秦九韶
中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所 何紹庚
秦九韶 字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；約景定二年(1261年)卒于梅州(今廣東梅縣)．?dāng)?shù)學(xué)。
秦九韶祖籍魯郡(今河南范縣)，其父秦季槱，字宏父，紹熙四年(1193)進(jìn)士，后任巴州(今四川巴中)守．嘉定十二年(1219)三月，興元(今陜西漢中)軍士張福、莫簡等發(fā)動兵變，入川后攻取利州(今廣元)、閬州(今閬中)、果州(今南充)、遂寧(今遂寧)、普州(今安岳)等地．在嘩變軍隊(duì)進(jìn)占巴州時，秦季槱棄城逃走，攜全家輾轉(zhuǎn)抵達(dá)南宋都城臨安(今杭州)．在臨安，秦季槱曾任工部郎中和秘書少監(jiān)等官職．寶慶元年(1225)六月，被任命為潼川知府，返回四川．
秦九韶自幼生活在家鄉(xiāng)，18歲時曾“在鄉(xiāng)里為義兵首”，后隨父親移居京部．他是一位非常聰明的人，處處留心，好學(xué)不倦．其父任職工部郎中和秘書少監(jiān)期間，正是他努力學(xué)習(xí)和積累知識的時候．工部郎中掌管營建，而秘書省則掌管圖書，其下屬機(jī)構(gòu)設(shè)有太史局，因此，他有機(jī)會閱讀大量典籍，并拜訪天文歷法和建筑等方面的專家，請教天文歷法和土木工程問題，甚至可以深入工地，了解施工情況．他又曾向“隱君子”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．他還向著名詞人李劉學(xué)習(xí)駢儷詩詞，達(dá)到較高水平．通過這一階段的學(xué)習(xí)，秦九韶成為一位學(xué)識淵博、多才多藝的青年學(xué)者，時人說他“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)，以至營造等事，無不精究”，“游戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知．”
1225年，秦九韶隨父親至潼川，擔(dān)任過一段時間的縣尉．?dāng)?shù)年后，李劉曾邀請他到南宋國史院?？睍墨I(xiàn)，但未成行．端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域戰(zhàn)亂頻仍，秦九韶不得不經(jīng)常參與軍事活動．他后來在《數(shù)書九章》序中寫道：“際時狄患，歷歲遙塞，不自意全于矢石間，嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落”，真實(shí)地反映了這段動蕩的生活．由于元兵進(jìn)逼和潰卒騷亂，潼川已難以安居，于是他再度出川東下，先后擔(dān)任過蘄州(今湖北蘄春)通判及和州(今安徽和縣)守，最后定居湖州(今浙江吳興)．秦九韶在任和州守期間，利用職權(quán)販鹽，強(qiáng)行賣給百姓，從中牟利．定居湖州后，所建住宅“極其宏敞”，“后為列屋，以處秀姬、管弦”．據(jù)載，他在湖州生活奢華，“用度無算”．
淳祐四年(1244)八月，秦九韶以通直郎為建康府(今江蘇南京)通判，十一月因母喪離任，回湖州守孝．在此期間，他專心致志研究數(shù)學(xué)，于淳祐七年(1247)九月完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》．由于在天文歷法方面的豐富知識和成就，他曾受到皇帝召見，闡述自己的見解，并呈有奏稿和“數(shù)學(xué)大略”(即《數(shù)書九章》)．
寶祐二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使參議，不久去職．此后，他極力攀附和賄賂當(dāng)朝權(quán)貴賈似道，得于寶祐六年(1258)任瓊州守，但三個月后被免職．同時代的劉克莊說秦九韶“到郡(瓊州)僅百日許，郡人莫不厭其貪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦說他“至郡數(shù)月，罷歸，所攜甚富”．看來，由于他在瓊州的貪暴，百姓極為不滿．秦九韶從瓊州回到湖州后，投靠吳潛，得到吳潛賞識，兩人關(guān)系甚密．吳潛曾相繼在開慶元年(1259)擬任以司農(nóng)寺丞，景定元年(1260)擬任以知臨江軍(今江西清江)，都因遭到激烈反對而作罷．在這段時間里，秦九韶?zé)嶂杂谥\求官職，追逐功名利祿，在科學(xué)上沒有顯著成績．在南宋統(tǒng)治集團(tuán)內(nèi)部的激烈斗爭中，吳潛被罷官貶謫，秦九韶也受到牽連．約在景定二年(1261)，他被貶至梅州做地方官，“在梅治政不輟”，不久便死于任所．
秦九韶在數(shù)學(xué)上的主要成就是系統(tǒng)地總結(jié)和發(fā)展了高次方程數(shù)值解法和一次同余組解法，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開方術(shù)”和“大衍求一術(shù)”，達(dá)到了當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的最高水平．
我們知道，古典代數(shù)學(xué)的中心課題是方程論，我國古代對于列方程和解方程都曾取得杰出的成就．早在《九章算術(shù)》中便已載有開平方術(shù)和開立方術(shù)，后來又有“開帶從平方”、“開帶從立方”等二次和三次方程的數(shù)值解法，祖沖之父子和王孝通等都對這一課題進(jìn)行了深入研究．在11世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家賈憲又創(chuàng)造一種新的開方法——增乘開方法，通過隨乘隨加導(dǎo)出減根方程，逐步求出高次方程的正根．以上這些方法都要求方程各項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)．在宋代，有不少數(shù)學(xué)家研究了高次方程數(shù)值解法，特別是劉益提出的“正負(fù)開方術(shù)”，方程系數(shù)可正可負(fù)，取消了以前對方程系數(shù)只允許為正整數(shù)的限制．但是，這些工作還不夠完整和系統(tǒng)．秦九韶在前人工作的基礎(chǔ)上，提出一套完整的利用隨乘隨加逐步求出高次方程正根的程序，亦稱“正負(fù)開方術(shù)”，現(xiàn)稱秦九韶法．對于形如
f(x)＝aoxn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an=0
的高次方程及其正根，秦九韶將其表示為下圖的形式．這與古代開方術(shù)的分離系數(shù)表示法基本一致，只是他令“實(shí)”常為負(fù)(an＜0)，這一點(diǎn)有所差別．圖中的數(shù)碼用籌算數(shù)字．下面以《數(shù)書九章》“尖田求積”問題為例說明秦九韶高次方程數(shù)值解法的運(yùn)算步驟：
(1)依據(jù)術(shù)文列出方程
-x4＋763200x2-40642560000=0，
布置算籌如圖式(1)．“益隅”是指x4的系數(shù)是負(fù)數(shù)，“從上廉”是指x2的系數(shù)是正數(shù)，“虛”表示系數(shù)為零，“實(shí)”規(guī)定為負(fù)數(shù)．
(2)把“上廉”向左移四位，“隅”向左移八位，算得上商8，放在“實(shí)”的百位數(shù)上邊，
如圖式(2)．這實(shí)際上相當(dāng)于對原方程進(jìn)行x=100x1的變換，得
(1) (2)
(3)以商8乘益隅得-800000000置負(fù)下廉．以8乘負(fù)下廉，與原有的上廉相消，得1232000000為上廉．以8乘上廉得9856000000為方．以8乘方得“正積”78848000000，以原有的負(fù)實(shí)與正積相加，得正實(shí)38205440000．如圖式(3)．
(4)以8乘益隅，并入下廉得-1600000000．以8乘下廉，與原有的正上廉相消得-11568000000為負(fù)上廉．以8乘上廉與原有的方相消，得-82688000000為負(fù)方，如圖式(4)．
(5)以8乘益隅，并入下廉得-2400000000．以8乘下廉，并入上廉，得-30768000000為負(fù)上廉．如圖式(5)．
(6)以8乘益隅，并入下廉-3200000000為負(fù)下廉．如圖式(6)．
(7)把“方”向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位．以負(fù)方除正實(shí)，算得次商4．如圖式(7)．
(8)以次商4乘益隅，并入下廉得-3240000．以4乘下廉，并入上廉得-320640000．以4乘上廉，并入方得-9551360000．以4乘方，與正實(shí)相消，恰恰消盡．即得840為方程的一個正根．如圖式(8)．
由以上運(yùn)算過程可以看出，當(dāng)求得8＜x1＜9，確定第一位得數(shù)為8以后，圖式(3)至圖式(6)相當(dāng)于求出進(jìn)行x2=x1-8的變換后所應(yīng)得出的新方程(圖式(6))：
-826880000·102x1+38205440000=0．
圖式(7)相當(dāng)于對上式進(jìn)行x3=10x2的變換后得出的新方程：
-826880000·10x3+38205440000=0．
最后求得x3=4，因此，
從(1)到(8)的各個步驟，基本上都是自下而上隨乘隨加，最后由“實(shí)”中減去，有很強(qiáng)的機(jī)械性．這也是“增乘開方法”的主要特點(diǎn)．有人說，計算機(jī)發(fā)明以后，解方程變得有趣了．確實(shí)是這樣，秦九韶的高次方程數(shù)值解法，可以毫無困難地轉(zhuǎn)化為計算機(jī)程序．在《數(shù)書九章》中，秦九韶列舉了20多個解方程問題，次數(shù)最高達(dá)10次．除一般方法外，還討論了“投胎”、“換骨”、“玲瓏”、“同體連枝”等特 殊情形，并將其廣泛應(yīng)用于面積、體積、測量等方面的實(shí)際問題．在西方，關(guān)于高次方程數(shù)值解法的探討，經(jīng)歷了漫長的歷史過程，直到1840年，意大利數(shù)學(xué)家P．魯菲尼(Ruffini，1765-1822)才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無理數(shù)根的近似值問題，而1819年英國數(shù)學(xué)家W．G．霍納(Horner，1786—1837)在英國皇家學(xué)會發(fā)表的論文“用連續(xù)逼近法解任何次數(shù)字方程的新方法”中，才提出與增乘開方法演算步驟相同的算法，后被稱為“霍納法”．秦九韶的成就要比魯菲尼和霍納早五六百年．
秦九韶對于一次同余組解法的理論概括，是他在數(shù)學(xué)史上的另一杰出貢獻(xiàn)．中算家對于一次同余式問題解法的研究是適應(yīng)天文學(xué)家推算上元積年的需要而產(chǎn)生的．最早見于記載的一次同余問題是《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)問題”(亦稱“孫子問題”)：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾有何？”這相當(dāng)于求解一次同余組：
N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，
等價于求解不定方程組
N=3x+2，N=5y+3，N=7Z＋2
的正整數(shù)解N．《孫子算經(jīng)》所給出的答案是N=23，但其算法很簡略，未說明其理論根據(jù)．秦九韶在《數(shù)書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法，現(xiàn)簡要介紹如下：
已知
N≡Ri(modAi)，i=1，2，3，…，n，
求最小的正整數(shù)N．設(shè)Ai兩兩互素，若能求得一串?dāng)?shù)值k1，k2，…，kn，使ki分別滿足
其中M=A1·A2·A3…·An，則
于是，問題的解答為
p為正整數(shù)，它的取值要使N成為小于M的正整數(shù)．這就是孫子剩余定理，在西方文獻(xiàn)中稱為“中國剩余定理”．
顯然，一次同余組解法的關(guān)鍵是如何選定滿足條件
的一組數(shù)ki．秦九韶將這組數(shù)稱為“乘率”，并在《數(shù)書九章》中詳細(xì)敘述了計算乘率的方法——“大衍求一術(shù)”(現(xiàn)在亦指整個一次同余組解法)．用現(xiàn)代符號表示，大衍求一術(shù)的基本計算程序是：
“定數(shù)”，gi稱為“奇數(shù)”．他的大衍求一術(shù)實(shí)際上就是把奇數(shù)gi和
定數(shù)Ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼求得商數(shù)q1，q2，…，qn和余數(shù)r1，r2，…，rn.在輾轉(zhuǎn)相除過程中，隨即算出下表右側(cè)的ci值：
秦九韶指出，當(dāng)rn=1而n是偶數(shù)時，最后得到的cn就是所求乘率ki．如果rn=1而n是奇數(shù)，那末把rn-1和rn相除，形式上令qn-1=rn-1-1，那末余數(shù)rn+1仍然是1，再作cn+1=qn+1cn＋cn-1，這時n＋1是偶數(shù)，cn+1就是所求的ki．不論哪種情形，最后一步都出現(xiàn)余數(shù)1，故稱“求一術(shù)”．可以證明，秦九韶這一算法是完全正確的和十分嚴(yán)密的．下面是用大衍求一術(shù)求乘率的一個數(shù)字實(shí)例(其數(shù)字見于《數(shù)書九章》中關(guān)于開禧歷上元積年的推算)．已知奇數(shù)g=377873，定數(shù)A=499067，求乘率k．按照輾轉(zhuǎn)相除公式，整個計算過程可表示為如下的籌算圖式：
從圖式(11)可知，右上角的數(shù)字(r10)已變成1，并且n=10是偶數(shù)．因此，左上角的數(shù)字(C10)即為所求乘率，即k=457999，這時有377873×457999≡1(mod499067)．由上例可見，秦九韶的大衍求一術(shù)與他的高次方程數(shù)值解法一樣，簡潔、明確、帶有很強(qiáng)的機(jī)械性，其程序亦可毫無因難地轉(zhuǎn)化為算法語言，用計算機(jī)來實(shí)現(xiàn)．在《數(shù)書九章》中，秦九韶通過大量例題，如“古歷會積”、“治歷演紀(jì)”“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，展示了大衍求一術(shù)在解決歷法、工程、賦役和軍旅等實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用．由于在許多問題中，模數(shù)Ai并非兩兩互素，而中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有素數(shù)概念，所以將模數(shù)化為兩兩互素是相當(dāng)困難的問題．秦九韶所設(shè)計的將模數(shù)比為兩兩互素的算法，盡管還不完善，但仍比較成功地解決了這一難題，有人稱之為“沒有素數(shù)的素數(shù)論”．綜觀他在求解一次同余組問題的各項(xiàng)成就，正如李文林、袁向東所說：“所有這些系統(tǒng)的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示了秦九韶高超的數(shù)學(xué)水平和計算技巧．”在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家L．斐波那契(Fibonacci，約1170-1250)．他在《算盤書》中給出了兩個一次同余問題，但沒有一般算法．直到18—19世紀(jì)，L．歐拉(Euler，1743)、G．F．高斯(Gauss，1801)才對一次同余組進(jìn)行深入研究，重新獲得與中國剩余定理相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴(yán)格證明．1852年，英國傳教士、漢學(xué)家偉烈亞力(A．Wylie，1815-1887)發(fā)表《中國數(shù)學(xué)科學(xué)札記》(Jottings on the science of Chinese arithmetic)，其中談到了大衍求一術(shù)．從1856年到1876年，德國人L．馬蒂生(Matthiessen，1830-1906)等西方學(xué)者又多次指出大衍求一術(shù)原理與高斯方法的一致性，從而更加引起了歐洲學(xué)者的矚目．德國著名數(shù)學(xué)史家M．康托爾(Cantor，1829-1920)高度評價了大衍求一術(shù)，他稱贊發(fā)現(xiàn)這一算法的中國數(shù)學(xué)家是“最幸運(yùn)的天才”．印度學(xué)者對一次同余式問題也有過重要貢獻(xiàn)．在6世紀(jì)至12世紀(jì)間，印度數(shù)學(xué)家提出了一種類似于“求一術(shù)”的“庫塔卡”算法，應(yīng)用于解決與一次同余組等價的不定方程問題．但在時間上晚于《孫子算經(jīng)》，而在一般性和完整性上又不如大衍求一術(shù)．
秦九韶所著《數(shù)書九章》，是他勤奮學(xué)習(xí)、苦心鉆研和多年積累的數(shù)學(xué)成就的結(jié)晶，是一部堪與《九章算術(shù)》相媲美的數(shù)學(xué)名著．這部著作，南宋時稱為《數(shù)學(xué)大略》或《數(shù)術(shù)大略》，明清時還曾題稱《數(shù)學(xué)九章》，明萬歷時趙琦美為此書撰寫跋文始稱《數(shù)書九章》．后來道光時按趙抄本校刻的《宜稼堂叢書》本流傳較廣，《數(shù)書九章》遂成為現(xiàn)今的通稱．該書共18卷81題，分為9類，每類9題．這些問題是秦九韶從他收集的大量資料中精選出來的較有代表性的問題．主要內(nèi)容是：
(1)大衍類，一次同余組的解法，大衍求一術(shù)；
(2)天時類，歷法推算，雨雪量的計算；
(3)田域類，土地面積；
(4)測望類，勾股、重差等測量問題；
(5)賦役類，田賦、戶稅；
(6)錢谷類，征購米糧及倉儲容積；
(7)營建類，建筑工程；
(8)軍旅類，兵營布置和軍需供應(yīng)；
(9)市易類，商品交易和利息計算．
從其著作體例來看，《數(shù)書九章》受到《九章算術(shù)》等經(jīng)典著作的傳統(tǒng)影響，仍然采用問題集的形式，但在各題術(shù)文(解題方法)之啟，多附有“草”，即表明演算步驟的算草圖式．在《數(shù)書九章》中，除了前面提到的大衍求一術(shù)和正負(fù)開方術(shù)兩項(xiàng)重要成就外，還記載了不少其他方面的成就．例如，他改進(jìn)了線性方程組的解法，普遍應(yīng)用互乘相消法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在開方中，他發(fā)展了劉徽開方不盡求微數(shù)的思想，最早使用十進(jìn)小數(shù)來表示無理根的近似值；他對于《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》的勾股測量術(shù)也多所闡發(fā)；他在幾何方面的另一項(xiàng)杰出成果是“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊之長求其面積的公式．設(shè)三角形面積為A，三邊長分別為a，b，c，則秦九韶的公式相當(dāng)于：
這個公式與古希臘著名的海倫公式
是等價的．《數(shù)書九章》的內(nèi)容非常豐富，我們不僅可以找到數(shù)學(xué)和天文歷法乃至雨雪量等方面的珍貴資料，而且還可以從中了解到南宋時期戶口增長、耕地擴(kuò)展、賦稅、利貸、度量衡以及貨幣流通、海外貿(mào)易等等社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的真實(shí)情況．
關(guān)于秦九韶的哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想，顯然與宋代儒學(xué)中的道學(xué)學(xué)派一致．他明確指出“數(shù)與道非二本也”，再加上數(shù)學(xué)實(shí)踐的切身體會，使他對于數(shù)學(xué)的重要性產(chǎn)生了較為清楚的認(rèn)識．他說，數(shù)學(xué)研究“大則可以通神明，順性命；小則可以經(jīng)世務(wù)，類萬物，詎容以淺近窺哉！”但他又承認(rèn)自己對于“通神明，順性命”沒有太深的體會，于是注意搜求天文歷法、生產(chǎn)、生活、商業(yè)貿(mào)易以及軍事活動中的數(shù)學(xué)問題，“設(shè)為問答，以擬于用”，盡力滿足社會實(shí)踐的需要，并告誡人們要學(xué)好數(shù)學(xué)，精于計算，以避免由于計算錯誤而引起的“財蠹力傷”等等不良后果．為此，他付出了辛勤勞動，撰寫出20余萬言的數(shù)學(xué)巨著．他的這種思想和作法是難能可貴的，應(yīng)該給予充分的肯定．
秦九韶是一位既重視理論又重視實(shí)踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的數(shù)學(xué)家．他所提出的大衍求一術(shù)和正負(fù)開方術(shù)及其名著《數(shù)書九章》，是中國數(shù)學(xué)史上光彩奪目的一頁，對后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響．美國著名科學(xué)史家G．薩頓(Sarton，1884－1956)說過，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，并且確實(shí)也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．
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