第三章：古典希臘數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。本篇記錄柏拉圖的學(xué)院（Academy）派。
柏拉圖學(xué)派
北非昔蘭尼（Cyrene）地方的特奧多魯斯（Theodorus，生于公元前470年左右）和意大利南部太蘭吐姆的阿基塔斯是畢達(dá)哥拉斯派學(xué)者，并且都教過(guò)柏拉圖。他們的教導(dǎo)可能使整個(gè)柏拉圖學(xué)派受到畢達(dá)哥拉斯派的強(qiáng)烈影響。
“柏拉圖出生于名門，早年有政治抱負(fù)。但蘇格拉底的命運(yùn)使他深信有良心的人不能搞政治?！卑矗喊乩瓐D的導(dǎo)師蘇格拉底被雅典群眾民主地判了死刑，這使古往今來(lái)的許多精英對(duì)民主心存疑慮。
“公元前387年左右他在雅典成立學(xué)院，它在好多方面像現(xiàn)代的大學(xué)。學(xué)院有場(chǎng)地、房屋、學(xué)生，并有柏拉圖及其助手講授的正式課程。在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)和哲學(xué)是學(xué)院里所喜愛的學(xué)科。數(shù)學(xué)的主要活動(dòng)中心雖在公元前300年左右移到亞歷山大，但在整個(gè)亞歷山大時(shí)代學(xué)院派仍舊領(lǐng)導(dǎo)哲學(xué)界。學(xué)院維持了九百年之久，直到529年因它傳授‘異端邪說(shuō)’被信奉基督教的羅馬王查士丁尼（Justinian）查封?！卑矗喊乩瓐D對(duì)教育的貢獻(xiàn)堪比孔子，偉哉！據(jù)說(shuō)歐幾里得就是柏拉圖學(xué)院教育出來(lái)的?；浇毯蜄|羅馬皇帝查士丁尼是文化的罪人。天地有正氣，雜然賦流形。下則為河岳，上則為日星。是氣所磅礴，凜烈萬(wàn)古存。當(dāng)其貫日月，生死安足論！
“柏拉圖和他的后繼者無(wú)疑是把數(shù)學(xué)概念看作抽象物的?！卑乩瓐D《理想國(guó)》（Republic）中蘇格拉底對(duì)格勞孔（Glaucon）的一段話：“哲學(xué)家必須跳出茫如大海的萬(wàn)變現(xiàn)象而抓住真正的實(shí)質(zhì)，所以他必須是個(gè)算術(shù)家……這是使靈魂從暫存過(guò)渡到真理和永存的捷徑……算術(shù)有很偉大和崇高的作用，它迫使靈魂用抽象的數(shù)來(lái)進(jìn)行推理，而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的對(duì)象……”按：這是一個(gè)重要的進(jìn)步，從此以后就可以不斷從數(shù)學(xué)對(duì)象中發(fā)現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，從新結(jié)構(gòu)中又提煉出新的數(shù)學(xué)對(duì)象，循環(huán)上升不已。從加減乘除到令普通人瞠目的微積分、群論，這中間有多大的跨度！
柏拉圖把數(shù)學(xué)思想當(dāng)作進(jìn)入哲學(xué)的階梯?！皵?shù)學(xué)家所處理的抽象觀念跟其它的抽象觀念，比如善良和公正，是同一類的，而了解這兩者乃是柏拉圖哲學(xué)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)理想世界的準(zhǔn)備工具?！麄?cè)O(shè)想理想的社會(huì)和完善的國(guó)家?！ㄓ欣硐胧澜缫约袄硐腴g的關(guān)系才是永恒的，不受時(shí)代影響的，不朽的，而且是普遍的。物理世界是理想世界的不完善的體現(xiàn)，因而它是會(huì)枯朽的，所以只有理想世界才值得進(jìn)行研究?！卑矗哼@是對(duì)物理世界的根本誤解，數(shù)學(xué)概念跟善良、公正也完全不是同一類。現(xiàn)代的自然科學(xué)家正好反過(guò)來(lái)，把物理世界作為最高的研究對(duì)象，判斷理論正誤最終是看是否符合實(shí)驗(yàn)。柏拉圖學(xué)派的這個(gè)錯(cuò)誤造成了嚴(yán)重的后果，只承認(rèn)從概念到概念的演繹法，不承認(rèn)對(duì)自然現(xiàn)象的歸納、觀察和實(shí)驗(yàn)，在上千年的時(shí)間里阻礙了自然科學(xué)的發(fā)展。但它對(duì)數(shù)學(xué)的促進(jìn)作用還是應(yīng)該肯定的。
“普羅克洛斯和第歐根尼（Diogenes Laertius，3世紀(jì)）把兩類方法論歸功于柏拉圖學(xué)派。第一類是分析方法，用這方法時(shí)，我們把待證的事項(xiàng)作為已知，然后由此推導(dǎo)出一些結(jié)論，直到得出一個(gè)已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，則待證的結(jié)論謬誤。若得出一個(gè)已知真理，則（如若可能）便把推理步驟倒過(guò)來(lái)，于是就作出證明。第二類是歸謬法或間接法。”按：還記得中學(xué)課堂上數(shù)學(xué)老師講這兩種證明方法嗎？
柏拉圖在《理想國(guó)》（第VI篇，510節(jié)）中論演繹結(jié)構(gòu)：“你們知道幾何、算術(shù)和有關(guān)科學(xué)的學(xué)生，在他們的各科分支里，假定奇數(shù)和偶數(shù)、圖形以及三種類型的角等是已知的；這些是他們的假設(shè)，是大家認(rèn)為他們以及所有人都知道的事，因而認(rèn)為是無(wú)需向他們自己或向別人再作任何交代的；但他們是從這些事實(shí)出發(fā)的，并以前后一貫的方式往下推，直到得出結(jié)論?！?/span>
“柏拉圖的學(xué)院里曾提出過(guò)這樣的疑問(wèn)，即根據(jù)已知的事實(shí)和問(wèn)題中給定的假設(shè)，所給問(wèn)題究竟是否可解。”按：解的存在性！別的文明有沒有研究過(guò)？
為什么希臘人只用演繹法，而排斥歸納、觀察和實(shí)驗(yàn)？一方面是哲學(xué)家只關(guān)心真理，而歸納不能給出確定無(wú)疑的結(jié)果。另一個(gè)原因可能是古希臘享受教育的階級(jí)輕視實(shí)際事務(wù)?！把诺潆m是商業(yè)中心，但從事商業(yè)和醫(yī)藥之類行業(yè)的是奴隸階級(jí)。柏拉圖堅(jiān)決主張自由民搞買賣應(yīng)看作是犯罪而要受到懲罰，亞里士多德也說(shuō)在完善的國(guó)家里公民（相對(duì)于奴隸而言）不應(yīng)該搞機(jī)械行業(yè)，對(duì)于這種社會(huì)里的思想家來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)和觀察就成為陌生的事?！卑矗焊袊?guó)古代相似！
公元前6和5世紀(jì)時(shí)，希臘人曾把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際技術(shù)。泰勒斯曾用他的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)改進(jìn)航海技術(shù)。梭倫（Solon）給予匠人以榮譽(yù)并寵崇發(fā)明者?！?/span>Sophia這個(gè)希臘字通常用來(lái)表示明智和抽象思維，而在當(dāng)時(shí)的意思卻是專業(yè)技能。據(jù)普羅克洛斯說(shuō)，把‘?dāng)?shù)學(xué)變成自由學(xué)科’（即是說(shuō)，教給自由民的學(xué)問(wèn)而不是傳給奴隸的技巧）的正是畢達(dá)哥拉斯派人。”按：這樣看來(lái)，希臘早期的態(tài)度是質(zhì)樸而健康的，晚期卻變得精致而脆弱。這是許多文明的共同歷程，過(guò)于精致意味著完全成熟和到達(dá)頂峰，要開始衰敗和走下坡路了。中國(guó)從先秦諸子、唐詩(shī)到《紅樓夢(mèng)》，就是如此。
普魯塔克（Plutachus）在馬塞勒斯（Marcellus）的傳記里寫出了人們對(duì)機(jī)械工具的態(tài)度是怎樣改變的：“歐多克索斯和阿基塔斯……用機(jī)械工具來(lái)巧妙地說(shuō)明幾何真理……但由于柏拉圖對(duì)此表示憤慨，并由于他對(duì)此大加譴責(zé)，說(shuō)它只不過(guò)是搞壞和消滅了幾何學(xué)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，使其如此可恥地不顧純理智的抽象對(duì)象，而回復(fù)到感性，并求助（這種幫助非得卑躬屈膝喪盡尊嚴(yán)才能獲得）于物質(zhì)。由于這種譴責(zé)，……機(jī)械學(xué)和數(shù)學(xué)分了家，并由于它被哲學(xué)家所蔑棄和忽視，它就只在軍事技術(shù)上占有地位了。”按：簡(jiǎn)直可以看到柏拉圖如何憤憤地指斥“奇技淫巧”！
柏拉圖學(xué)派推動(dòng)了對(duì)立體幾何的研究?！独硐雵?guó)》第七篇528節(jié)說(shuō)，由于天文學(xué)是同運(yùn)動(dòng)著的立體打交道的，故在研究天文學(xué)以前需要懂得這種立體的科學(xué)。他抱怨國(guó)家沒有支持研究立體圖形的人。他們研究了棱柱、棱錐、圓柱和圓錐，而且他們知道正多面體最多只有五種。按：真了不起！即使是現(xiàn)在，又有多少人知道正多面體只有五種？肯定是少數(shù)！其他文明對(duì)正多面體的研究是什么水平？
柏拉圖派最重要的發(fā)現(xiàn)是圓錐曲線。倍立方問(wèn)題可歸結(jié)為求x和y，使a/x = x/y = y/2a，即x^2 = ay，y^2 = 2ax，xy = 2a^2。因此x和y就是兩拋物線的交點(diǎn)或一拋物線與一雙曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。梅內(nèi)克繆斯利用直角、銳角、鈍角的三種圓錐，再用垂直于錐面一母線的平面來(lái)割每個(gè)錐面，得到了三種圓錐曲線。
昔蘭尼的特奧多魯斯證明了3、5、7和其它一些數(shù)的平方根是無(wú)理數(shù)。特埃特圖斯考察了其它一些屬于更高類型的無(wú)理數(shù)，并將其分類，見歐幾里得《幾何原本》第十篇。這些不可公度比能用幾何方法作為長(zhǎng)度畫出。按：用現(xiàn)代的語(yǔ)言說(shuō)，是不是古希臘發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)僅限于代數(shù)數(shù)，即整系數(shù)多項(xiàng)式的根，而不包括真正大部分的超越數(shù)？
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