雅可比
中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 井竹君
雅可比，C．G．J．(Jacobi Carl Gustar Jacob)1804年12月10日生于德國(guó)波茨坦；1851年2月18日卒于柏林．?dāng)?shù)學(xué)．
雅可比是猶太銀行家西蒙·雅可比(Simon Jacobi)和他的妻子萊曼(Lehmann)的第二個(gè)兒子．雅可比有一個(gè)長(zhǎng)他三歲的哥哥莫里茨(Moritz)，后來(lái)在彼得堡成為著名的物理學(xué)家．弟弟愛(ài)德華(Eduard)在其父去世后掌管了銀行．他還有個(gè)妹妹雷澤(Therese)．
雅可比自幼聰敏，幼年隨他舅舅學(xué)習(xí)拉丁文和數(shù)學(xué)．1816年11月進(jìn)入波茨坦大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)．1821年春畢業(yè)．當(dāng)時(shí)他的希臘語(yǔ)、拉丁語(yǔ)和歷史的成績(jī)都很優(yōu)異；尤其在數(shù)學(xué)方面，他掌握的知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)學(xué)校所教授的內(nèi)容．他還自學(xué)了L．歐拉(Euler)的《無(wú)窮小分析引論》(Introductioin analvsin infinitorum)，并且試圖解五次代數(shù)方程．
1821年4月雅可比入柏林大學(xué)．開(kāi)始兩年的學(xué)習(xí)生活，他對(duì)哲學(xué)、古典文學(xué)和數(shù)學(xué)都頗有興趣．該校的校長(zhǎng)評(píng)價(jià)說(shuō)，從一開(kāi)始，雅可比就顯示出他是一個(gè)“全才”．像C．F．高斯(Gauss)一樣，要不是數(shù)學(xué)強(qiáng)烈地吸引著他，他很可能在語(yǔ)言學(xué)上取得很高成就．雅可比最后還是決定全力投身于數(shù)學(xué)．1825年8月，他獲得柏林大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位．之后，留校任教．1825年到1826年冬季，他主講關(guān)于三維空間曲線和曲面的解析理論課程．年僅21歲的雅可比善于將目己的新觀點(diǎn)貫穿在教學(xué)之中，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，是當(dāng)時(shí)最吸引人的數(shù)學(xué)教師．他的成功引起普魯士教育部的注意．
1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大學(xué)任教．在那里他結(jié)識(shí)了物理學(xué)家F．諾伊曼(Neumann)和H．多費(fèi)(Dove)、數(shù)學(xué)家F．貝塞爾(Bessel)．一年之后，發(fā)表了幾篇關(guān)于數(shù)論中有關(guān)互反律(后人稱為“雅可比符號(hào)的互反律”)的論文，受到高斯的贊賞．由此開(kāi)始數(shù)學(xué)創(chuàng)作的黃金時(shí)代．1827年12月獲得副教授職位，這次提升與高斯、A．M．勒讓德(Legendre)對(duì)他早期工作的贊揚(yáng)有關(guān)(而高斯不是一個(gè)輕易表態(tài)的人)．1829年發(fā)表了他的第一部杰作《橢圓函數(shù)理論新基礎(chǔ)》(Fundamenta Nova Theoriae Funcctionurn Ellipticaram，1829，見(jiàn)《雅可比全集》第一卷)．同年夏天雅可比去巴黎旅行，途中訪問(wèn)了在格丁根的高斯，并結(jié)識(shí)了勒讓德、J．B．J．傅里葉(Fourier)、S．D．泊松(Poisson)和其他法國(guó)數(shù)學(xué)家．1832年7月被提升為教授．在此前一年，即1831年9月11日與瑪麗·施溫克(Marie Schwinck)結(jié)婚，他們生有5個(gè)兒子和3個(gè)女兒．1842年7月受普魯士國(guó)王的派遣，和貝塞爾參加在曼徹斯特舉行的不列顛科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)(British Associationfor the Advancement of Science)的年會(huì)，回國(guó)途中在巴黎科學(xué)院作了報(bào)告．
在柯尼斯堡大學(xué)的18年間，雅可比不知疲倦地工作著，在科學(xué)研究和教學(xué)上都做出驚人的成績(jī)．他對(duì)橢圓函數(shù)理論的透徹研究在數(shù)學(xué)界引起轟動(dòng)，從而與N．H．阿貝爾(Abel)齊名．雅可比在橢圓函數(shù)理論、數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、幾何學(xué)、力學(xué)方面的主要論文都發(fā)表在克雷勒的《純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志(Crelle’s Journal fürdie reine und angewardte Mathematik)上，平均每期有三篇雅可比的文章．這使他很快獲得國(guó)際聲譽(yù)．他孜孜不倦的研究工作并沒(méi)有影響他的教學(xué)活動(dòng)．每周要用8—10小時(shí)給學(xué)生講解他喜愛(ài)的課程——橢圓函數(shù)理論，并將自己的研究精髓教給學(xué)生，使學(xué)生受到科研的熏陶，打破了常規(guī)的教學(xué)方法．他還開(kāi)創(chuàng)了學(xué)術(shù)討論班，這在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界還是很新奇的事物．當(dāng)時(shí)，他同數(shù)學(xué)家貝塞爾、物理學(xué)家F．諾伊曼三人成為德國(guó)數(shù)學(xué)復(fù)興的核心．
1843年初雅可比患了嚴(yán)重的糖尿病．在得到普魯士國(guó)王的捐款之后去意大利休假數(shù)月．1844年6月底回到柏林，開(kāi)始接受普魯士國(guó)王的津貼，在柏林大學(xué)任教，并被選為柏林科學(xué)院院士、倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員．
1848年革命期間，由于他在一次即席演講中得罪了王室而失去津貼．當(dāng)維也納大學(xué)決定聘請(qǐng)他時(shí)，普魯士當(dāng)局意識(shí)到他的離開(kāi)將會(huì)造成的損失，因而恢復(fù)了他的待遇．
1851年初雅可比在患流行性感冒還未痊愈時(shí)，又得了天花，不久去世．他的密友P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)在柏林科學(xué)院發(fā)表紀(jì)念講話，總結(jié)了他在數(shù)學(xué)上的杰出貢獻(xiàn)，稱他為J．L．拉格朗日(Lagrange)以來(lái)科學(xué)院成員中最卓越的數(shù)學(xué)家．
雅可比最重要的貢獻(xiàn)是和挪威數(shù)學(xué)家N．H．阿貝爾(Abel)相互獨(dú)立地創(chuàng)立和發(fā)展了橢圓函數(shù)理論；引入并研究了θ函數(shù)和其他一些超越函數(shù)的性質(zhì)；大膽地使用復(fù)數(shù)，發(fā)展了復(fù)變量橢圓函數(shù)．他的第一部杰作《橢圓函數(shù)理論新基礎(chǔ)》成為該領(lǐng)域的經(jīng)典著作．該著作的第一部分研究變換問(wèn)題，第二部分給出橢圓函數(shù)的表示．在第一部分中，雅可比從第一類橢圓函數(shù)的微分出發(fā)，用二次變換將它化簡(jiǎn)為勒讓德的標(biāo)準(zhǔn)
出了三次和五次變換的例子和有關(guān)模方程的例子．經(jīng)組合兩個(gè)變換，他
圓積分
sinam(iu，k)=itan am(u，k′)，
這里模數(shù)k和k′滿足方程k2+k′2=1．這樣，他得到橢圓函數(shù)的雙周期性、零點(diǎn)、極點(diǎn)．他還證明當(dāng)對(duì)第一個(gè)模數(shù)和第二個(gè)模數(shù)應(yīng)用同樣變換時(shí)模方程的不變性．第一部分工作的最后，他研究了滿足所有變換模數(shù)的三階微分方程．
這著作的第二部分集中研究橢圓函數(shù)用無(wú)窮級(jí)數(shù)乘積和傅里葉級(jí)數(shù)的表示問(wèn)題．橢圓函數(shù)sin amu，cos amu，△amu的第一種表示是用無(wú)
窮乘積的商形式給出．記q=e-πk′/K，雅可比用q來(lái)表示模和周期，例如
橢圓函數(shù)還可用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)表示．
雅可比引進(jìn)函數(shù)
來(lái)討論第二類橢圓積分．他將第三類橢圓積分化簡(jiǎn)成第一類和第二類橢圓積分，而第三個(gè)超越函數(shù)僅依賴于兩個(gè)變量．他又引入“雅可比函數(shù)”
公式
雅可比又將這工作應(yīng)用于數(shù)論．從恒等式
斷，即任何整數(shù)可以表示成至少四個(gè)整數(shù)(零也是整數(shù))的平方和．
雅可比證明了以e-(an+b)/2為通項(xiàng)的級(jí)數(shù)的收斂性，這是整個(gè)橢圓函數(shù)理論發(fā)展的基礎(chǔ)．
1829—1830年冬季，雅可比第一次作橢圓函數(shù)理論的報(bào)告，他強(qiáng)調(diào)雙周期性是橢圓函數(shù)的基本性質(zhì)．他用θ函數(shù)理論來(lái)建立橢圓函數(shù)理論．1835—1836年，他證明有關(guān)四個(gè)θ函數(shù)乘積之和的著名定理，并且將各類橢圓函數(shù)定義為θ函數(shù)之商，從而第一個(gè)創(chuàng)立了θ函數(shù)理論．1839—1840年期間，他繼續(xù)這些研究，這部分工作收集在《雅可比全集》的第一集、第二集中，包括了對(duì)橢圓函數(shù)歷史的概述．
關(guān)于復(fù)變量橢圓函數(shù)理論，他研究了超橢圓積分等問(wèn)題，其中有關(guān)雙周期函數(shù)的論文(1835年)成為現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)理論中的經(jīng)典著作．他對(duì)阿貝爾函數(shù)也作過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)了超橢圓函數(shù)．
在橢圓函數(shù)理論的整個(gè)發(fā)展過(guò)程中，高斯、勒讓德、阿貝爾、雅可比他們對(duì)其理論都作過(guò)精心研究．阿貝爾和雅可比的許多發(fā)現(xiàn)同高斯年青時(shí)(1798年)作過(guò)的但沒(méi)有發(fā)表的工作(高斯從來(lái)不太在乎他的研究論文的發(fā)表)相交迭．勒讓德自1786年以來(lái)用了40年時(shí)間對(duì)橢圓積分作了系統(tǒng)的研究，并將其分為三類．但阿貝爾和雅可比看到了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．他們把勒讓德的思路顛倒過(guò)來(lái)，研究橢圓積分的逆，即橢圓函數(shù)，這樣就大大地簡(jiǎn)化了整個(gè)問(wèn)題，使得橢圓函數(shù)理論迅猛地發(fā)展起來(lái)．
橢圓函數(shù)理論在19世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有十分重要的地位．它為發(fā)現(xiàn)和改進(jìn)復(fù)變函數(shù)理論中的一般定理創(chuàng)造了有利條件．如果沒(méi)有橢圓函數(shù)理論中的一些特例為復(fù)變函數(shù)理論提供那么多的線索，那么復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展就會(huì)慢得多．
雅可比第一個(gè)將橢圓函數(shù)理論應(yīng)用于數(shù)論的研究，得到同余式和型理論中的一些結(jié)果，這一思想為后繼數(shù)學(xué)家所沿用．他這方面的研究結(jié)果是通過(guò)J．G．羅森海因(Rosenhain)的聽(tīng)課筆記流傳下來(lái)的．他還給出元根的“標(biāo)準(zhǔn)算法”，該文章于1839年發(fā)表．
雅可比研究工作的特點(diǎn)是將不同的數(shù)學(xué)分支聯(lián)系起來(lái)．他將橢圓函數(shù)理論用于積分理論、微分方程理論，其中尾乘式原理就是他提出的．他又將橢圓函數(shù)理論用于動(dòng)力學(xué)和分析力學(xué)，創(chuàng)立了哈密頓-雅可比方程．他尋找最一般的代換，得到哈密頓-雅可比方程積分的新理論．這一方法解決了力學(xué)和天文學(xué)中一些十分重要的問(wèn)題，并使微分方程的研究進(jìn)入一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期．后來(lái)，A．克萊布什(Clebsch)改進(jìn)了雅可比的工作；10年之后 H．L．F．亥姆霍茲(Helmholcz)把雅可比的力學(xué)原理全部用到一般物理學(xué)中．
雅可比對(duì)行列式理論也做了奠基性的工作．1841年初他系統(tǒng)地研究了行列式理論，推廣了代數(shù)行列式的應(yīng)用，建立了函數(shù)行列式(后來(lái)稱之為雅可比行列式)，并將其應(yīng)用到函數(shù)組的相關(guān)性、多重積分的變量變換和偏微分方程的研究中．
有關(guān)一階偏微分方程和分析力學(xué)的大部分研究工作是他去世之后以“動(dòng)力學(xué)講義”(Vorlesungen über Dynamik)為題發(fā)表的(1866年由克萊布什發(fā)表)．
雅可比在數(shù)學(xué)物理方面也做過(guò)實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)．他將橢圓函數(shù)理論應(yīng)用于橢球吸引力的研究和有關(guān)旋轉(zhuǎn)流體物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論研究中．C．麥克勞林(Maclanrin)、J．R．達(dá)朗貝爾(d′Alembert)、P．S拉普拉斯(Laplace)和J．L．拉格朗日(Lagrange)證明當(dāng)均勻流體取旋轉(zhuǎn)橢球形狀且繞固定軸均勻旋轉(zhuǎn)時(shí)，其形狀不會(huì)改變．而雅可比發(fā)現(xiàn)即使流體形狀是一般橢球體時(shí)，也滿足平衡條件．
雅可比對(duì)數(shù)學(xué)史的研究也感興趣．1846年1月作過(guò)關(guān)于R笛卡兒(Descartes)的通俗演講，對(duì)古希臘數(shù)學(xué)也作過(guò)研究和評(píng)論．1840年他制訂了出版歐拉著作的計(jì)劃(因歐拉的孫子發(fā)現(xiàn)歐拉有許多文章未發(fā)表)．
有趣的是雅可比關(guān)于橢圓函數(shù)理論的研究工作同他強(qiáng)大的競(jìng)爭(zhēng)者阿貝爾的工作保持著平行，他們獨(dú)立地創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論．同時(shí)，雅可比有一顆高貴沒(méi)有偏見(jiàn)的心靈．由于具有慷慨的天性，他毫不妒忌地贊揚(yáng)了阿貝爾有關(guān)證明不能用代數(shù)方法得到一般五次方程的解的結(jié)果，盡管他對(duì)此問(wèn)題作過(guò)探討而未能得到這樣的結(jié)論．
雅可比在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的許多領(lǐng)域中辛勤地工作過(guò)，是數(shù)學(xué)史上最勤奮的學(xué)者之一．他和歐拉對(duì)待數(shù)學(xué)創(chuàng)作具有同樣的態(tài)度，兩者都是多產(chǎn)的作者．就處理繁復(fù)的代數(shù)問(wèn)題能力而言，除了20世紀(jì)印度數(shù)學(xué)天才S．拉馬努金(Ramanujan)以外，他們兩人是無(wú)人可匹敵的．他們倆在處理確定問(wèn)題時(shí)都能從巨大的數(shù)學(xué)方法兵工廠中找到能夠解決問(wèn)題的最好武器．歐拉在純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間花費(fèi)的時(shí)間幾乎相等，而雅可比更傾向于研究它們內(nèi)在有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．他所理解的數(shù)學(xué)，有一種強(qiáng)烈的柏拉圖(Platonic)格調(diào)．
現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和函數(shù)恒等式、方程、積分、曲線、矩陣、根式、行列式以及許多數(shù)學(xué)符號(hào)都冠以雅可比的名字，可見(jiàn)雅可比的成就對(duì)后人影響之深．1881—1891年普魯士科學(xué)院陸續(xù)出版了由C．W．博爾夏特(Borchardt)等人編輯的七卷《雅可比全集》和增補(bǔ)集，這是雅可比留給世界數(shù)學(xué)界的珍貴遺產(chǎn)．
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