinhaus, Hugo Dionisi, 1887.1.14—1972.2.25）共同創(chuàng)立并領導了利沃夫?qū)W派。1932年，他的名著《線性算子理論》出版，并成為泛函分析的最重要經(jīng)典著作之一。他引進了賦范線性范數(shù)空間概念，建立了其上的線性算子理論。他在級數(shù)理論、集合論、測度論、積分理論、常微分方程理論和復變函數(shù)理論等方面都有重要貢獻。
弗里德里希斯（Friedrichs, Kurt Otto, 1901.9.28—1983.1.2）
德國－美國數(shù)學家。生于基爾，卒于紐約。早年在格廷根大學求學，是庫朗（Courant, Richard, 1888.1.8—1972.1.27）的學生。1925年獲博士學位。1925-1937年相繼在格廷根、亞琛、不倫瑞克等大學任教。1937年，移居美國，任紐約大學教授。1943年起任庫朗數(shù)學科學研究索教授，1953-1967年相繼任該所副所長和所長。1959年當選為美國國家科學院院士。他還是格廷根科學院和慕尼黑科學院的通訊院士。1977年獲國家科學獎章。他在數(shù)學物理、微分方程理論、廣義函數(shù)、微分算子理論、彈性力學和流體力學等方面均做出貢獻。著有《高階常微分方程講義》（1965）、《希爾伯特空間的譜振動》（1965）、《偽微分算子》（1968）、《電磁理論的數(shù)學方法》（1974）和《泛函積分》（1976）等。
費瑪（1601年8月20日～1665年1月12日）出生于一個皮革商的家庭，位在法國的 Toulouse 附近。他在 Toulouse 大學讀法律，畢業(yè)后的正業(yè)是律師、宮庭顧問，并且在1631年成為 Toulouse 地區(qū)的議員。
在忙碌的正業(yè)之外，數(shù)學是他的業(yè)余嗜好。他利用空閑的時間研究數(shù)學，并且將所得的結(jié)果，寄給朋友，互相討論，或保留著沒有發(fā)表。他的稿件，在他死后由其兒子在1679年出版，這就是我們所知道的費瑪?shù)闹鳌禫aria Opera》。
西方世界經(jīng)歷十五、十六世紀文藝復興的蘊釀，在十七世紀初，正是各門學問突破之際。尤其是處在微積分要誕生，科學革命要發(fā)生的前夕，費瑪在許多學問分支都扮演著開路先鋒的關(guān)鍵性角色，他的主要貢獻領域有：解析幾何、微積分、機率論、光學以及數(shù)論。
解析幾何：
費瑪與笛卡兒 (Descartes) 兩個人獨立地發(fā)明解析幾何，但是方向正好相反。費瑪是由方程式出發(fā)，走向圖形。他說：「當我們發(fā)現(xiàn)兩個未知量的一個方程式，就可以探求它的圖形，這不外是一條直線或曲線?！菇馕鰩缀螢橥笪⒎e分的誕生奠下良好的基礎。
微積分：
費瑪由求極值問題切入，不知不覺走到了微分法的門口。牛頓讀到費瑪?shù)淖髌?，如觸電一般，從中提煉出真正的微分法。費瑪也利用動態(tài)窮盡法求得許多積分，例如：
機率論：
有兩個賭徒賭博，但賭到半途，有事必須終止賭局，但不知要如何才是公平地瓜分賭金。于是有人就去請教費瑪，在1654年費瑪和巴斯卡 (Pascal) 通信討論，解決了這個問題，這就是著名的瓜分賭金問題。有些數(shù)學史家就把1654這一年與這件事，當作是機率論的起源。
光學：
費瑪研究光學的折射現(xiàn)象，提出最短時間原理，由此推導出折射定律。這可以看作是變分學之始，后來一路發(fā)展到古典力學的 Hamilton 最小作用量原理，將力學統(tǒng)合在單一原理之下，美麗已極！
數(shù)論：
費瑪最輝煌的成就在于數(shù)論。最重要的三個定理如下：
費瑪?shù)膬善椒胶投ɡ恚?任何形如 4n+1 的質(zhì)數(shù)都可以唯一表成兩個平方數(shù)之和。
費瑪小定理： 設 p 為一個質(zhì)數(shù)并且 a 為一個整數(shù)。若 p 不可整除 a，則
費瑪最后定理： 設 n 為大于 2 之整數(shù)，則方程式 沒有正整數(shù)解。
對于這個最后定理，費瑪在他的書頁中寫道（約1637年）： 我發(fā)現(xiàn)了一個美妙的證明，但由于空白太小，而沒有寫下來。 就這樣一句話，讓后來的數(shù)學家忙碌了357年，也犯過許多錯誤，終于在1994年由 A. Wiles 提出正確的證明，終結(jié)了「這只會生金蛋的天鵝」。（Hilbert之語）
由于費瑪對數(shù)學的重大貢獻，后人尊稱他為「業(yè)余數(shù)學家之王」，數(shù)學史家 E.T. Bell 稱贊他為「大師中的大師」(A master of masters)，簡直比數(shù)學家還要數(shù)學家！Toulouse 的市政廳還立有費瑪與繆思女神 (Muse) 并坐在一起的銅像。
Abel（1802～1829）生于 Frindoe，卒于 Froland，挪威數(shù)學家。以證明五次方程式?jīng)]有根式解名于世，他所構(gòu)思的橢圓函數(shù)論，是十九世紀最重要的數(shù)學主題之一。他與 Galois 的英才早逝，是十九世紀數(shù)學界的悲劇。
由于十九世紀初英法兩國的對峙，企圖中立的挪威（當時還是丹麥的屬地）反而因為被雙方的經(jīng)濟封鎖，而導致經(jīng)濟衰敗，民不聊生。在貧窮中長大的 Abel，一生體質(zhì)孱弱。他的父親是一個堅定的挪威民族主義者，雖然曾經(jīng)參與挪威的立法制憲，卻不能改進家中的經(jīng)濟情況，反而因為他的早死，導致十八歲的 Abel 必須撐起家中的重擔。
可能因為就讀的學校太差，Abel 起初并沒有露出過人的才藝，一直到他十六歲那年，一個數(shù)學老師 Holmoboe 改變了他的一生，在這位老師的教導下，一年之間 Abel 已經(jīng)能夠研讀重要的數(shù)學家的著作，例如牛頓、Euler、Lagrange、Laplace 與高斯。
在 Holmoboe 的經(jīng)濟支持下，19歲的 Abel 得以進入 Christiania大學（今挪威 Oslo 大學）， 20歲得到初等學位，隨后尋求從數(shù)學邊陲的挪威到當時的數(shù)學圣地──德國與法國朝圣的機會。1824年， Abel 證明了五次方程式?jīng)]有根式解，他自費出版這個結(jié)果，并寄給他準備拜訪的高斯。
1825年 Abel 在挪威政府的協(xié)助下，與幾個友人首途赴德，在柏林他結(jié)識了他的伯樂兼摯友土木工程與業(yè)余數(shù)學家 Crelle。他當時正籌辦《Crelle 雜志》（即《Journal fur die reine und angewandte Mathematik》），便請 Abel 將他的結(jié)果發(fā)表在該雜志上，事實上在《Crelle 雜志》的第一冊，便發(fā)表了 Abel 七篇文章。
不過除了結(jié)識 Crelle 外，Abel 德法之旅實在非常令人沮喪，首先是高斯對代數(shù)方程式解的問題并不感興趣，連 Abel 的文章都沒有打開過。而 Abel 的另一篇討論橢圓函數(shù)的劃時代杰作，在巴黎卻遭受 Cauchy、Legendre 等大數(shù)學家的冷落。
在饑弱交迫下，1827年25歲的 Abel 失望地回到挪威，在他人生的最后兩年，他曾致力于研究五次方程的可解條件（結(jié)果與 Galois 相仿），后來他專心致力于與 Jacobi 競爭，研究橢圓函數(shù)與更廣義的 Abel 函數(shù)。1829年他因重病過逝，令人遺憾的是，摯交 Crelle 終于替 Abel 在柏林大學謀得教職的遲來喜訊在三天后才到達。隔一年，他與 Jacobi 獲頒法國的 Grand Prix，Legendre 贊美他是「當代最佳的分析學家」，卻已經(jīng)來不及撫慰這個卒年僅27歲天才數(shù)學家的心靈。阿貝爾在五次方程和橢圓函數(shù)研究方面遠遠的走在當時研究水平的前面，但因?qū)W術(shù)始終無法得到承認而貧病交加，27歲不到就染上肺結(jié)核去世。法國數(shù)學家埃爾米特曾感嘆地說：“阿貝爾所留下的思想，可供數(shù)學家們工作150年?！?/span>
雖然 Abel 以證明五次方程沒有根式解出名，但他對數(shù)學最大的貢獻是橢圓函數(shù)的研究。所謂橢圓積分，是形如
的積分，其中 R(x,y) 為有理函數(shù)，P(x) 為三次或四次多項式，Legendre 曾經(jīng)數(shù)十年研究橢圓積分，卻成果有限。Abel 則考慮以研究此不定積分的反函數(shù)──稱為橢圓函數(shù)──來重新定位整個研究路徑。而且他意識到如果將積分推廣到復數(shù)域，則橢圓函數(shù)都是雙周期函數(shù)，這些嶄新的想法后來又被 Abel 自己推廣到超橢圓函數(shù)與 Abel 積分，為黎曼從事多值函數(shù)與黎曼面奠下重要的基礎，正是 Abel 提出了后來黎曼面所謂虧格 (genus) 的觀念。
法國數(shù)學家 Hermite 曾盛贊 Abel「我無法離開橢圓的領域」，「Abel 留下的觀念可以讓數(shù)學家忙上150年」。事實上 Hermite 利用橢圓函數(shù)解決了五次方程式公式解的問題。
挪威設立的數(shù)學界大獎——阿貝爾（Abel）獎
2003年，一項專門為數(shù)學家設立的、獎金額近80萬美元的阿貝爾獎將在挪威奧斯陸頒發(fā)，今天在此間出席國際數(shù)學聯(lián)盟成員國代表大會的奧斯陸大學數(shù)學系教授斯托默宣布了這一消息。 斯托默是阿貝爾委員會的5名委員之一，他希望國際數(shù)學聯(lián)盟能夠推薦一名候選人角逐第一屆阿貝爾獎。
斯托默說，以挪威天才數(shù)學家阿貝爾命名的阿貝爾獎將一年一度的頒發(fā)給那些在數(shù)學領域作出杰出貢獻的科學家，獲獎者沒有年齡的限制，頒獎典禮將于每年六月在奧斯陸舉行。設立這項獎金的宗旨在于提高數(shù)學在社會中的地位，同時激勵青少年學習數(shù)學的興趣。
在此之前，國際數(shù)學界的最高榮譽是從1936年開始頒發(fā)的菲爾茨獎。菲爾茨獎每四年一度，獲獎者取得得獎成果時的年齡不得超過40歲，到目前為止僅有42位數(shù)學家獲此殊榮，獎金額卻只有阿貝爾獎的二百分之一——4000美元。
斯托默介紹說，目前阿貝爾獎的提名方式還沒有最終確定，原則上每位數(shù)學家都可以向阿貝爾委員會推薦候選人，但只有阿貝爾委員會擁有最終向阿貝爾評獎委員會提名候選人的權(quán)利。
5人組成的阿貝爾評獎委員會將決定誰是第一個獲得阿貝爾獎的幸運兒。全部5名委員必須經(jīng)由挪威科學院任命，其中有兩人來自挪威科學院，其余三人分別來自挪威皇家社會科學院，挪威高等教育委員會和奧斯陸大學。
據(jù)介紹，為了紀念挪威天才數(shù)學家阿貝爾誕辰200周年，挪威財政部在今年年初撥款2億挪威克郎(約合2200萬美元)設立阿貝爾紀念基金，基金的收益將用于阿貝爾獎獎金、阿貝爾獎頒獎典禮和青少年數(shù)學教育活動。
Fourier（1768～1830）
生于法國 Auxevre，1830年卒于巴黎。因研究熱傳導理論名于世，其 Fourier 級數(shù)方法是分析學的重要工具。
早在13歲，F(xiàn)ourier 即顯現(xiàn)出他在文學與數(shù)學的興趣，14歲他已讀完 Bezout《數(shù)學教程》全六冊。但是19歲時他選擇進入 Benedictine（圣本篤）修道院，希望成為神父，此后三年，他不斷掙扎于數(shù)學與宗教之間，在一封信中，F(xiàn)ourier 曾說： 「昨天是我21歲生日，在這個年紀牛頓與 Pascal 早就完成許多不朽的工作?！?
不過到了1793年，也就是法國大革命后四年，政治在 Fourier 的生命中注入新的活力與終生的糾纏，26歲他還因此入獄，隨后因政治氣氛改變而出獄。
1795年 Fourier 成為新時代象征之一，法國高等師范學院的第一批學生，教授群都是一時之選，包括 Lagrange、Laplace、Monge。之后他在法蘭西學院與綜合工藝學院授課，1797年他繼任 Lagrange 任分析與力學教授。
1798他與 Monge 隨拿破侖征服埃及，創(chuàng)制法國在埃及的教育體系，從事考古發(fā)掘，并在開羅創(chuàng)立埃及學院，F(xiàn)ourier 任學院秘書，也是當時法國在埃及的文化「教皇」。
1801年他繼拿破侖回到巴黎，卻非常不情愿地被拿破侖派任到 Grenoble 大學當校長，除了一展其行政長才外，F(xiàn)ourier 一生最重要的熱傳導理論就是在這里完成的，他提出了將函數(shù)展成三角函數(shù)級數(shù)和的 Fourier 級數(shù)法，對于日后的分析學有重大的影響。
1807年 Fourier 的論文《固體中的熱傳導》在由 Lagrange、Laplace、Monge、Lacroix 組成的委員會中宣讀，獲得高度重視，但也引起爭議。主要是當時的數(shù)學環(huán)境還無法完全證明 Fourier 級數(shù)理論的嚴格性，因此 Lagrange、Laplace 一直持保留態(tài)度，這個混亂的情況到1811年，F(xiàn)ourier 以擴增的論文獲得數(shù)學大獎后，仍然未能解決，也造成得獎論文不能發(fā)表的怪事。事實上這場論戰(zhàn)，要經(jīng)過 Poisson、Cauchy，一直到 Dirichlet 登場，才真正落幕。
Dirichlet（1805～1859）德國數(shù)學家，生于現(xiàn)德國 Duren（當時屬法國），卒于哥廷根。他是解析數(shù)論的奠基者，也是現(xiàn)代函數(shù)觀念的定義者。
Dirichlet 家族可能來自比利時，他的父親是 Duren 城的郵政局長。Dirichlet 在12歲時對數(shù)學已充滿熱情，會用零用錢，購買喜歡的數(shù)學書。16歲時由于當時德國大學水準太低，他到巴黎讀大學，隨身攜帶的是他視如珍寶的高斯著作《Disquisitiones Arithmeticae》（算術(shù)研究），而身邊皆是法蘭西學院的名師如 Fourier、Laplace、Legendre 與 Poisson。
Dirichlet 1825年挾證明費瑪最后定理 n=5 情況的盛名，他一生的貴人──德國博物學與礦物學家 Alexander von Humboldt── 舉薦他回德國大學任教，當時由于他沒有德國博士學位，又不會拉丁文，只好由科?。↘oln）大學破格授予榮譽學位，再向 Breslau 大學提出求職的 Habilitation 論文，取得教書的資格，此舉曾引起德國數(shù)學界議論紛紛。
由于 Breslau 大學水準太差，1828年在 von Humbolodt 幫助下，Dirichlet 搬往柏林，先在軍事學院教書，進而取得柏林大學的教授資格。一直到1855年，Dirichlet 一直在這兩所大學從事煩冗的教學工作，只有在1843～1845年，經(jīng)由von Humboldt 穿針引線，陪同一生的好友 Jacobi 前往意大利療養(yǎng)，并造訪意大利數(shù)學界。
1855年高斯去世，哥廷根大學聘任 Dirichlet 接任高斯的位置，Dirichlet 以此向普魯士文化部要求停止軍事學院的教書負擔，但由于一直沒有響應，Dirichlet 乃前往哥廷根。可惜短短地在三年后，因心臟病發(fā)于瑞士，最后逝于哥廷根。
Dirichlet 的數(shù)學貢獻甚多，除了早年證明費瑪最后定理 n=5 的情況；三十歲時他證明高斯猜測的「在始項與公差互質(zhì)的算術(shù)級數(shù)中，存在無窮多質(zhì)數(shù)」，其中他引介 L 函數(shù)的觀念與進路，成為解析數(shù)論的奠基者；并在解釋太陽系穩(wěn)定性時，引入 Laplace 方程的 Dirichlet 條件；他也是現(xiàn)代函數(shù)觀念的真正定義者， Dirichlet 函數(shù)還常見于今日微積分的教科書：
關(guān)于 Fourier 級數(shù)的嚴格性（Fourier、Poisson、Cauchy），也要到 Dirichlet 才解決，黎曼尊稱他為 Fourier 級數(shù)理論的真正奠基者。
Dirichlet 似乎人緣不錯，勤奮寡言，不修邊幅又健忘，卻是一個觀念清晰的好老師， Koch 曾說 「由 Dirichlet 始，柏林大學進入其黃金時代?！?/p>
Jacobi（1804～1851），出生于德國 Potsdam，卒于柏林。他對數(shù)學主要的貢獻是在橢圓函數(shù)及橢圓積分上，并把這些理論應用在數(shù)論上而得到很好的結(jié)果。
雅可比很早就展現(xiàn)了他的數(shù)學天份。他從歐拉及 Lagrange 的著作中學習代數(shù)及微積分，并被吸引到數(shù)論的領域。他處理代數(shù)問題的手腕只有歐拉與印度的 Ramanujan 可以相提并論。
Jacobi 少 Abel 兩歲。他不知道 Abel 從1820年起就在作五次式的問題，他也去作，但是沒有完滿的結(jié)果。 年輕的時候，Jacobi 有許多發(fā)現(xiàn)都跟高斯的結(jié)果重疊，但高斯并沒有發(fā)表這些結(jié)果。高斯很看重雅可比，1839年 Jacobi 還去拜訪了高斯。1849年45歲的時候，除了高斯之外，Jacobi 已經(jīng)是歐洲最有名的數(shù)學家了。
復數(shù)函數(shù)（單變量）是十九世紀的一個大領域。高斯已經(jīng)證明了：要解一個代數(shù)方程，我們必需要復數(shù)，而這也是充分的。是否還有其它的「數(shù)」呢？
橢圓函數(shù)理論是與復變函數(shù)論互為補充的理論。橢圓函數(shù)的一個主宰性質(zhì)是他的雙周期性，1825年被 Abel 發(fā)現(xiàn)的。若 E(x) 為一橢圓函數(shù)，則有兩個相異的數(shù) p1、p2 使
Jacobi 應用橢圓函數(shù)論到整數(shù)論的問題上，他證明了 Fermat 宣稱的：每個整數(shù) 1, 2, 3, ... 都可以寫成整數(shù)（包含 0）的平方和，而且他還能算出共有幾種方法。當 n 為奇時，有 n 的所有因子（包括 1 及 n）之和的 8 倍個方法；當 n 為偶時，有 n 的所有奇因子之和的 24 倍個方法。
他在數(shù)學物理上也有番建樹，在量子力學中他的 Hamilton-Jacobi 方程扮演了一個革命性的角色。
