曹培英
數(shù)學思想的重要性不言而喻。許多數(shù)學家以及數(shù)學教育家都有一些精辟的論述。例如，弗利德曼曾指出： “數(shù)學的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素就是數(shù)學思想。整個數(shù)學科學就是建立在這些思想的基礎上，并按照這些思想發(fā)展起來的?！?/span>［１］然而，數(shù)學思想成為小學數(shù)學課程的有機組成部分，卻有著一個逐步發(fā)展的過程。
一、數(shù)學思想融入小學數(shù)學課程的回顧
在我國，數(shù)學思想受到一線小學數(shù)學教師的關注，始于 １９７８ 年 小 學 數(shù) 學 教 學 大 綱 的 印 行。在當時 “四個現(xiàn)代化”建設的大背景下，這份首次將 “小學算術(shù)”更名為 “小學數(shù)學”的教學大綱明確提 出： “適 當 滲 透 一 些 現(xiàn) 代 數(shù) 學 的 思想……通過直觀，使學生盡早接觸集合、函數(shù)、統(tǒng)計等一些現(xiàn)代數(shù)學的思想，可以擴大學生的知識面，加深對某些內(nèi)容的理解，有利于進一步學習數(shù)學和現(xiàn)代科學技術(shù)?！?/span>［２］這是小學算術(shù)學科演變?yōu)樾W數(shù)學學科的內(nèi)涵發(fā)展之一。但滲透、接觸數(shù)學思想，主要是為知識教學服務。小學數(shù)學教材與廣大教師也正 是結(jié)合具體 的 數(shù)學教學內(nèi)容，有機地滲透了數(shù)學的思想，在這方面積累了較為豐富的經(jīng)驗。
２１世紀初，《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的 “基本理念”部分，不僅指出 “數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”，還強調(diào) “在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗”。［３］由此，數(shù)學思想開始與數(shù)學知識、技能 “平起平坐”，不再只為他人做嫁衣。伴隨數(shù)學文化成為教學中廣受關注的熱點，數(shù)學思想也逐漸顯現(xiàn) 它 在數(shù)學文化 中的核心地位，因為沒有思想就沒有文化。
《義務教育數(shù)學課程標準 （２０１１ 年版）》 進一步將數(shù)學的基本思想列入了課程總目標，確立為 “四基”之一。無疑，這是我國數(shù)學課程改革邁出的重要一步。
可見，三十多年來，數(shù)學思想融入小學數(shù)學課程，經(jīng) 歷 了 從 內(nèi) 容 滲 透 到 成 為 課 程 目 標 的過程。
二、從數(shù)學思想到數(shù)學基本思想
何為數(shù)學思想，歷來眾說紛紜。如有人認為“數(shù)學思想是人們對數(shù)學科學研究的本質(zhì)及其規(guī)律的深刻認識”。［４］也有人說 “數(shù)學思想尚不成為一種專有名詞，人們常用它來泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富的、體系相當完整的數(shù)學成果”。［５］
根據(jù)恩格斯關于數(shù)學的經(jīng)典定義，數(shù)學是關于客觀世界數(shù)量關系和空間形式的科學；根據(jù)工具書關于思想的解釋 “客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果” “相對于感性認識的理性認識”，可以推演數(shù)學思想的界說：“所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它 是 對 數(shù) 學 事 實 與數(shù) 學 理 論 的 本 質(zhì) 認識”。［６］如此界定自然外延比較寬泛。它包括基于數(shù)學學科內(nèi)容的思想，如函數(shù)思想，方法論層面的思想，如數(shù)形結(jié)合，以及更高層次的數(shù)學哲學思想，如運動變化思想，等等。
直面客觀存在的數(shù)學思想泛化傾向，如何提煉，史寧中教授給出了兩條標準： “一是數(shù)學產(chǎn)生以及數(shù)學發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想。二是學習過數(shù)學的人所具有的思維特征”。進而“歸納 為 三 種 基 本 思 想， 即 抽 象、 推 理 和 模型”。［７］
這三種基本思想涵蓋了數(shù)學的產(chǎn)生、數(shù)學的內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，確實是眾多數(shù)學思想中具有本質(zhì)意義的重要思想。同時，又正好對應了數(shù)學的三大特征———高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和廣泛的應用性，因而也是理論數(shù)學、應用數(shù)學發(fā)展歷程中起關鍵核心作用的思想。
這三種基本思想也是數(shù)學教育的內(nèi)核。支持這一論點最主要的論據(jù)是：兒童思維的特點及其常識經(jīng)驗的局限性，決定了小學數(shù)學必須遵循從直觀到抽象、從舉例驗證到算理解釋、從聯(lián)系日常生活到聯(lián)系社會自然及其他學科。這些貫穿各年級的教學策略原則，既是廣大教師追求有效教學長期實踐經(jīng)驗的總結(jié)提煉，也是三種基本思想貫穿數(shù)學教育始終的客觀反映。實踐歸納與理論思辨在這里得到了相互印證。
三、數(shù)學基本思想與學科核心素養(yǎng)、學科育人價值
為了進一步推進素質(zhì)教育，在 《教育部關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》這份文件中，出現(xiàn)了一個奪人眼球的詞“核心素養(yǎng)體系”。核 心素養(yǎng)被譽為基礎教育的ＤＮＡ。構(gòu)建核心素養(yǎng)體系，是面向教育系統(tǒng)外部的社會需求，順應國際教育改革趨向，提升我國人才培養(yǎng)質(zhì)量，增強國 家核心競爭力 的關鍵環(huán)節(jié)。
核心素養(yǎng)體系作為國家對于教育的頂層設計，需要凸顯它的整體性、綜合性和 系統(tǒng)連貫性，自然強調(diào)跨學科的共同素養(yǎng)。進而，核心素養(yǎng)體系的層級化，又必然要求各學科在落實綜合性核心素養(yǎng)的同時，彰顯本學科獨特的育人價值，確立學科自身的核心素養(yǎng)。所謂學科核心素養(yǎng)，粗略地說是指凸顯學科本質(zhì)，具有獨特、重要育人價值的素養(yǎng)。
國際上無論是由政府主導還是由民間組織推動的核心素養(yǎng)架構(gòu)或評價，都少不了數(shù)學素養(yǎng)或素養(yǎng)的數(shù)學領域。那么數(shù)學的核心素養(yǎng)有哪些？數(shù)學基本思想是否就是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)？如果是，它們的學科育人價值何在？這些問題，可以綜合起來回答。
首先，抽象、推理和模型思想分別對應三種具有一般意義的能力，即抽象能力、推理能力和應用能力，因而并非數(shù)學學科的獨門秘 籍。文科、理科，凡是理論知識都有不同程度的抽象，都有不同表現(xiàn)形式的從個別到一般或從一般到個別以及從個別到個別的推理。同樣，不僅數(shù)學學科有數(shù)學模型，其他學科也有自己的模型，如物理模型、化學模型等。因此可以認為，抽象、推理和模型有著跨學科共同素養(yǎng)的特征。
其次，抽象、推理和模型思想在數(shù)學教學中，又具有其他學科不可替代的育人價值。分述如下。
（一）抽象
對于學科來說，抽象是數(shù)學的首要特征，抽象為推理提供了對象，抽象了，才可能廣應用?！皟煞N事物，如果有相同的量或形，便可用相同的數(shù)學方法，因而數(shù)學必然、也必須是抽象的?！?/span>［８］
對于育人來講，“數(shù)學雖不研究事物的質(zhì)，但任一事物必有量和形，所以數(shù)學是無處不在、無時不用的”。［８］因而，學生經(jīng)歷數(shù)學的抽象，不僅由此生成了數(shù)學的研究內(nèi)容，更具普遍意義的是抽象的過程，能讓學生學習如何從量或形的視角，去觀察、把握周圍的現(xiàn)實事物。這一認識客觀世界的獨特方式，是每個社會公民無論從事何種職業(yè)都不可或缺的基本素養(yǎng)因此，它是抽象思想所獨有的、最核心的育人價值。
且不說數(shù)學抽象的層次性、理想化、形式化、符號化對發(fā)展學生抽象思維的作用與貢獻，僅當兒童從現(xiàn)實世界形態(tài)各異、異彩紛呈的事物中抽取共同的量或形的屬性時，就已經(jīng)得到了從考察對象中分離多種屬性，提取本質(zhì)屬性，排除各種非 本 質(zhì) 屬 性 干 擾 等 一 系 列 的 知 覺、 思 維訓練。
例如， “１０以內(nèi)數(shù)的認識”，從實物數(shù)量的比較過渡到數(shù)的大小的比較 （見圖 １），學生必須摒棄動物 （猴）與水果 （桃、香蕉、梨）各自的多種物質(zhì)屬性，抽象 出共同的數(shù)量屬 性 “幾個”，借助一一對應純粹比較多少。然后由學生自己選擇三種水果中的兩種比較多少，抽象成數(shù)的大小比較，用符號表示比較的結(jié)果。從中還能使學生感悟，因為猴與桃個數(shù)相等，所以桃與香蕉、猴與香蕉比多少，結(jié)果也是３＞２ （見圖２）。同樣，猴與梨、桃與梨比，也是 ３＜４。這一概括對兒童來說，又是進一步的抽象。
事實上，小學數(shù)學幾乎每一節(jié)課都有量或形的抽象活動，都在為進一步學習數(shù)學抽象，發(fā)展抽象能力奠定基礎。
可以說，通過 學 習 數(shù) 學 培 養(yǎng) 學 生 的 抽 象 能力，對于學習研究其他領域的問題，對于今后在各種場合，面對事物錯綜復雜的多種因素，主動進行舍去次要因素，提取主要因素的分析活動，具有其他學科難以比擬的基礎訓練價值。
（二）推理
基礎教育課程體系的理科設置，實驗學科占了多數(shù)。過去是理化生，現(xiàn)在還多了一門科學。這些學科都用事實說話，主要靠實驗判斷對錯。唯有數(shù)學，可以憑推理辨別真?zhèn)危C明結(jié)論。這是數(shù)學的精髓，體現(xiàn)了數(shù)學有別于其他學科的育人價值。
即使在小學，也能讓學生初步感知數(shù)學的推理 （包括運算），可以得到不可能通過感覺經(jīng)驗掌握的新認識、新結(jié)論。
例如，設想地球是一個表面光滑的球，有一條很長的繩子，恰好繞地球赤道 （球的大圓）一周。把這根繩子 再 接長 ｘ 米，繞 著赤道懸在空中，使姚明 （身高２．２６米）正好能從繩圈下穿過 （見圖３）。［９］
設繩子原長２πｒ米，接長ｘ 米，由題意得
２πｒ＋ｘ＝２π（ｒ＋２．２６）
ｘ≈１４．２
這個方程小學六年級學生也能解。運算揭示了事實：只要接長１４．２ 米，居然就能處處離地面２．２６米。盡管我們無法實際操作驗證，但千真萬確、毋庸置疑。因為運算沒有錯，而運算的本質(zhì)是由一般 （法則）到特殊 （具體數(shù)值）的演繹推理，在這里就相當于證明。
我們不應該要求每個人都具有較強的數(shù)學推理能力。但是，如果一個人只相信眼見為實，不知道思維的能動性可以通過推理幫助人類突破感官、經(jīng)驗、常識的局限性，那就是個人素養(yǎng)的一大缺失。
（三）模型
在參與上海市中小學課程標準研制、修改的過程中發(fā)現(xiàn)，各學科專家都認為建模與問題解決能力是數(shù)學最具學科特征的育人價值，因為它是通用能力。確實，隨著計算機的應用深入到社會生活的所有領域的各個層面，人們心目中數(shù)學的普適性貢獻首推建模。
關于模型思想的意蘊及其學科育人價值，《義務教育數(shù)學課程標準（２０１１年版）》已有相當清晰的闡述： “模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識?！?/span>［１０］
這些內(nèi)涵在小學數(shù)學教學中也能不同程度地予以落實。
例如，“數(shù)學廣角”中的 “烙餅問題”（見圖４）。
容易啟發(fā)學生得到 “模型假設”：保持鍋內(nèi)始終有兩張餅的烙餅時間最短。通過用圓片模擬烙餅的操作實驗，找出烙３張餅的最優(yōu)過程 （見圖５），然后啟發(fā)學生加以一般化：偶數(shù)張餅不用討論，奇數(shù)張餅可以由３張餅類推，最終歸納得出最少時間的數(shù)學模型：
設ｎ為正整數(shù)，
烙ｎ張餅的最少時間 ６分鐘 （ｎ＝１）
３ｎ分鐘 （ｎ＞１）
進入模型檢驗環(huán)節(jié)時，常有學生質(zhì)疑：烙３張餅最優(yōu)過程的第２次 （見圖５），２號餅只烙了一面就拿走，豈不半生不熟？是啊，如果真的每３張餅有一張夾生，這個數(shù)學模型還能用嗎？有相關生活經(jīng)驗的 教師不難 啟發(fā)學生找到解決辦法：將本該拿走的２號餅疊放在１號餅上面，留在鍋內(nèi)保溫。［１１］如此生動的教學，給學生留下了相當鮮活、豐富、強烈的建模感受。
可見，解決類似實際問題的過程，能使學生初步體驗從建模準備 （了解、掌握情況）一直到模型檢驗、推廣的大致流程。更具發(fā)展意義的價值在于它能增強學生數(shù)學應用的意識與自信，這對于培養(yǎng)各級各類人才來說，都是必備的素養(yǎng)基礎。
綜上所述，數(shù)學基本思想承載了獨特的、鮮明的學科育人價值，可教、可學，是名副其實的學科核心素養(yǎng)。
至于這些基本思想學習效果的可測性，還有待深入研究、實踐與檢驗。
——摘自《課程·教材·教法》2015.9
