中國古代有過十分燦爛的數(shù)學文明，對中國和世界都產(chǎn)生了深遠的影響，也自然產(chǎn)生了許許多多的數(shù)學名詞。中國長期處于封建社會，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程建筑、歷律制定等方面，數(shù)學有著很強的應用。這些現(xiàn)實問題需要用到大量的幾何與代數(shù)等方面的知識，而產(chǎn)生的一些數(shù)學名詞也頗具現(xiàn)實背景。另一方面，受社會文化的影響，一些數(shù)學名詞又充滿神秘色彩，使人好奇。
“幾何”在古代是“多少”的意思，所謂“對酒當歌，人生幾何”，就是指人生的長短、多少。明末著名數(shù)學家徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯《幾何原本》，賦予了“幾何”一詞現(xiàn)代含義。在中國古代進行農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，必然要丈量田畝；而興修工事，又必然離不開土方計算。此外還有很多問題同樣需要用到幾何知識。
平面圖形的命名多與“田”有關，如：圭田（三角形）、方田（矩形）、箕田（一般梯形）、邪田（直角梯形）、圓田（圓形）、弧田（弓形）、環(huán)田（圓環(huán)形）等?！肮纭北緛硎枪糯弁跖e行典禮拿的一種玉器，上尖下方?！盎笔嵌怂拗?，《詩·小雅·巷伯》中提到“箕星哆然，踵狹而舌廣?！?《九章算術》（以下簡稱《九章》）中關于梯形面積計算公式的描述是：“箕田術曰：并踵舌而半之，以乘正從（zòng）?！薄磅唷⑸唷北硎净锏南碌缀蜕系?，“正從”表示箕田的高。至于方、邪（同斜）、圓、弧、環(huán)等都很好理解，用熟知的事物冠以“田”字來表示平面幾何圖形，體現(xiàn)了數(shù)學與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)緊密相連?，F(xiàn)在我們用“廣袤”形容寬闊，然而它還可以表示面積，東西為“廣”，南北為“袤”，通過丈量，再利用公式就可以計算出土地的面積了。
《九章》給出了三角形，長方形，梯形等圖形的面積公式，但是缺乏證明。魏晉時期劉徽對其進行校注，用出入相補的方法進行了證明。南宋秦九韶創(chuàng)造了三角求積術，與古希臘的海倫公式等價，已知三角形三邊長度就能計算出它的面積。而圓田、弧田、環(huán)田以及曲面形宛田（球冠）的面積公式，《九章》中采用“周一徑三”，結果存在一定誤差。劉徽采用“徽率”
圖1 圭田和邪田的出入相補
堤、溝、渠是水利設施，城、塹（qiàn，護城河）、垣（yuán，矮墻）是建筑或防御工事，它們的橫截面都是相等的梯形，都可以表示具體的立體圖形。劉徽用出入相補的方法將其轉化為長方體，證明了這類立體圖形的體積公式是
塹堵是將長方體沿相對兩棱剖開所得的立體圖形，顯然
圖2 塹堵、陽馬和鱉臑
常見多面體還有方亭（正四棱臺），方錐（正四棱錐），方堢壔（bǎo dǎo，正四棱柱）?！皥鐗弧笔堑痰囊馑?，是一類防水構筑物。還有一些奇怪的名詞如芻童、盤池、冥谷、芻甍（méng）、羨（yán，通埏）除，讓人丈二和尚摸不著頭腦。芻童、盤池、冥谷都是上、下底面為矩形的棱臺體，體積公式一致。芻童是草垛；芻甍也是草垛，形狀像屋脊，這名詞和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)息息相關。
圖3 芻童和芻甍
剩下三個名詞都是“挖”的工程，盤池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴；羨除是墓道，它是一種三面為等腰梯形（其中兩面互相垂直）而兩側面為三角形的楔形體。對于以上這些立體，《九章》都給出了正確的體積公式，劉徽用棊驗法證明了特殊情形。對于一般情形，就將它們分解成有限個長方體、塹堵、陽馬和鱉臑，再通過求和來證明，劉徽通過這種證明又補充了一些等價的公式。中國古代的多面體體積理論，由《九章》提出公式，劉徽補充證明，基本已經(jīng)完備了。
圖4 羨除
除了多面體，古代還可以計算一些圓體體積。圓柱、圓臺在《九章》中被稱作圓堢壔、圓亭。圓柱還被稱為圓囷（qūn），囷是圓形的谷倉，屬于建筑物；堢壔即堤壩屬于構筑物，不管是囷還是堢壔，本質都是建筑。對于圓柱、圓錐、圓臺的體積，和平面圖形一樣存在圓周率粗糙的問題，有了徽率之后結果精確了許多。至于球，《九章》中稱作“立圓”，劉徽稱之為“丸”?！毒耪隆分星蝮w積與直徑的關系是不正確的，劉徽首先指了出來，并設計出“牟合方蓋”，打算先算出牟合方蓋的體積再換算成球體積，可惜沒能成功，到南北朝時祖暅則徹底解決了這個問題。
中國古代在代數(shù)方面取得的成就斐然，如《九章》中的方程術、正負術、開方術等都屬于領先的學問。宋元時期中國古代數(shù)學達到另一個高峰，不僅發(fā)展了《九章》中的開方術等，還創(chuàng)造性地發(fā)明了一些代數(shù)符號記法，其中“天元術”和“四元術”是偉大的實踐，是中國古代代數(shù)學最重要的成就之一。
“天元術”相當于列出一元方程，相傳天元術由北宋洞淵大師李思聰首先提出，起初用“仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼”十九個字表示未知數(shù)的冪次，“人”為常數(shù)項，“人”之前九個字表示正冪，后面九個字表示負冪。后來經(jīng)過進行簡化，用“天元”、“地元”分別表示未知數(shù)的正冪和負冪，用“太”表示常數(shù)項。金元數(shù)學家李冶對其進一步簡化，只用一個“元”字表示未知數(shù)的一次冪。
例如方程
就可以用下圖表示。
圖5 天元術表示的方程
天元術被元代朱世杰推廣，可以求解四元高次方程組，這就是“四元術”。四元術以“天”“地”“人”“物”來表示四個不同的未知數(shù)，如《四元玉鑒》卷首某題的解法是，“立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數(shù)”，相當于根據(jù)題意，設勾為x，股為y，弦為z，開數(shù)為w，然后列出方程。四元術是用算籌在相應的位置上布置該項的系數(shù)，得到一個方程組，然后靈活運用消元法得到一元方程，最后用開方術求解方程。
圖6 四元布列
開方術是一種求一元方程數(shù)值解的方法，《九章》就已經(jīng)記載了開平方和開立方的程序。南宋秦九韶汲取前人經(jīng)驗，提出正負開方術，方程系數(shù)不再限于之前的正數(shù)，將高次方程數(shù)值求解發(fā)展到十分完備的地步。有趣的是，秦九韶將奇次冪系數(shù)為零的一元高次方程稱為“開玲瓏某乘方”，當最高項系數(shù)絕對值不為一時稱為“開蓮枝某乘方”。在正負開方術程序中，如果方程經(jīng)線性變換后常數(shù)項符號不變且絕對值增大，就稱為“投胎”；如果常數(shù)項由負變正，則叫“換骨”。
數(shù)學用詞上出現(xiàn)很多的道家術語，與宋元時期道教盛行不無關系。同樣具有代表性的，北周數(shù)學家甄鸞篤信佛教，在他的著述中有很多佛教語言。嚴格來說，天元術和四元術是分離系數(shù)法的偉大成就，而非引入獨立的未知量符號。同時因依賴于算籌布置，而平面上最多有上下左右四個方向，因此發(fā)展到四元術之后就很難再有進步了。此外王朝更迭，后續(xù)統(tǒng)治者的冷漠態(tài)度，也阻礙了天元術和四元術的傳承和發(fā)展。
從以上提到的一些數(shù)學名詞來看，單讀起來有的貼合實際，有的又遠離現(xiàn)實，充滿神秘主義色彩。劉徽在《九章算術注》序開篇寫道，“昔在庖犠氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數(shù)，以合六爻之變?！笔聦嵣希谀撤N程度上可以將中國古代數(shù)學的作用概括為“通神明”和“類萬物”兩個方面。盡管中國古代一些數(shù)學家做了“通神明”的嘗試，但還是改變不了數(shù)學經(jīng)世致用的大體趨勢，數(shù)學終究要回歸到現(xiàn)實生產(chǎn)與生活。
盡管列舉了一些數(shù)學名詞概念，在浩瀚的典籍面前畢竟是冰山一角，還有很多詞語未曾提到甚至未曾知曉。明末開始，一些國外的數(shù)學詞匯被陸續(xù)翻譯進來。辛亥革命后，在政府和眾多數(shù)學工作者的努力下，我國的數(shù)學名詞日趨規(guī)范完善。例如中國數(shù)學會第一次名詞審定，確定了“數(shù)學”（mathematics）這一學科譯名。而隨著我國數(shù)學的飛速發(fā)展以及科學技術對數(shù)學的需求，現(xiàn)代數(shù)學名詞將更趨完善。
參考文獻
[1] 郭書春.中國古代數(shù)學.北京:商務印書館,1997.
[2] 李文林.數(shù)學史概論(第三版).北京:高等教育出版社,2011.
[3] 錢寶琮.中國數(shù)學史話.北京:中國青年出版社,1957.
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