思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事。最有效的教育方法不是告訴人們答案，而是向他們提問；逆境是人類獲得知識的最高學(xué)府，難題是人們?nèi)〉弥腔壑T；發(fā)光并非太陽的專利，你也可以發(fā)光。 ——蘇格拉底（Socrates）
雅典的商業(yè)繁榮持續(xù)了半個多世紀(jì)，因?yàn)榕c斯巴達(dá)人的相互猜忌與不和引發(fā)了伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭。在公元前404年雅典人戰(zhàn)敗投降后，雅典的影響開始走向衰落。
但思想的繁榮未央，黃金時代正在到來。
在智者學(xué)派之后領(lǐng)導(dǎo)數(shù)學(xué)活動的是柏拉圖學(xué)派，數(shù)學(xué)從這里開始走向系統(tǒng)化。
一、柏拉圖學(xué)派的先驅(qū)者
北非昔勒尼（Cyrene）地方的特奧多魯斯（Theodorus）和意大利南部塔倫騰（Tarentum）的阿基塔斯（Archytas）這兩位畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者都曾經(jīng)教過柏拉圖，可能因此使整個柏拉圖學(xué)派受到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的強(qiáng)烈影響。
特奧多魯斯廣為人知的是他證明了3~17之間的非平方數(shù)（即其方根并非整數(shù)者）的平方根都是無理數(shù)。
阿基塔斯是塔倫騰的統(tǒng)領(lǐng)，也是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。傳說柏拉圖《理想國》中描述的烏托邦的哲學(xué)家國王，就是以阿基塔斯為原型的。
阿基塔斯引入了曲線是動點(diǎn)的軌跡，曲面是曲線移動產(chǎn)生的思想。他還從求出兩個給定量之間的兩個比例中項來解決倍立方問題。這兩個比例中項是用幾何方法在求出三個曲面交點(diǎn)之后做出的。這三個曲面是圓繞其一條切線旋轉(zhuǎn)而生成的曲面、一個錐面和一個柱面。他還發(fā)明了一種機(jī)械裝置來計算其中無法用尺規(guī)作出的比值。因此，他也成了“機(jī)械數(shù)學(xué)”方法的創(chuàng)始人。這種做法非常麻煩，柏拉圖一直不認(rèn)可借助機(jī)械解決數(shù)學(xué)問題，但這種“機(jī)械數(shù)學(xué)”方法實(shí)際上有著深刻的含義：他把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理問題來解決。
阿基塔斯還把古希臘的數(shù)學(xué)樂理提高到一個空前的高度。他證明了，全音階的音程之間的關(guān)系具有n+1比n的關(guān)系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值幾何比那樣的關(guān)系。
第一臺自動機(jī)器是由Tarentum的Archytas設(shè)計的，他今天被認(rèn)為是數(shù)學(xué)力學(xué)之父。 Archytas的鴿子是一款蒸汽動力自動飛行器。它的木質(zhì)結(jié)構(gòu)是根據(jù)鴿子的解剖結(jié)構(gòu)設(shè)計的，里面裝有一個密封的鍋爐，用于生產(chǎn)蒸汽。蒸汽的壓力最終會超過結(jié)構(gòu)的阻力，使得機(jī)器鳥可以飛行。
當(dāng)然，對柏拉圖影響最大的肯定是蘇格拉底。雖然蘇格拉底對國家的興趣大過對數(shù)學(xué)的興趣，但他的思想、品行、經(jīng)歷深刻塑造了柏拉圖。他是蘇格拉底最好的學(xué)生。柏拉圖留下的眾多對話，大都是以蘇格拉底為主要角色。柏拉圖稱他的導(dǎo)師是“我所見到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。
傳說在柏拉圖成為蘇格拉底學(xué)生的頭天晚上，蘇格拉底夢見一只天鵝來到膝上，很快羽翼豐滿，唱著動聽的歌兒飛走了。
柏拉圖年輕時曾有志于政治，蘇格拉底之死改變了他的命運(yùn)，令他改變初衷，決定以思辨、學(xué)術(shù)、探索和追求理念的永恒國度為終身職志。這是希臘文明的大轉(zhuǎn)折！
二、柏拉圖與柏拉圖學(xué)院
柏拉圖（Plato，公元前427年—公元前347年），是古希臘偉大的哲學(xué)家、思想家、教育家和數(shù)學(xué)家，也是整個西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一。他與老師蘇格拉底、學(xué)生亞里士多德合稱希臘三賢，公認(rèn)為西方哲學(xué)的奠基者。他們在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、科學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、政治等廣泛領(lǐng)域做出的非凡貢獻(xiàn)在全世界范圍內(nèi)影響至今。
柏拉圖生于雅典奴隸主貴族家庭，宣稱是古雅典國王卡德魯斯的后代。他的父親是阿里斯通 (Ariston) 、母親是伯里提俄涅 (Perictione) ——雅典執(zhí)政官、七賢之一梭倫的后裔。由于柏拉圖出色的學(xué)習(xí)能力和其他才華，古希臘人還稱贊他為阿波羅之子，并稱其嬰兒的時候曾有蜜蜂停留在他的嘴唇上，所以口才如此甜蜜流暢。
年輕的柏拉圖立志從事政治，他參加過伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭，表現(xiàn)得十分勇敢。但老師蘇格拉底因“腐蝕青年思想”等罪名而死的命運(yùn)對柏拉圖影響很大，他深信有良心的人不能搞政治，因?yàn)檎翁髳后a臟了。
蘇格拉底死后，柏拉圖離開雅典，開始了長達(dá) 10 年的游歷，先后去往小亞細(xì)亞、埃及、昔蘭尼（今利比亞）、南意大利和西西里等地。途中，柏拉圖接觸了多位數(shù)學(xué)家，并親自鉆研數(shù)學(xué)。
公元前387年，柏拉圖在雅典西北郊阿卡德米創(chuàng)辦了一所頗似現(xiàn)代私立大學(xué)的學(xué)院（Academy，今意科學(xué)院或高等學(xué)府）。學(xué)院里有教室、飯廳、禮堂、花園和宿舍，柏拉圖擔(dān)任園（校）長，并和他的助手們負(fù)責(zé)講授各門課程，其中數(shù)學(xué)和哲學(xué)是最受歡迎的學(xué)科。除了幾次應(yīng)邀赴西西里講學(xué)以外，他在學(xué)院里度過了他生命的后 40 年，學(xué)院更是奇跡般地存在了 900 年。
據(jù)說，學(xué)院門口立了一塊牌子：“不懂幾何者不得入內(nèi)！”
柏拉圖是他那個時代最有學(xué)問的人，但他不是數(shù)學(xué)家。不過他熱心數(shù)學(xué)，并深信其對哲學(xué)和了解宇宙的重要作用，這就鼓勵了數(shù)學(xué)家們鉆研數(shù)學(xué)。特別要指出的是，公元前4世紀(jì)時幾乎所有重要的數(shù)學(xué)工作都是柏拉圖的朋友和學(xué)生做出的。柏拉圖本人則似乎更關(guān)心把已有的數(shù)學(xué)知識加以改進(jìn)并使之完美。
柏拉圖還是西方教育史上第一個提出完整的學(xué)前教育思想并建立了完整的教育體系的人，第一次提出了“四科”（算術(shù)、幾何、天文、音樂），其后便成了古希臘課程體系的主干和導(dǎo)源，支配了歐洲的中等與高等教育達(dá)1500年之久。
三、柏拉圖學(xué)派的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)
1、數(shù)學(xué)概念抽象化
柏拉圖說數(shù)同幾何概念不含物質(zhì)性，因而和具體事物不相同。數(shù)學(xué)概念不依賴于經(jīng)驗(yàn)而自有其實(shí)在性。它們只能為人所發(fā)現(xiàn)，并非為人所發(fā)明或塑造?！氨仨毺雒Ｈ绱蠛５娜f變現(xiàn)象而抓住真正的實(shí)質(zhì)......這是使靈魂從暫存過渡到真理和永存的捷徑......”柏拉圖學(xué)派重視抽象觀念，并要把數(shù)學(xué)思想當(dāng)作進(jìn)入哲學(xué)的階梯。數(shù)學(xué)家所處理的抽象觀念和諸如善良、公正等其它抽象觀念是同一類的，而了解這兩者乃是柏拉圖哲學(xué)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)是認(rèn)識理想世界的準(zhǔn)備工具。
2、強(qiáng)調(diào)演繹結(jié)構(gòu)
柏拉圖學(xué)派關(guān)心證明，關(guān)心推理過程的方法論。第一類是分析方法：將待證事項作為已知，然后由此推導(dǎo)出一些結(jié)論，直到得出一個已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，則待證的結(jié)論謬誤。若得出一個已知真理，則把推理步驟倒過來就做出證明。第二類是歸謬法或間接法。
柏拉圖肯定知識有加以演繹整理的需要。科學(xué)的任務(wù)是發(fā)現(xiàn)（理想）自然界的結(jié)構(gòu)，并把它在演繹系統(tǒng)里表述出來。柏拉圖是第一個把嚴(yán)密推理法則加以系統(tǒng)化的人，他的門徒按邏輯次序整理了定理。從柏拉圖時代起，數(shù)學(xué)上要求根據(jù)一些公認(rèn)的原理作出演繹證明。由于堅持?jǐn)?shù)學(xué)里必須用演繹推理作為求證的唯一方法，希臘人得以把此前幾千年來數(shù)學(xué)里的所有法則、步驟和事實(shí)全部拋棄，并使數(shù)學(xué)區(qū)別于所有別的知識領(lǐng)域或研究領(lǐng)域。
也正是柏拉圖學(xué)派獨(dú)尊演繹證明、排斥機(jī)械工具，古希臘時代的實(shí)驗(yàn)科學(xué)和機(jī)械科學(xué)發(fā)展不力。
3、數(shù)學(xué)家的締造者
柏拉圖學(xué)派改進(jìn)了數(shù)學(xué)概念定義的準(zhǔn)確性，證明了平面幾何中的新定理。由于天文學(xué)的需要，他們特別重視對立體幾何的研究。他們研究了棱柱、棱錐、圓柱和圓錐，并且知道正多面體最多只有五種——由泰阿泰德（Theaetetus）證明。
柏拉圖學(xué)派最重要發(fā)現(xiàn)是圓錐曲線，這歸功于米奈克穆斯（Menaechmus）：他利用三種圓錐——直角的、銳角的和鈍角的，再用垂直于錐面一母線的平面來割每個錐面。當(dāng)時他們只知道雙曲線的一個支。
柏拉圖學(xué)派的其他數(shù)學(xué)研究工作中還包括泰阿泰德對不可公度量的研究，他考察了其他一些而且屬于更高類型的無理數(shù)并將其分類。從中可以看出數(shù)系是怎樣推廣到更多的無理數(shù)的，而這是用幾何方法研究的。另一柏拉圖學(xué)派學(xué)者狄諾斯特拉托斯（Dinostratus）指出怎么用割圓曲線來化圓為方。歐多克索斯、亞里士多德、歐幾里得都曾在柏拉圖學(xué)院學(xué)習(xí)。
美國數(shù)學(xué)史家波耶（Boyer）評論說：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學(xué)研究方面沒有特別杰出的學(xué)術(shù)成果，然而，他卻是那個時代的數(shù)學(xué)活動的核心，……他對數(shù)學(xué)的滿腔熱忱沒有使他成為數(shù)學(xué)家，但卻贏得了‘?dāng)?shù)學(xué)家的造就者’（the maker of mathematicians）的美譽(yù)?！?/p>
柏拉圖的《蒂邁歐篇》中有這樣一段話：“倘若他對于知識與智慧的熱愛是認(rèn)真的，并且運(yùn)用心智過于身體其余部分，那么自然就會有神圣和永恒的思想；倘若他獲得真理，就必然會得到人性所能夠賦予的最充分的永生......他就將得到無上幸福?！?/p>
13世紀(jì)晚期法國流傳的一幅畫，描述上帝創(chuàng)世的情景。祂使用圓規(guī)，按照幾何的方式去設(shè)計宇宙。此畫顯然受柏拉圖《蒂邁歐篇》的影響。
下一講神明似的歐多克索斯。
