矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見(jiàn)的矩陣分解有可逆方陣的三角（LU）分解、任意滿秩矩陣的正交三角（QR）分解、對(duì)稱正定矩陣的Cholesky分解，以及任意方陣的Schur分解、Hessenberg分解、EVD分解、SVD分解、GMD分解等。
(1) 可逆方陣的LU分解
矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的（即可逆的），LU分解總是可以進(jìn)行的。
當(dāng)L為單位下三角矩陣而U為上三角矩陣時(shí)，此三角分解稱為杜利特(Doolittle)分解。當(dāng)L為下三角矩陣而U為單位上三角矩陣時(shí)，此三角分解稱為克勞特(Crout)分解。顯然，如果存在，矩陣的三角分解不是唯一的。
（PS：方陣A可唯一地分解為A=LDU(其中L，U分別為單位下，上三角矩陣，D為對(duì)角矩陣)的充分必要條件為A的前n-1個(gè)順序主子式都不為0。特別：對(duì)n階對(duì)稱正定矩陣，存在一個(gè)非奇異下三角矩陣L，使得A=LL'成立。）
MATLAB提供的lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：
[L,U]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。
[L,U,P]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。
(2) 滿秩矩陣的QR分解
對(duì)矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：
[Q,R]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。
(3) 對(duì)稱正定矩陣的Cholesky分解
如果矩陣X是對(duì)稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=R'R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對(duì)矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：
R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使R'R=X。若X為非對(duì)稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。
[R,p]=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對(duì)稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R'R=X(1:q,1:q)。
(4) 任意方陣的Schur分解
任意一個(gè)n階方陣X可以分解為X=URU'，其中U為酉矩陣，R為上三角schur矩陣且其主對(duì)角線上的元素為X的特征值。
[U,R]=schur(X)
(5) 任意方陣的Hessenberg分解
任意一個(gè)n階方陣X可以分解為X=PHP', 其中P為酉矩陣,H的第一子對(duì)角線下的元素均為0，即H為Hessenberg矩陣。
[P,H]=hess(X)
(6) 任意方陣的特征值分解EVD
任意一個(gè)n階方陣X可以分解為XV=VD，其中D為X的特征值對(duì)角陣，V為X的特征向量矩陣。
[V,D]=eig(X)
[V,D]=eig(X,Y)計(jì)算廣義特征值矩陣D和廣義特征值向量矩陣V，使得XV=YVD。
(7)任意矩陣的奇異值分解SVD
任意一個(gè)m*n維的矩陣X可以分解為X=USV'，U，V均為酉矩陣，S為m*n維的對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素為X的從大到小排序的非負(fù)奇異值。
[U,S,V]=svd(X)
(8) 任意矩陣的幾何均值分解GMD
任意矩陣m*n維的矩陣X可以分解為X=QRP',Q，P均為酉矩陣，R為k*k維的實(shí)正線上三角矩陣，其主對(duì)角線元素均等于X的所有K個(gè)正奇異值的幾何均值，k=rank(X)。
（PS: 一個(gè)n × n的實(shí)對(duì)稱矩陣 M 是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù)向量z，都有 zTMz> 0。其中zT 表示z的轉(zhuǎn)置。
對(duì)于復(fù)數(shù)的情況，定義則為：一個(gè)n × n的埃爾米特矩陣 M 是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)非零的復(fù)向量z，都有z*Mz> 0。其中z* 表示z的共軛轉(zhuǎn)置。由于M是埃爾米特矩陣，經(jīng)計(jì)算可知，對(duì)于任意的復(fù)向量z，z*Mz必然是實(shí)數(shù)，從而可以與0比較大小。因此這個(gè)定義是自洽的。正定方陣M的所有的特征值λi都是正的。）
聯(lián)系客服
