壹
莊子說過這樣一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。無獨有偶，在遙遠的古希臘，也有類似的故事，比如，哲學家芝諾曾經(jīng)提出過一個著名的“飛矢不動”悖論。芝諾說，一支箭射出之后，它在飛行的每一個短暫瞬間，都處于既非靜止又非運動的狀態(tài)，因此，這支箭并沒有發(fā)生移動。
這些有趣的故事，其實都是古人對“無窮小”這個概念的思考。但你知道嗎，在很長的一段時間里，“無窮小”這個看似普通的數(shù)學概念，都被教會視為是異端邪說，是一個不被認可也不允許傳播的概念，就像“伏地魔”一樣，連名字都不能被提起。
但是，就在教會無法控制的地方，“無窮小”的暗流蟄伏著、涌動著，默默等待著現(xiàn)世的那一天，而那個能讓它大放光彩的時代，就在前方不遠處。
《紐約時報》科學欄目的撰稿人阿米爾·亞歷山大，在擔任斯坦福大學和加州大學洛杉磯分校歷史學教授的同時，還是一位出色的數(shù)學家和極富洞察力的作家。他用嚴謹而充滿張力的文字，將那段發(fā)生在三百多年前的歐洲大陸上的往事，那場波瀾壯闊、綿延百年的數(shù)學大戰(zhàn)，向我們娓娓道來，也就是現(xiàn)在擺在我們面前的這本《無窮?。阂粋€危險的數(shù)學理論如何塑造了現(xiàn)代世界》。
這本書甫一問世，便廣受大洋彼岸的讀者們歡迎，并獲得“《圖書館雜志》2014年度最佳科學圖書”的贊譽。在這本書中，亞歷山大用簡練而通暢的筆墨，向我們呈現(xiàn)了一部精彩紛呈的數(shù)學史話。他帶領(lǐng)我們走近那段塵封的歷史，一起旁觀歐洲大陸上曾經(jīng)發(fā)生過的那場關(guān)于秩序與變革之間的偉大斗爭。
貳
在聊起這場圍繞著無窮小概念展開的思想戰(zhàn)爭之前，我們首先要知道什么是無窮小。這個概念乍一看很簡單，但實際上其中大有深意。
讓我們回到文章開頭莊子那句話中，假如有一根長一米的木棍，而這根木棍又是由許多不能夠進一步細分的單位，也就是數(shù)學當中所說的“不可分量”所組成，那么在這根木棍里究竟包括了多少個這樣的“不可分量”呢？假如說在這根一米長的木棍上有一億個不可分量，那么每個不可分量的長度就上一億分之一米——這確實是一個非常小的數(shù)——但是即使這個數(shù)有多么小，只要它是一個正數(shù)，那么，莊子所說的這根“日取一半，萬世不竭”的木棍，終究還是會有分完的那一天。
再者說，如果我們把木棍先對半分開，然后再把每一段木棍分成一億份呢？這樣我們就得到了兩億個不可分量，也就是說，我們最初假設(shè)的不可分量，實際上是可分的，這樣的話，我們的假設(shè)就不成立了。
那如果我們換個角度去想呢？假如在這根一米長的木棍上，其實存在著無窮多個不可分量呢？如果每個不可分量都是正值的話，那么由無窮多個不可分量組成的木棍，它的長度也應該是無窮的，而這就不符合我們的起始條件了。
那如果我們繼續(xù)規(guī)定，不可分量不是一個正值呢？很明顯，這個值也不會是一個負值，那么，是不是不可分量的值就等于零呢？很遺憾，正如我們所知道的那樣，不管多少個零相加，結(jié)果還是零。因此，這個角度也走不通。
古希臘那些杰出的數(shù)學家和哲學家們，例如畢達哥拉斯、柏拉圖、亞里士多德等人，當然也想過這個問題，然而，在百思不得其解的情況下，他們最終放棄了解決這個難題的念頭。亞里士多德甚至認為，無窮小的概念，其實是一個錯誤的概念。
歲月悠悠，滄海桑田。直到兩千多年之后，無窮小的概念才重新進入數(shù)學家們的視線。意大利的伽利略、英國的沃利斯等人，才紛紛重新把目光投向這個千年難題，開始研究無窮小這個問題。
他們可嘉的勇氣值得最偉大的回報。因為，對無窮小的研究，不僅徹底改變了數(shù)學，也徹底改變了人類。在伽利略等先驅(qū)的研究基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分，這個精確而優(yōu)雅的數(shù)學體系，成為了所有現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)，也促成了我們所生活的這個現(xiàn)代化世界的誕生。
叁
那么，在伽利略與牛頓之間的這近二百年的時間里，究竟發(fā)生了什么事呢？為什么無窮小這樣一個數(shù)學概念，會變成一個甚至連名字都不能被提起的東西呢？
這要從一個叫做耶穌會（The Society of Jesus）的組織說起。耶穌會事天主教的主要修會之一。1534年，在巴黎大學，一位叫做圣依納爵羅耀拉的西班牙貴族創(chuàng)立了它。而耶穌會早期的領(lǐng)導者，也大都來自于那些歐洲大陸上擁有古老傳承的高貴家族。
事實上，耶穌會不僅僅是一個簡單的宗教組織，它在成立之初，就只專注于一個目標：傳播天主教的教義，擴大天主教的影響范圍，增強天主教的權(quán)威性。在這個目標的指引下，耶穌會不斷發(fā)展壯大，最終成為教皇手中最強大的工具之一。
作為天主教世界的學術(shù)領(lǐng)袖，耶穌會具有極高的威望，對于那些新誕生的學說——例如哥白尼的日心說——耶穌會將對其合法性進行審查和裁決?？梢哉f，耶穌會能夠一言決其生死。
1632年8月10日，五個神秘的黑衣男子在一座昏暗的羅馬教堂里集會，他們嚴肅地討論著一個看似簡單的命題——無窮小是否存在。討論的結(jié)果是，嚴令禁止無窮小的傳播，永遠不得傳授乃至提及無窮小的概念。
但這究竟是為什么呢？難道教會就沒有別的什么事情可做了么？他們又是出于怎樣的考慮才會去禁止這樣一個貌似單純的數(shù)學概念呢？
沒錯，站在我們現(xiàn)代人的角度來看，無窮小這個概念，只不過是數(shù)學大家族當中普普通通的一員，沒什么了不起的。但在伽利略所在的那個時代，這一切可不是你想的那么簡單——圍繞著無窮小概念的那場世紀大爭論，甚至可以說是一場關(guān)乎現(xiàn)代世界面貌的斗爭。
對于耶穌會這樣的宗教鐵忠來說，這個世界是一個無比完美的理性世界，它是由嚴格的數(shù)學規(guī)則所統(tǒng)治的。無論是一粒恒河之沙，還是一顆眾星之王；無論是卑微下賤的乞丐，還是高貴威嚴的君王；無論是秩序森嚴的人類社會，還是自然界的萬千生靈——在這個理性的世界當中，一切事物早已被上帝安排的明明白白。
因此，任何想要修改甚至推翻這個森嚴秩序的行為，都是對至高無上的意志的反叛，是注定會失敗的。
但是，耶穌會的教士們恐懼地發(fā)現(xiàn)，在萬物的核心當中，似乎還存在著一種神秘莫測的東西，這種東西能夠逃脫最嚴格的數(shù)學推理，甚至會使這個世界的未來與其原本應當遵循的軌跡背道而馳——這種讓教士們壓根無法揣測的東西，難道會是魔鬼派來搗亂的使者嗎？
對于恪守古板傳統(tǒng)和規(guī)矩的耶穌會來說，無窮小的出現(xiàn)，似乎打開了潘多拉的魔盒，而那些會破壞現(xiàn)有秩序的“叛亂”“沖突”與“革命”，一個個從盒子里蹦了出來，降臨這個世間——這正是耶穌會所不能容忍的。因此，他們禁止無窮小的概念，正是出于維護現(xiàn)有政治宗教制度的考慮。
肆
但是，潘多拉的魔盒一旦打開，就再也合不上了！
現(xiàn)在，圍繞著無窮小的世紀戰(zhàn)爭已經(jīng)開始，交戰(zhàn)的雙方分別是對現(xiàn)有政治權(quán)威與宗教制度的捍衛(wèi)者，以及對學術(shù)自由和政治改革的倡導者。而這場思想之戰(zhàn)綿延到整個歐洲大陸，其中，最主要的兩個戰(zhàn)場分別是意大利和英國。
在意大利，無窮小量的支持者主要是伽利略和他的兩位弟子，卡瓦列里和托里切利。
在接到卡瓦列里寄來的那封信之前，伽利略早已功成名就，當時的伽利略，正處在他一生中權(quán)利與名譽的巔峰，但是，卡瓦列里寄來的那封信，改變了這一切。
在信里，卡瓦列里提出一個數(shù)學問題：假如我們給定一個具體的平面圖形，并在其中畫出一條直線，然后我們繼續(xù)在這個平面圖形當中，將所有能與第一條直線平行的直線全部畫出來，那么，我們是否能將這些直線與這個平面圖形等同起來呢？
這個問題看似簡單，但它卻直指無窮小問題的核心矛盾——我們可以在任何一個平面圖形上畫出無窮條直線，假如我們給每一條直線設(shè)定一個寬度，不管這個數(shù)值有多小，這無窮多條直線將會累積成一個無窮大的平面，而不是我們初始設(shè)定的那個具體的平面圖形，但假如每條直線的寬度都是零，無窮多條直線的寬度也依然是零，也無法得到我們給定的平面圖形。
是的，正是這樣一個問題，始終困擾著自畢達哥拉斯以來的數(shù)學家和哲學家們。伽利略被這封信激起了興趣，他很快給這個叫卡瓦列里的年輕人寫了一封熱情洋溢的回信，鼓勵他繼續(xù)將這個問題研究下去，同時，伽利略自己也開始進入這個神秘的領(lǐng)域。
然而，由于受到耶穌會的排擠和打壓，卡瓦列里最終停下了腳步，并試圖退回到安全的距離，但這一切都無濟于事，在那些反對他的人看來，卡瓦列里過去的所有研究方法，已經(jīng)徹底違反了教會所允許的經(jīng)典方法，他已經(jīng)走的太遠了。
最終，與卡瓦列里同時代的另一位年輕人——托里切利接過了伽利略的火炬，將無窮小的研究推到了卡瓦列里未曾企及的高度。他在一篇發(fā)表于1644年的名為“關(guān)于拋物線的面積”的論文中，創(chuàng)造了一種全新的，被他自己命名為“不可分量法”的數(shù)學方法——這的確是一項了不起的發(fā)現(xiàn)，它為后來的數(shù)學家們開辟出一條全新的道路。
遺憾的是，被教會強制軟禁十幾年的伽利略，早已在兩年前就含恨離世了。而托里切利自己也因為積勞成疾，在1647年去世，這位天才的數(shù)學家，死的時候年僅39歲。一個月后，他的師兄卡瓦列里也因病離世。
應當說，意大利天才輩出的數(shù)學黃金年代，屬于伽利略、卡瓦列里和托里切利，而就在短短幾年的時間里，意大利痛失指路明燈，而意大利數(shù)學界曾有的輝煌，從此也告一段落了。
伍
接下來的戰(zhàn)場，屬于英國。
英國的皇家學會自成立以來，一直是世界上最權(quán)威的科研機構(gòu)，歷史上許多最偉大的科學家，例如牛頓、拉瓦錫、富蘭克林、巴貝奇、開爾文、達爾文、盧瑟福、愛因斯坦，以及霍金，這一長串名爍古今的大人物，都曾是皇家學會的會員。而這里，也將成為無窮小概念的決戰(zhàn)之地。
決戰(zhàn)的雙方已經(jīng)登上了舞臺，決戰(zhàn)的一方是一位白發(fā)蒼蒼的老者，他叫托馬斯霍布斯，曾寫出《利維坦》這部文學杰作的頂尖作家，同時他也是有史以來最偉大的政治哲學家之一。
霍布斯與數(shù)學的邂逅，完全可以稱得上是一段奇遇。他直到四十歲時，才與數(shù)學結(jié)緣。據(jù)說，是因為他偶然在別人的書桌上看到了一本《幾何原本》，因為無聊，便拿起來隨手翻閱，這一看，便在他面前打開了一扇新的大門。從此，霍布斯就開始鉆研幾何學。
在霍布斯看來，數(shù)學具有嚴謹?shù)拿?，必須一步一步進行演繹推理，最終得出更為復雜旦同樣具有確定性的真理。而無窮小是一個擅自闖入數(shù)學領(lǐng)域的不速之客，它破壞了明白無誤的數(shù)學合理性，進而又會破壞社會、宗教和政治的秩序。
但是，霍布斯宿命中的對手也登上了歷史舞臺，這是一位名叫約翰沃利斯的年輕教士，他也算得上是牛頓的劍橋?qū)W長。
早在沃利斯求學于劍橋大學的時候，他就對數(shù)學產(chǎn)生了極強的興趣。在沃利斯看來，知識的最高形式是基于感性的，是能夠“看出”甚至是“品嘗出”的真理——這正是沃利斯與霍布斯的根本分歧所在——霍布斯極為鄙視這種感性的知識。
達沃斯可以說是意大利數(shù)學思想的傳承者，他繼承了卡瓦列里和托里切利發(fā)現(xiàn)的“不可分量”思想，并在此基礎(chǔ)上寫成了《無窮算術(shù)》。在這部著作中，沃利斯向霍布斯發(fā)起了終極挑戰(zhàn)。他認為，正是教條主義和不寬容，導致了數(shù)學界乃至思想界的固步自封。
在沃利斯看來，無窮小的模糊性也是一個積極特征，不能因為這種模糊性而抹殺它的存在。前進的道路本就是要小心地、實驗性地使用任何可能有效的方法，來揭開世界的奧秘。任何試圖構(gòu)造一個完全理性的世界的企圖，只會是一條死路。
最終，沃利斯贏了！他的《無窮算術(shù)》得到了英國數(shù)學界的一致認可，更重要的是，一位劍橋大學的年輕學生從這本著作中得到了許多有益的啟發(fā)——這位學生名叫牛頓。
在接下來的幾十年里，牛頓和萊布尼茲分別發(fā)明了微積分，而這種全新的數(shù)學方法幾乎囊括了所有領(lǐng)域，從行星運動到琴弦振動，從蒸汽機到電動力學——這是一場偉大的數(shù)學革命，這場革命改變了未來的整個世界。
而這所有的一切，都源于兩千多年前，莊子眼前那根萬世不竭的木棍。
