| 關(guān)于"準(zhǔn)變量思維"的交流 |
| 遠(yuǎn)山 發(fā)表于 2008-1-27 15:47:00 |
| 最近看一作者文中涉及“準(zhǔn)變量思維”，覺(jué)得較有意思，在交流中也多次和作者交流了“準(zhǔn)變量思維”，相信其過(guò)程對(duì)大家有些幫助。 現(xiàn)將部分交流內(nèi)容整理如下：
1.涉及“準(zhǔn)變量思維”的文章。 在算術(shù)思維中，運(yùn)算式的作用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁；而在代數(shù)思維中，運(yùn)算式的功用，不再只是直接聯(lián)結(jié)問(wèn)題與答案之間的過(guò)程記錄，也充當(dāng)一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)譯的角色。介于小學(xué)算術(shù)程序思維與中學(xué)代數(shù)關(guān)系思維之間的是“準(zhǔn)變量思維”，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對(duì)算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數(shù)的思考”。準(zhǔn)變量思維作為算術(shù)程序思維的“最近發(fā)展區(qū)”，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維起到橋梁和紐帶的作用。因此，教學(xué)中要為學(xué)生提供“準(zhǔn)變量思維”的素材，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的拓展和延伸，從而實(shí)現(xiàn)兩者之間的有效銜接。 例如：在學(xué)習(xí)“圓柱體表面積的計(jì)算”一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積計(jì)算公式：表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積的“三步計(jì)算法”。這時(shí)有的學(xué)生認(rèn)為這種計(jì)算方法比較煩瑣。“有沒(méi)有更巧妙的方法？”難道底面、側(cè)面展開(kāi)是“圓”與“長(zhǎng)方形”就一定要依次計(jì)算嗎？圍繞這個(gè)問(wèn)題，教師組織如下的教學(xué)活動(dòng)： 師：前面我們學(xué)習(xí)了“圓柱體表面積的計(jì)算”，我們一般是怎樣計(jì)算它的表面積呢？ 生：我們推導(dǎo)出圓柱體表面積的“三步計(jì)算”方法，即依次計(jì)算底面積、側(cè)面積，用側(cè)面積加兩個(gè)底面積得出表面積。 師：比如這樣一題：一個(gè)圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？ 學(xué)：側(cè)面積：2×3.14×5×15=471(平方厘米) 底面積：3.14×25=78.5（平方厘米） 表面積：471+78.5×2=628（平方厘米） 邏輯推導(dǎo)新公式 師：如果我們把剛才的分步列式寫(xiě)成綜合算式，你會(huì)嗎？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 師：怎樣計(jì)算簡(jiǎn)便呢？運(yùn)用乘法分配律，你該怎樣化簡(jiǎn)呢？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 =2×3.14×5×（15+5） =31.4×20 =628（平方厘米） 師：你發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？ 生：圓柱表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑） 再讓學(xué)生操作驗(yàn)證，應(yīng)用拓展。 教師利用學(xué)生提出的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑）。其思考過(guò)程就是以“準(zhǔn)變量思維”為中介，運(yùn)用代數(shù)思維的思考方法，通過(guò)關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)性的、一般性的、形式化的轉(zhuǎn)換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體表面積的巧妙解法，從而使學(xué)生代數(shù)思維的訓(xùn)練落到實(shí)處。 遠(yuǎn)山：可能還要麻煩您辛苦一下。我琢磨了很久，但是還沒(méi)有體會(huì)到您的“準(zhǔn)變量思維”是什么，另外從案例本身似乎也看不出變量思維，可否明示？還有一點(diǎn)，這個(gè)案例“有沒(méi)有更巧妙的方法”以及認(rèn)為得出的方法更巧妙等恐怕也經(jīng)不起推敲。一則教師引導(dǎo)學(xué)生得出的方法充其量是“另解”而非“巧解“。二則教師苦費(fèi)周折引導(dǎo)學(xué)生得出的方法其普適性和靈活性都不及開(kāi)始的方法。請(qǐng)您再琢磨一下，盡快發(fā)給我。 作者：文章已經(jīng)修改。 1. 什么是準(zhǔn)變量思維？我付上一篇文章，您看看。 2. 關(guān)于案例。我是根據(jù)發(fā)表在教育時(shí)報(bào)上的一個(gè)案例“巧用學(xué)生提問(wèn)開(kāi)發(fā)課程資源”寫(xiě)成的。結(jié)合自己學(xué)習(xí)的有關(guān)準(zhǔn)變量思維對(duì)案例進(jìn)行解讀。 3.案例來(lái)源：http://www.shuren100.com/jiaoyushibao/kegaidaokan/ketang/143246.shtml。 昨晚對(duì)您提出的另解與巧解的看法進(jìn)行了思考。我是這樣想的：這個(gè)案例的意義就在于教師在教學(xué)中要善于利用學(xué)生提出的問(wèn)題資源或者課堂生成的資源，通過(guò)準(zhǔn)變量思維，降低學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的門檻。因?yàn)闇?zhǔn)變量思維是算術(shù)思維與代數(shù)思維間的中介，教師在自己的教學(xué)中也要“代數(shù)的眼睛和耳朵”和適時(shí)滲透代數(shù)思維的意識(shí)。在這個(gè)案例中新解的提出是基于三步計(jì)算的基礎(chǔ)上，運(yùn)用準(zhǔn)變量思維進(jìn)行變式，得出的新公式，所以絕對(duì)不是另解。其二它的巧或者更準(zhǔn)確地說(shuō)是更簡(jiǎn)便體現(xiàn)在比減少了計(jì)算的步聚，得出了一個(gè)新公式圓柱表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑）。這是基于原來(lái)計(jì)算基礎(chǔ)上得到的新公式所以它同樣具有普適性。這個(gè)案例引發(fā)教師們對(duì)準(zhǔn)變量思維的認(rèn)識(shí)和思考。 遠(yuǎn)山：看了您的留言，文章還沒(méi)時(shí)間細(xì)看。但從您的留言看，恐怕改過(guò)來(lái)的效果不太理想?，F(xiàn)回復(fù)幾點(diǎn)，其他的等看了文章再具體細(xì)說(shuō)：1.你還是沒(méi)有解釋清楚“準(zhǔn)變量思維”。雖然您多次提到體現(xiàn)了“準(zhǔn)變量思維”，但具體是準(zhǔn)變量思維您指的是什么、如何體現(xiàn)的，尚不明確，至少?gòu)奈恼轮袥](méi)看出實(shí)質(zhì)性的東西。2. “其二它的巧或者更準(zhǔn)確地說(shuō)是更簡(jiǎn)便體現(xiàn)在比減少了計(jì)算的步聚，得出了一個(gè)新公式圓柱表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑）。”什么是簡(jiǎn)算？是不是指寫(xiě)的式子比較短？還是體現(xiàn)在思維層面上或計(jì)算層面上？3.圓柱表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑）很難說(shuō)是“兩步”。求底面周長(zhǎng)是不是一步？半徑加高是不是一步？底面乘“和”是不是一步？一共幾步？4.您能說(shuō)服自己并使自己相信，求底面積是“一步”，求底面周長(zhǎng)就不是“一步”？底面加側(cè)面積是“一步”，半徑加高就不是“一步”，或者周長(zhǎng)乘“和”就不是“一步”嗎？如果說(shuō)服不了自己，則您的兩步、三步之“巧”，恐怕很難另人信服。5.關(guān)于您的“準(zhǔn)變量思維”實(shí)質(zhì)是什么？是“算術(shù)思維與代數(shù)思維間的中介”的，這樣的說(shuō)法恐怕很難是“實(shí)質(zhì)”。其實(shí)，我們引進(jìn)新的名詞時(shí)一定要有自己的理解和通俗的表達(dá)。到目前不知您的“準(zhǔn)變量思維”是什么。但從您的“中介”二字，我覺(jué)得應(yīng)該是這樣理解的。算術(shù)思維是就具體的數(shù)進(jìn)行計(jì)算，代數(shù)思維是量的計(jì)算，是關(guān)于關(guān)系結(jié)構(gòu)或者模式的處理。準(zhǔn)變量思維就是把“數(shù)”當(dāng)“式”計(jì)算，就是不先不考慮具體的“結(jié)果”，而提取或變換關(guān)系，結(jié)構(gòu)。[“得出的新公式，所以絕對(duì)不是另解”，這話很費(fèi)解。為什么新的公式就不是另解？“另解”在作者看來(lái)是怎樣的？] 作者：同意以上看法。關(guān)于幾步之說(shuō)在文章里并沒(méi)有這方面的敘述。關(guān)于幾步之說(shuō)顯然我數(shù)錯(cuò)了。 遠(yuǎn)山：其實(shí)，我覺(jué)得您可以到教學(xué)中去實(shí)驗(yàn)一下，按文章中苦心得出來(lái)的方法，似乎并不會(huì)給學(xué)生帶來(lái)多少“實(shí)惠”，采用那種方法的學(xué)生比較少?；蛘呖梢哉f(shuō)那種方法只有在某些情況下才比普通的方法更實(shí)用，而多數(shù)時(shí)候并不如原來(lái)被“加工”的那種方法，如此則教師苦心何來(lái)？ 作者：這個(gè)案例我是在教育時(shí)報(bào)上看到的。網(wǎng)絡(luò)上流傳較廣。沒(méi)在實(shí)踐中檢驗(yàn)。 插作者的修改稿： 準(zhǔn)變量思維是介于算術(shù)思維和代數(shù)思維之間的一種數(shù)學(xué)思維形式，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對(duì)算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數(shù)的思考”。準(zhǔn)變量思維是從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的素材，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的拓展和延伸，從而實(shí)現(xiàn)兩者之間的有效銜接。 例如：在學(xué)習(xí)《圓柱體表面積的計(jì)算》時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積 “三步計(jì)算法” （表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積的）。這時(shí)有的學(xué)生認(rèn)為這種計(jì)算方法比較煩瑣。“有沒(méi)有更巧妙的方法？”難道底面、側(cè)面展開(kāi)是“圓”與“長(zhǎng)方形”就一定要依次計(jì)算嗎？圍繞這個(gè)問(wèn)題，教師組織如下的教學(xué)活動(dòng)： 師：前面我們學(xué)習(xí)了圓柱體表面積的計(jì)算，我們一般是怎樣計(jì)算它的表面積呢？ 生：我們推導(dǎo)出圓柱體表面積的“三步計(jì)算”方法，即依次計(jì)算底面積、側(cè)面積，再用側(cè)面積加兩個(gè)底面積得出表面積。 師：一個(gè)圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？ 生：側(cè)面積=2×3.14×5×15=471(平方厘米)，底面積=3.14×25=78.5（平方厘米），表面積=471+78.5×2=628（平方厘米） 師：如果我們把剛才的分步列式寫(xiě)成綜合算式，你會(huì)嗎？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 師：怎樣計(jì)算簡(jiǎn)便呢？運(yùn)用乘法分配律，你該怎樣化簡(jiǎn)呢？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 =2×3.14×5×（15+5） =31.4×20 =628（平方厘米） 師：你發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？ 生：圓柱表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑） 再讓學(xué)生操作驗(yàn)證，應(yīng)用拓展。 教師利用學(xué)生提出的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長(zhǎng)×（高+半徑）。其思考過(guò)程就是運(yùn)用“準(zhǔn)變量思維”，運(yùn)用代數(shù)思維的思考方法，（這句話去掉）通過(guò)關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)性的、一般性的、形式化的轉(zhuǎn)換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體表面積的巧妙解法，從而提升學(xué)生對(duì)算術(shù)基礎(chǔ)的理解，蘊(yùn)伏對(duì)算術(shù)和代數(shù)之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。從而使學(xué)生代數(shù)思維的訓(xùn)練落到實(shí)處。（這句話去掉） 遠(yuǎn)山：您再思考一下第三點(diǎn)怎么加工吧。一、是如何體現(xiàn)“準(zhǔn)變量思維”，二、用什么案例。 作者再次修改： 介于小學(xué)算術(shù)程序思維與中學(xué)代數(shù)關(guān)系思維之間的是“準(zhǔn)變量思維”，它的核心是充分利用算術(shù)中所隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對(duì)算術(shù)及其問(wèn)題進(jìn)行“代數(shù)的思考”。準(zhǔn)變量思維是從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的素材，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的拓展和延伸，從而實(shí)現(xiàn)兩者之間有效的銜接。 例如：在學(xué)習(xí)“圓柱體積的計(jì)算”一課時(shí)，教師出示這樣一道練習(xí)題： “一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)是18.84厘米，寬是12.56厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”剛一出示這道題，同學(xué)們議論紛紛。大部分同學(xué)認(rèn)為一樣大，因?yàn)樗鼈兪峭粡堥L(zhǎng)方形紙圍成的；也有幾個(gè)同學(xué)在低頭認(rèn)真演算。這時(shí)石蕊同學(xué)站起來(lái)說(shuō)：“通過(guò)演算，我發(fā)現(xiàn)以長(zhǎng)方形長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)，以寬作為高時(shí)，圓柱的體積是： 18.84÷3.14÷2=3（厘米） 3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米） 以寬為底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)做高時(shí)，圓柱的體積是： 12.56÷3.14÷2=2（厘米） 3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米） 所以，雖然用的是同一張紙圍成的圓柱，但通過(guò)計(jì)算，還是以較長(zhǎng)的邊為底面周長(zhǎng)時(shí)圍成的圓柱的體積大。” 聽(tīng)完石蕊同學(xué)的發(fā)言，張凌云同學(xué)說(shuō)：“我還發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：如果用同一張長(zhǎng)方形紙圍圓柱，那么以長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，以寬為高的圓柱的體積與以寬為底面周長(zhǎng)，以長(zhǎng)為高的圓柱的體積的比等于長(zhǎng)與寬的比。”這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？同學(xué)們聽(tīng)了半信半疑，“你能給大家舉個(gè)例子嗎？”老師提出了要求。張凌云同學(xué)進(jìn)行舉例： 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20厘米，寬是10厘米，用它圍成一個(gè)圓柱，以長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，以寬為高時(shí)，圓柱的體積是： ∏×（20÷2∏）2×10=∏×20×20×10/4×∏×∏=1000/∏(立方厘米) ∏×（10÷2∏）2×20=∏×10×10×20/4×∏×∏=500/∏(立方厘米) 兩個(gè)圓柱體積的比是2：1 其他同學(xué)也躍躍欲試，舉例驗(yàn)證這一發(fā)現(xiàn)。 學(xué)生在推算過(guò)程中把“3.14”這一常量以符號(hào)∏替代，運(yùn)用準(zhǔn)變量思維，通過(guò)關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)性的、一般性的、形式化的轉(zhuǎn)換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體積比的規(guī)律。教師抓住了這個(gè)閃光點(diǎn)，通過(guò)對(duì)一道習(xí)題的延伸拓展，蘊(yùn)伏對(duì)算術(shù)和代數(shù)之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。 遠(yuǎn)山：稿件收到，看了一下。文章基本上采用的是還是算術(shù)思維（唯一不同的是引進(jìn)了圓周率的字母），雖然您多次提到關(guān)注關(guān)系和結(jié)構(gòu)，但是由于您所舉的例子在過(guò)程中過(guò)多的關(guān)注計(jì)算結(jié)果，使得各個(gè)量之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)并不明確。 “準(zhǔn)變量”思維的案例具備說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的可能性，但從目前的行文沒(méi)有突出問(wèn)題。當(dāng)然您也告訴我了這是某雜志上的案例?？戳四峁┑?#8220;準(zhǔn)變量思維”材料，更堅(jiān)定了我改您文章的決心。文章大致思路已修改，因?yàn)榛旧鲜穷嵏擦四乃悸罚赃€是發(fā)給您看看吧。文中計(jì)算尚未更改過(guò)來(lái)，文字銜接等尚未細(xì)致加工，請(qǐng)您自己處理一下. 修改后的文章： 如在教學(xué)《圓柱體積的計(jì)算》時(shí)，某教師出示這樣一道練習(xí)題：“一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)是20厘米，寬是10厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”學(xué)生一般習(xí)慣通過(guò)計(jì)算，得出：以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)、以寬為高時(shí)，圓柱的底面半徑為18.84÷3.14÷2=3（厘米），體積為3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）。以寬為圓柱的底面周長(zhǎng)、長(zhǎng)為高時(shí)，圓柱的底面半徑為12.56÷3.14÷2=2（厘米），體積為3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）。因?yàn)?span lang="EN-US">354.9456>236.6304，所以以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)、以寬為高時(shí)圍城的圓柱的體積最大。學(xué)生這樣做，是基于算術(shù)思想的，只能說(shuō)明對(duì)這組長(zhǎng)和寬是成立，對(duì)其他的長(zhǎng)和寬是否也成立仍不得而知。而按嚴(yán)密的代數(shù)思維應(yīng)該是這樣的：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a、b（a≥b）厘米,則以a為圓柱的底面周長(zhǎng)、以b高時(shí)，圓柱的底面半徑為a÷π÷2=a/2π（厘米），體積為π×(a/2π)2×b =4 a2b/4π（立方厘米）;以b為底面周長(zhǎng)、a為高時(shí)，圓柱的底面半徑為b÷π÷2=b/2π（厘米），體積為π×(b/2π)2×a =4 b2a/4π（立方厘米）。因?yàn)?span lang="EN-US">a>b,所以4 b2a/4π>4 b2a/4π，即以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)、以寬為高時(shí)圍城的圓柱的體積最大。這是代數(shù)思維，顯然超出了小學(xué)生的思維水平。在教學(xué)中，我們可以建議學(xué)生先不急著算，而進(jìn)行以下嘗試：以20厘米為底面周長(zhǎng)，以10厘米為高時(shí)，圓柱的底面半徑是20÷2π，體積是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米為底面周長(zhǎng)，以20厘米為高時(shí)，圓柱的底面半徑是10÷2π，體積是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米)。比較兩個(gè)結(jié)果，得出20×20×10÷4π>10×10×20÷4π。這樣的過(guò)程立足于具體的數(shù)值，但“計(jì)算”過(guò)程中關(guān)注的不是每一步的計(jì)算結(jié)果，而是關(guān)系和結(jié)果，通過(guò)對(duì)關(guān)系的變換，得出具有結(jié)構(gòu)性的、一般性的、形式化的結(jié)果，這就是準(zhǔn)變量思維。 作者：實(shí)在很不好意思，因?yàn)樽约何恼碌牟怀墒?，花費(fèi)了你太多的時(shí)間和精力進(jìn)行修改。感動(dòng)！感謝！兩個(gè)問(wèn)題：1.如果把題目改為長(zhǎng)20，寬10時(shí)計(jì)算除不盡。所以改為原題長(zhǎng)是18.84厘米，寬是12.56厘米。2. 20×20×10÷4π通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)果是1000÷π 10×10×20÷4π通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結(jié)果？ 遠(yuǎn)山：這下我真該暈了——暈的是我們理解的準(zhǔn)變量思維好像有天地之別。 關(guān)于“20×20×10÷4π通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)果是1000÷π，10×10×20÷4π通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結(jié)果”的回答。 1.您認(rèn)為354.9456（立方厘米）>236.6304（立方厘米）與1000/π >500/π有多少區(qū)別？?jī)H僅把3.14改成π就叫準(zhǔn)代數(shù)思想了？ 2.您認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題中最本質(zhì)的關(guān)系或結(jié)構(gòu)是什么？是“部分計(jì)算”結(jié)果與圓周率的關(guān)系？還是長(zhǎng)、寬與體積的關(guān)系？如此哪種結(jié)果能體現(xiàn)您所認(rèn)為的關(guān)系？ 3.準(zhǔn)變量思維的滲透是以“更容易比較出結(jié)果”為主還是別的？如果是以更容易比出結(jié)果則學(xué)生的普通解法最容易比較出結(jié)果。 4.雖然您一直提出“代數(shù)的眼光和思維”，從1000/π、500/π中您能看出多少關(guān)系或結(jié)構(gòu)？ 關(guān)于“1.如果把題目改為長(zhǎng)20，寬10時(shí)計(jì)算除不盡。所以改為原題長(zhǎng)是18.84厘米，寬是12.56厘米”回答：如果題目容易“除盡”則保留結(jié)構(gòu)的必要性在哪里？教學(xué)中，教師可以根據(jù)“除不盡”，如果保留兩位小數(shù)，則計(jì)算比較復(fù)雜，引入“只列式、不計(jì)算”。 |
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