lu分解

LU分解在本質(zhì)上是 高斯消元法的一種表達(dá)形式。實(shí)質(zhì)上是將A通過(guò) 初等行變換變成一個(gè)上三角矩陣，其 變換矩陣就是一個(gè)單位下三角矩陣。這正是所謂的杜爾里特算法（Doolittle algorithm）：從下至 上地對(duì)矩陣A做 初等行變換，將對(duì)角線(xiàn)左下方的元素變成零，然后再證明這些行變換的效果等同于左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個(gè)單位下三角矩陣。這類(lèi)算法的 復(fù)雜度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

（i）Doolittle分解

對(duì)于 非奇異矩陣（任n階 順序主子式不全為0）的方陣A，都可以進(jìn)行Doolittle分解，得到A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣；這里的Doolittle分解實(shí)際就是Gauss變換；

（ii）Crout分解

對(duì)于 非奇異矩陣（任n階 順序主子式不全為0）的方陣A，都可以進(jìn)行Crout分解，得到A=LU，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣；

（iii）列主元三角分解

對(duì)于 非奇異矩陣的方陣A，采用列主元三角分解，得到PA=LU，其中P為一個(gè) 置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規(guī)定相同；

（iv）全主元三角分解

對(duì)于非奇異矩陣的方陣A，采用全主元三角分解，得到PAQ=LU，其中P，Q為置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規(guī)定相同；

（v）直接三角分解

對(duì)于非奇異矩陣的方陣A，利用直接三角分解推導(dǎo)得到的 公式（Doolittle分解公式或者Crout分解公式），可以進(jìn)行遞歸操作，以便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)；

（vi）“追趕法”

追趕法是針對(duì)帶狀矩陣（尤其是 三對(duì)角矩陣）這一大 稀疏矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，得出的一種保帶性分解的 公式推導(dǎo)，實(shí)質(zhì)結(jié)果也是LU分解；因?yàn)榇笙∈杈仃囋诠こ填I(lǐng)域應(yīng)用較多，所以這部分內(nèi)容需要特別掌握。

（vii）Cholesky 分解法（ 平方根法）和改進(jìn)的平方根法

Cholesky 分解法是是針對(duì) 正定矩陣的分解，其結(jié)果是 A=LDLT=LD(1/2)D(1/2)LT=L1L1T。如何得到L1，實(shí)際也是給出了 遞歸公式。

改進(jìn)的 平方根法是Cholesky分解的一種改進(jìn)。為避免公式中 開(kāi)平方，得到的結(jié)果是A=LDLT=TLT， 同樣給出了求T,L的公式。

小結(jié)：

（1） 從（i）~（iv）是用手工計(jì)算的基礎(chǔ)方法，（v）~（vi）是用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算的算法公式指導(dǎo)；

（2） 這些方法產(chǎn)生的目的是為了得到線(xiàn)性方程組的解，本質(zhì)是 高斯Gauss 消元法 。

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