在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一個人所樹立的另一個人要加以摧毀。只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓?！獫h克爾（Hermann Hankel）
一、歐洲文明的開始
在巴比倫、埃及、希臘和羅馬人各自盛極一時的年代里，今日的歐洲（除意大利和希臘外）只有原始的文明。住在那里的日耳曼民族既不會書寫又沒有什么知識。他們的主要工作是飼養(yǎng)牲口、打獵和種植谷物。從4世紀(jì)起，匈奴人把居住在中歐的哥特和日耳曼部落往西趕。5世紀(jì)時哥特人占領(lǐng)了西羅馬帝國本土。
公元500年新的文化影響開始在歐洲起作用。天主教會逐步使日耳曼和哥特蠻族改信基督教并開始建立學(xué)校，這些是附設(shè)在當(dāng)時稍具希臘和羅馬知識的修道院里的，目的是為教授人們念誦教會經(jīng)文和圣書。其后不久為了訓(xùn)練教會圣職人員，又逐步辦起較高級的學(xué)校來。
博洛尼亞大學(xué)（世界上最早的大學(xué)）
在8世紀(jì)下半葉，有些世俗統(tǒng)治者又增設(shè)了一些學(xué)校。這些學(xué)校也是附設(shè)在教堂或修道院里的，注重學(xué)習(xí)基督教的神學(xué)和音樂。最后從教會的學(xué)校產(chǎn)生出歐洲的大學(xué)，并由教會中各教派如方濟(jì)各會（Franciscan）和多米尼加（Dominican）教派的人士擔(dān)任教員。最早的博洛尼亞（Bologna）大學(xué)是在1088年成立的。巴黎大學(xué)、薩萊諾（Salerno）大學(xué)、牛津大學(xué)和劍橋大學(xué)是在大約在1200年成立的。這些大學(xué)開始并不是現(xiàn)代意義上的大學(xué)，雖然形式上是獨立的，但實際都是服務(wù)于教會利益。
索邦神學(xué)院（巴黎大學(xué)前身）
意大利薩萊諾大學(xué)（歐洲最早醫(yī)科大學(xué)）
牛津大學(xué)
拉丁文是教會的官方語言，因而它就成為歐洲的國際語言以及數(shù)學(xué)和科學(xué)的文字。直到18世紀(jì)和更晚的時候，拉丁文還是歐洲學(xué)校里授課用的語言。由于羅馬人的數(shù)學(xué)微不足道，所以歐洲人所學(xué)到的只不過是非常原始的一套記數(shù)法和少量算術(shù)法則。他們也通過少數(shù)翻譯家汲取一點希臘數(shù)學(xué)知識。
主要的翻譯家是一個羅馬名門的后裔博伊西斯（Anicius Manlius Severinus Boethius，約480—524），他的譯作直到12世紀(jì)還廣泛流傳。他根據(jù)希臘材料用拉丁文選編了算術(shù)、幾何與天文的初等讀物。他從歐幾里得的《原本》里譯了多則5篇（或少則3篇）的材料組成他的《幾何》（Geometry）。在他的書里他給出定義和定理，但無證明。他又在這書里編入一些度量方法的幾何材料。有些結(jié)果是不正確的，有些只是近似的。奇怪的是，《幾何》里也含有關(guān)于算盤和分?jǐn)?shù)的材料，后者是學(xué)習(xí)天文的預(yù)備知識。博伊西斯還寫了《算術(shù)入門》（Institutis arithmetica），這是尼科馬修斯所著《算術(shù)入門》的譯本，但略去了尼科馬修斯的一些結(jié)果。這書成為各學(xué)校所教算術(shù)知識的源泉幾乎有1000年之久。最后博伊西斯譯出了亞里士多德的一些著作，根據(jù)托勒密的著作寫了一本天文書，根據(jù)歐幾里得、托勒密和尼科馬修斯的著作寫了一本音樂書。很可能博伊西斯并未全部理解他所翻譯的書籍。他創(chuàng)造了“四大科”（quadrivium）這個詞來代表算術(shù)、幾何、音樂和天文。他最出名的著作《哲學(xué)的安慰》（Consolationsof Philosophy）至今還有人在讀，那是在他被控叛國（最后他因這個罪名被斬）而監(jiān)禁在牢里時寫的。
博伊西斯《哲學(xué)的安慰》（1385）
另一個翻譯家是羅馬人卡西奧多羅斯（Aurelius Cassiodorus，約475—570），他翻譯了一小部分希臘數(shù)學(xué)和天文著作。還有塞維利亞的伊西多爾（Isidore，約560-636），他撰寫了《詞源Etymologies》，共20篇，內(nèi)容從數(shù)學(xué)到醫(yī)學(xué)都有。以及英國人“可敬的”比德（Venerable Bede，674—735）。這些人是希臘數(shù)學(xué)和中世紀(jì)早期學(xué)術(shù)界的主要聯(lián)系者。
伊西多爾《詞源》（1160）
中世紀(jì)早期數(shù)學(xué)家書中的所有問題都只牽涉到整數(shù)的四則運算。分?jǐn)?shù)很少用。無理數(shù)是根本不出現(xiàn)的。中世紀(jì)把善算的人叫做“蠱術(shù)”師或巫師。
10世紀(jì)時奧弗涅（Auvergne）人熱爾貝（Gerbert）【后來成為教皇西爾維斯特二世（Pope Sylvester II），死于1003年】把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)稍微推進(jìn)了一步。但他的著作只限于初等算術(shù)和初等幾何。
二、中世紀(jì)早期數(shù)學(xué)在歐洲的地位
雖然所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容很少，但即使在中世紀(jì)學(xué)校的課程里數(shù)學(xué)還是相當(dāng)重要的。課程分為四大科和三文（trivium）。四大科包括算數(shù)（純數(shù)的科學(xué)）、音樂（數(shù)的一個應(yīng)用）、幾何（關(guān)于長度、面積、體積和其它諸量的學(xué)問）和天文（關(guān)于運動中的量的學(xué)問）。三文包括修辭、辯證和文法。
四大科三文
當(dāng)時教會指望教士能用說理來捍衛(wèi)神學(xué)和駁斥論爭，而數(shù)學(xué)則被認(rèn)為是訓(xùn)練神學(xué)說理的最好學(xué)科，正如柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)是訓(xùn)練哲學(xué)的好學(xué)科一樣。教會提倡教授數(shù)學(xué)，因它對修日歷和預(yù)報節(jié)日有用。
促使人學(xué)習(xí)一點數(shù)學(xué)的另一動機(jī)是占星術(shù)。這門偽科學(xué)在巴比倫人、古典希臘人和阿拉伯人哪里曾頗為風(fēng)行，而在中世紀(jì)的歐洲則幾乎普遍被人接受。占星術(shù)的基本信條當(dāng)然是說天體能影響和控制人體以及人的命運。為了解天體的影響并預(yù)報特殊的天象事件所展示的吉兇禍福，那就需要有些天文知識，因此少不了要懂點數(shù)學(xué)。
占星術(shù)到中世紀(jì)后期變得特別重要。每個朝廷都有占星術(shù)士，大學(xué)里也有占星術(shù)的教授和課程。在中世紀(jì)末期和文藝復(fù)興時，占星術(shù)不但成為一項重要的工作而且被看作是數(shù)學(xué)的一個分支。
數(shù)學(xué)通過占星術(shù)又和醫(yī)學(xué)發(fā)生關(guān)系。醫(yī)生想找出天體現(xiàn)象和特殊星座同各個人的健康之間的關(guān)系。他們把成千人出生、結(jié)婚、生病和死亡時出現(xiàn)的星座記錄下來，用以預(yù)測醫(yī)療是否有效。為此需要懂得廣泛的數(shù)學(xué)知識，因而使醫(yī)生也變成深諳數(shù)學(xué)的人。事實上他們在占星術(shù)和數(shù)學(xué)方面的造詣遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對人體知識的造詣。
12世紀(jì)的博洛尼亞大學(xué)有個醫(yī)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)院。當(dāng)天文學(xué)家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）在1566年上羅斯托克（Rostock）大學(xué)時，那里沒有天文學(xué)家，但有占星術(shù)士、煉金術(shù)士、數(shù)學(xué)家和醫(yī)學(xué)家。在許多大學(xué)里占星學(xué)教授比真正的醫(yī)學(xué)和天文學(xué)教授還要常見。伽利略曾對醫(yī)科學(xué)生講過天文，但目的是為了使他們能研究占星術(shù)。
三、數(shù)學(xué)的停滯
中世紀(jì)初期約從400年起，到1100年為止，這段時期內(nèi)數(shù)學(xué)并無進(jìn)展，也沒有人認(rèn)真做數(shù)學(xué)工作。主要原因是對物理世界缺乏興趣?；浇讨饕P(guān)心的是精神生活，因而認(rèn)為出于好奇心或?qū)嵱媚康亩剿髯匀坏墓ぷ魇歉”〔蛔愕赖??；浇虖?qiáng)調(diào)要把心靈提高到超越肉體和物質(zhì)之上，并為靈魂做好準(zhǔn)備去過死后天國的生活。關(guān)于原罪的信條、對地域的恐懼、上帝的拯救以及對天國的企求重于一切。
那么歐洲人從哪里去獲得關(guān)于自然的知識以及關(guān)于宇宙和人的天然設(shè)計方案呢？答案是所有知識都來源于研讀圣經(jīng)，教會神甫的教導(dǎo)和教條是圣經(jīng)的補(bǔ)充發(fā)揮和解釋，被認(rèn)為具有至高無上的權(quán)威。奧古斯丁（Saint Augustine，354—430）曾說：“從圣經(jīng)以外獲得的任何知識，如果它是有害的，理應(yīng)加以排斥；如果它是有益的，那它是會包含在圣經(jīng)里的?！边@段話雖不足以代表奧古斯丁，卻足以代表中世紀(jì)早期的人對研究自然的態(tài)度。
《正在研究神學(xué)的圣奧古斯丁》
直到1100年，中世紀(jì)時期沒有在知識領(lǐng)域里產(chǎn)生出任何大的文化。它的知識狀態(tài)是思想統(tǒng)一、教條主義、神秘主義、信賴權(quán)威，不斷向權(quán)威著作求教、進(jìn)行分析并加以評述。傾向于神秘主義的結(jié)果使人把含糊其辭的思想奉為現(xiàn)實甚至接受為宗教真理。神學(xué)統(tǒng)轄了所有學(xué)問，教會神甫能編造萬有知識體系。但除了包含在基督教義中的以外，他們不去尋思或追求任何別的原理。
羅馬文明是產(chǎn)生不出數(shù)學(xué)來的，因它太注重實際和馬上可以應(yīng)用的結(jié)果。歐洲中世紀(jì)文明不能產(chǎn)生數(shù)學(xué)成果則出于正相反的原因。它根本不關(guān)心物理世界。俗世的事務(wù)和問題是不重要的?；浇讨匾曀篮蟮纳畈⒅匾暈榇硕M(jìn)行的準(zhǔn)備。
數(shù)學(xué)顯然不能再一個只重世務(wù)或只信天國的文明中繁榮滋長。數(shù)學(xué)在一個自由的學(xué)術(shù)氣氛中最能獲得成功，那里既能對物理世界所提出的問題發(fā)生興趣，又有人愿意從抽象方面去思考由這些問題所引起的概念，而不計其是否能謀取眼前的或?qū)嶋H的利益。自然界是產(chǎn)生概念的溫床，然后必須對概念本身進(jìn)行研究。反過來，能對自然獲得新的觀點，對它有更豐富、更廣泛、更強(qiáng)有力的理解，而這又產(chǎn)生出更深刻的數(shù)學(xué)工作。
四、希臘著述的第一次復(fù)活
在1100年之際，歐洲文明處于一種停滯的狀態(tài)。一點也看不出有什么征象，能夠說明歐洲人如果任其自行其是，會自動拋棄前述那種世界觀和著重點，而回頭來認(rèn)真鉆研數(shù)學(xué)。
但新的思潮開始影響當(dāng)時的學(xué)術(shù)界氣氛。歐洲人通過貿(mào)易和旅游，同地中海地區(qū)和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發(fā)生接觸。十字軍東征（約1100—約1300），使歐洲人進(jìn)入阿拉伯土地。歐洲人開始從阿拉伯人和拜占庭的希臘人那里學(xué)到了希臘的著作。
希臘學(xué)術(shù)的發(fā)現(xiàn)激起歐洲人很大的興趣，他們大力搜求希臘著作的抄本、阿拉伯文譯本以及阿拉伯人寫的課本。王公和教會領(lǐng)袖支持學(xué)者去獵取這些學(xué)術(shù)寶藏。學(xué)者們紛紛到非洲、西班牙、法國南部、西西里和近東的阿拉伯文化中心去鉆研阿拉伯人的著述，并把他們所能買到的書籍帶回歐洲。巴思（Bath）地方的阿德拉德（Adelard，約1090—約1150）喬裝回教學(xué)生前往阿拉伯人控制下的敘利亞和科爾多瓦以及意大利南部。比薩的利奧那多（Leonardo）到北非去學(xué)算術(shù)。北意共和國和羅馬教廷派出使團(tuán)和大使到拜占庭帝國和西西里。1085年基督徒攻占了托萊多（Toledo），于是阿拉伯著作的一大中心向歐洲學(xué)者開放了。1091年基督徒又從阿拉伯人手里奪取了西西里，他們又可自由閱讀那里的著作了。從帝國開始之日起就收藏了希臘著作的羅馬，經(jīng)過一次搜索后發(fā)現(xiàn)了更多的手稿。
意大利托萊多古城
歐洲人獲得這些著述后就愈來愈多地把他們譯成拉丁文。12世紀(jì)從希臘文譯出的書總的說來質(zhì)量不高，因當(dāng)時對希臘文懂得不多。它們是逐字逐句譯出的，但它們比那些通過阿拉伯譯本重譯的希臘著作好一些，因為阿拉伯文與希臘文是很不一樣的。因此直到17世紀(jì)后很長的時間，歐洲不斷出現(xiàn)新的更好的譯本。
這樣歐洲人就知道了歐幾里得和托勒密的著作，阿爾花拉子米的《算術(shù)Arithmetic》和《代數(shù)》，特奧多修斯的《球面學(xué)》，亞里士多德和海倫的許多著作，阿基米德的幾部著作，特別是他的《圓的量度Measurement of a Circle》【他的其余著作在1544年由巴塞爾的埃爾瓦吉烏斯（Hervagius）譯成拉丁文】。但在12和13世紀(jì)間，阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作都未曾譯出。此外哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、科學(xué)、神學(xué)和占星術(shù)方面的書也都翻譯出來。由于阿拉伯人確實占有幾乎全部的希臘著作，歐洲人就此獲得了大量的文獻(xiàn)。他們對這些著作是這樣欽佩并這樣傾倒于其中的新鮮思想，以至他們都成了希臘思想的門徒。他們珍視這些著作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他們自己的創(chuàng)作。
五、理性主義和對自然的興趣的復(fù)活
第一批希臘和阿拉伯著作的譯本傳到歐洲后不久，對自然現(xiàn)象的理性探討，并以自然原因而不以道德或神意的原因來作解釋的風(fēng)氣幾乎立刻就呈現(xiàn)出生命力。甚至有人開始對圣經(jīng)文字尋求合理化的解釋，并且至少表示出需要用數(shù)學(xué)來研究自然的意愿。
隨著希臘著作的傳入，要求作合理化解釋的趨勢、對物理世界的研究、通過物質(zhì)生活來享受現(xiàn)世生活的興趣以及對自然的興趣變得明顯起來。有些人甚至開始用自己的道理來對抗教會的權(quán)威。例如巴思的阿德拉德說他不愿聽從那些“被人牽著鼻子走的人......因此如果你要聽我講些什么東西，就得同我講道理并且讓我也來講道理?！?/p>
說來奇怪，有些希臘著作的傳入?yún)s使歐洲的覺醒推遲了兩個世紀(jì)之久。到1200年之際，亞里士多德的許多著作已相當(dāng)普及。他書中的大量事實、精細(xì)的分辨能力、令人信服的論據(jù)，和對知識的邏輯編排，使歐洲學(xué)者讀了心悅誠服。亞里士多德學(xué)說的缺點是他接受了那些在思想上認(rèn)為是有理的說法，而不管其是否符合實際經(jīng)驗。他提出一些想法、理論和解釋，例如基本物質(zhì)之說、地上物體與天體的區(qū)分，以及對終極原因的強(qiáng)調(diào)，是很少現(xiàn)實根據(jù)或沒有結(jié)果的。但因這些說法都被人毫無批判地加以接受，所以新的思想就不受歡迎或無人理睬，使進(jìn)步推遲。亞里士多德給數(shù)學(xué)較低的地位——肯定是次于定性的物理解釋的地位，這可能也是阻礙科學(xué)進(jìn)步的。
倫勃朗油畫《 亞里士多德和荷馬石膏半身像》
大約從1150年到1450年這段期間內(nèi)，從事科學(xué)工作的是經(jīng)院派學(xué)者，他們信奉以基督教使徒和亞里士多德的權(quán)威為基礎(chǔ)的學(xué)說，因此科學(xué)工作自然受到不利影響。當(dāng)時有一個人感到需要從實驗得出一般原則，需要有利用數(shù)學(xué)的演繹推理，然后根據(jù)事實來檢驗這種推理，這人便是林肯郡的主教、自然哲學(xué)家格羅斯泰特（Robert Grosseteste，約1168—1253）。
反抗權(quán)威的最出色的發(fā)言人并且真能提供有價值思想的是羅吉爾·培根（Roger Bacon，約1214—1294），他號稱為“萬能博士”（Doctor Mirabilis）。他宣稱：“如果我有權(quán)處理亞里士多德的著作，我就會下令把它全燒掉，因為學(xué)習(xí)它不過是浪費時間而且把人引入歧途，而且它又是難以形容的層出不窮的無知之見?！?/p>
羅吉爾·培根學(xué)識淵博，遍曉當(dāng)時的許多科學(xué)和語言文字，包括阿拉伯文在內(nèi)。他比別人早知道當(dāng)時剛出現(xiàn)的發(fā)明和科學(xué)進(jìn)展，如火藥、透鏡的作用，機(jī)制時鐘，日歷的編制，彩虹的形成等。他甚至談到對潛水艇、飛機(jī)和汽車的設(shè)想。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、視像成因、天文學(xué)、地理學(xué)、年表學(xué)、化學(xué)、透視學(xué)、音樂、醫(yī)學(xué)、文法、邏輯、形而上學(xué)、倫理學(xué)和神學(xué)方面的著作都是含有正確思想的。
羅吉爾·培根的特別令人欽佩之處是他懂得可靠的知識是怎么得來的。他探討了使科學(xué)獲得進(jìn)展或受到阻撓的原因，并提出改革研究方法的意見。他雖也勸人閱讀圣經(jīng)，但強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和實驗，并預(yù)見科學(xué)造福于人類的偉大前景。
他相信數(shù)學(xué)思想是與生俱來的并且是同自然事物本身相一致的，因為自然界是用幾何語言編寫而成的。因而數(shù)學(xué)能提供真理，它先于其它科學(xué)，因為數(shù)學(xué)處理直覺所感知的量。他在所著《大作Opus Majus》的一章中“證明”所有科學(xué)都需要數(shù)學(xué)，他的論點表明他正確認(rèn)識到數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用。他雖然強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)，但也充分認(rèn)識到實驗在發(fā)現(xiàn)事實和驗證從理論或其它方面所得結(jié)果的作用及其重要性?！罢撟C可以總結(jié)一個問題，但它不能使我們感到放心或承認(rèn)其為真理，除非通過經(jīng)驗而表明其確為真理。”
羅吉爾·培根的《大作》談了不少關(guān)于數(shù)學(xué)對地理、年表學(xué)、音樂、彩虹的解釋、編日歷和確定信念的用處，還論述了數(shù)學(xué)在國家掛歷、氣象學(xué)、水文學(xué)、占星術(shù)、透視學(xué)、光學(xué)和視像成因等方面的作用。
但甚至羅吉爾·培根也只是他那個時代的產(chǎn)物。他相信巫術(shù)、占星術(shù)，并堅稱一切學(xué)問的目標(biāo)是神學(xué)。他也是他那個時代的犧牲品，他死于監(jiān)獄，正如其他許多倡導(dǎo)人類理智獨立性以及實驗觀察重要性的學(xué)術(shù)界領(lǐng)袖一樣。他對他那個時代的影響是不大的。
奧卡姆的威廉（William of Ockham，約1300—1349）批評亞里士多德對終極原因的觀點。他說終極原因純粹是虛擬的說法。所有原因都是直接的，足以產(chǎn)生一事件的所有前提構(gòu)成它的總因。這種關(guān)于聯(lián)系的認(rèn)識是放之四海而皆準(zhǔn)的，因為自然界是統(tǒng)一的?？茖W(xué)的首要功能是確定觀察的次第。奧卡姆說，至于物質(zhì)我們只知道它們的種種性質(zhì)，而并沒有一種基本的物質(zhì)形式。
他又攻擊當(dāng)時的物理和形而上學(xué)（玄學(xué)），說得自經(jīng)驗的知識是真知，而合理化的構(gòu)思則不然，它們不過是人創(chuàng)造出來用以解釋所觀察的事實而已。他提出一個著名原則號稱“奧卡姆的剃刀”【格羅斯泰特和司各脫（John Duns Scotus，1266—1308）在以前早提出過】：若能用較少的概念解決問題，那更多的概念是不必要的。他把神學(xué)同自然哲學(xué)（科學(xué)）分開，理由是神學(xué)的知識得自神的啟示，而自然哲學(xué)知識則應(yīng)來自經(jīng)驗。
這些異見分子并沒有提出新的科學(xué)思想，但他們確實要求自由研究、自由思想和自由探索，并主張以經(jīng)驗作為科學(xué)知識的來源。
六、數(shù)學(xué)本身的進(jìn)展
大約在1100年到1450年這段時期內(nèi)，盡管思想嚴(yán)受束縛，但還是進(jìn)行了一些數(shù)學(xué)活動，其主要中心是牛津大學(xué)、巴黎大學(xué)、維也納大學(xué)（成立于1365年）和埃爾富特（Erfurt）大學(xué)（成立于1392年）。起初的工作是對希臘和阿拉伯文獻(xiàn)的直接翻譯。
維也納大學(xué)
埃爾福特大學(xué)
第一個值得一提的歐洲學(xué)者是比薩的利奧那多（約1170—1250），又名斐波那契（Fibonacci）。他受教育于非洲，在歐洲和小亞細(xì)亞游歷甚廣，并以其精湛掌握當(dāng)代及以前各代的全部數(shù)學(xué)知識而聞名。
1202年斐波那契寫了劃時代的并流傳很久的《算經(jīng)》（Liber Abaci）一書，這是從阿拉伯文和希臘文材料編譯成拉丁文的書。當(dāng)時在歐洲已多少知道一點阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但只限于在修道院里。一般人還是用羅馬數(shù)字而且避免用零，因他們不懂零的意思。斐波那契的書產(chǎn)生很大影響并改變了數(shù)學(xué)的面貌，其中傳授了印度人用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根進(jìn)行計算的方法。
斐波那契在《算經(jīng)》及較晚一部著作《四藝經(jīng)》（Liber Quadratorum，1225）中都論述了代數(shù)，并以算術(shù)方法作為代數(shù)的基礎(chǔ)。他講述了一次和二次確定或不定方程以及某些三次方程。他認(rèn)為一般三次方程是不能用代數(shù)方法解出的。
在幾何方面，斐波那契在他的《幾何實習(xí)》（Practica Geometrica，1220）里重復(fù)講述了歐幾里得《原本》及希臘三角術(shù)的大部分內(nèi)容。他傳授用三角方法而不用羅馬人的幾何方法來搞測量。
斐波那契著述的最突出之點是他指出歐幾里得在《原本》第十篇中對無理量的分類并不包括一切無理量。他證明x3+2x2+10x=20的根不能用尺規(guī)作出。這第一次表明數(shù)系所含的數(shù)超過希臘人以是否尺規(guī)可作為準(zhǔn)則所定的范圍。他又引入了至今仍稱為斐波那契數(shù)列的概念，在這數(shù)列中的每項等于其前兩項之和。
奧雷姆（Nicole Oresme，約1323—1382）是利雪（Lisieux）地方的主教兼納瓦拉（Navarre）巴黎學(xué)院的教師。在他的未發(fā)表的著作《比例算法》（Algorismus Proportionum，約1360年）中，他引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)的記法和一些算法。他的想法是：既然43=64而，所以。分?jǐn)?shù)指數(shù)的記法以后在16世紀(jì)的幾個作家的著作中重又出現(xiàn)過，但直到17世紀(jì)才廣泛采用。
奧雷姆的另一項貢獻(xiàn)在于對變化的研究。亞里士多德對質(zhì)和量是嚴(yán)格區(qū)別的。他認(rèn)為熱的強(qiáng)度是一種物質(zhì)。改變熱的強(qiáng)度就得增加或減少一種東西——一種熱。奧雷姆認(rèn)為并沒有什么不同種類的熱，而只有同一類熱的多寡之分。14世紀(jì)一些牛津和巴黎的經(jīng)院哲學(xué)家開始從量的方面來思考變化和變化率的問題。他們研究勻速運動、非勻速（變速）運動以及均勻性的非均勻運動（勻加速運動）。
當(dāng)時這一類問題的頂點是奧雷姆提出的圖線原理。關(guān)于這個問題他寫了《論均勻與非均勻的強(qiáng)度》（De Uniformitate et Difformitate Intensionum，約1350年）與《論圖線》（Tractatus de Latitudinibus Formarum，日期不詳）。為表示隨時間而變的速度，他用一水平線上的點代表時間，稱之為經(jīng)度；而不同時刻的速度則用縱線表示，稱之為緯度。為表示一個從O處為OA減到B處為零的速度，他畫出了一個三角形。他又指出由AB中點E所定的矩形OBDC與三角形OAB等面積，并表示在同一段時間內(nèi)的勻速運動。奧塞姆把物理變化同整個幾何圖形聯(lián)系起來，整個面積代表所論的變化，其中不牽涉到數(shù)值。
常有人說奧雷姆對提出函數(shù)概念，用函數(shù)表示物理規(guī)律以及函數(shù)的分類作出了貢獻(xiàn)。人們也常把創(chuàng)立坐標(biāo)幾何及函數(shù)的圖像歸功于他。事實上他的圖線是個含糊的觀念，至多是一種圖標(biāo)。雖然奧雷姆在圖線（latitudines formarum）名義下表示強(qiáng)度的方法是經(jīng)院哲學(xué)家試圖用于研究物理變化的一個主要技巧，也曾在當(dāng)時的大學(xué)里教給學(xué)生，并用之于修正亞里士多德的運動理論，但它對其后思想界的影響是不大的。伽利略確也用過這種圖形，但思想遠(yuǎn)為清楚，用意遠(yuǎn)為明確。又由于笛卡爾盡量避免提及前人，我們也不知道他是否受了奧雷姆思想的影響。
七、物理科學(xué)中的進(jìn)展
由于數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要依賴于人們對科學(xué)重新發(fā)生興趣，所以這里簡略列舉中世紀(jì)在科學(xué)方面的工作。
在力學(xué)方面他們采納了關(guān)于杠桿、重心以及阿基米德流體靜力學(xué)這些非?？扇〉南ＥD著作。他們最注重的是運動理論。
亞里士多德的理論有好幾處明顯說不通，早期中世紀(jì)科學(xué)家就想在亞里士多德學(xué)說體系的基本范圍內(nèi)解決這些疑點。例如，為說明落體何以會增速，13世紀(jì)的有些人士把亞里士多德關(guān)于重力的含糊概念，解釋成物體的重量會隨著其接近于地心而增加。有人懷疑亞里士多德關(guān)于速度等于力除以阻力這個基本定律是否正確。
14世紀(jì)中繼夏爾特爾學(xué)派之后的是巴黎學(xué)派，其領(lǐng)袖是奧雷姆和布里丹（Jean Buridan，約1300—1360）。為解釋物體受力后繼續(xù)運動，布里丹提出一個新理論——沖力理論。按照6世紀(jì)基督教學(xué)者菲洛波努斯（Philoponus）的說法，他認(rèn)為加到箭或拋射體上的動力是加到物體本身上的而不是加在空氣上的。這個沖力（而不是空氣的推動力），若無外力作用是能使物體永遠(yuǎn)保持勻速運動的。在落體的情形下，由于自然重力使原有沖力逐步獲得增量，所以沖力是漸次增大的。在上投物體的情形下（如拋射體），傳給物體的沖力因空氣阻力和自然重力而逐漸減小。天球有上帝給予沖力后就無需天上其他因素作用而保持其運轉(zhuǎn)。布里丹把沖力定義為物體的質(zhì)量與速度的乘積，用現(xiàn)代術(shù)語來講這就是動量。
有好幾方面的原因使這個新理論值得重視。布里丹把它應(yīng)用于天體運動和地面上物體的運動之后便將兩者合成一個理論。其次是這理論同亞里士多德的定律相反，它暗含著力改變運動而不單是維持運動的想法。第三，沖力概念本身是一大進(jìn)步，它把作用力從媒質(zhì)轉(zhuǎn)移到運動物體上，從而又使人能考慮沒有媒質(zhì)的真空。布里丹是現(xiàn)代動力學(xué)的奠基人之一。他的理論在他那個世紀(jì)以及其后兩個世紀(jì)中被人廣泛接受。
拋射體運動之所以這樣受人注意，也許是由于13世紀(jì)武器的改進(jìn)，弩炮、橫弓和長弓能把投射體拋過長的彎曲的路線，一個世紀(jì)以后又有了炮彈。亞里士多德說一個物體在一個時間內(nèi)只能在一種力的作用下運動，若有兩種力則一種力會破壞另一種力的作用。因此若將一物往上拋出，它將沿一直線運動，直到那“激發(fā)”運動消耗掉之后，物體就在天然運動下直落到地上。在對這理論進(jìn)行修正的各種學(xué)說中，約爾丹努斯·奈莫拉里烏斯提出的觀點是最有幫助的。他說依直線方向拋射出去的物體，其運動的每一刻所受之力可分解為兩個分力，一個是向下作用的自然重力，一個是水平拋射的“激發(fā)”力。這一思想以后為列奧納多·達(dá)·芬奇（Leonardo da Vinci）、斯蒂文（Simon Stevin）、伽利略和笛卡爾所接受。
布里丹和奧雷姆領(lǐng)導(dǎo)下的巴黎學(xué)派不僅考察勻速運動，而且接下去考察均勻性的非均勻運動（勻加速運動），并按他們自己認(rèn)為滿意的方式證明這種運動中的有效速度是初速和終速的平均值。13、14世紀(jì)力學(xué)上最有意義的工作也許在于他們力求引入定量的考察，并以定量的論證來代替定性的論證。
中世紀(jì)科學(xué)家的主要興趣在于光學(xué)方面。到1200年，光學(xué)上的一些基本定律都為人熟知，如光在均勻媒質(zhì)中的直線行進(jìn)、反射定律，以及托勒密的不正確的折射定律（他相信折射角正比于入射角）。還有關(guān)于球面鏡和拋物面鏡的知識，球面像差，針孔照相機(jī)，透鏡的用途，眼睛的功能，大氣折射現(xiàn)象，放大視像，這些都從希臘人和阿拉伯人那里傳到了歐洲。
史上第一張放大鏡原理圖（羅吉爾培根）
格羅斯泰特、羅吉爾·培根、維泰洛（Vitello，13世紀(jì)）、佩卡姆（John Peckham，死于1292年）和弗萊堡的泰奧多里克（Theodoric，死于約1311年），這些科學(xué)家都把光學(xué)推向前進(jìn)。他們根據(jù)光被透鏡折射的知識，定出了一些透鏡的焦距，研究了透鏡的組合，提出用透鏡組合來放大視像的意見，改進(jìn)了解釋彩虹的理論。13世紀(jì)中玻璃鏡的制造完善了，從1299年起有了眼鏡。維泰洛觀察到光在折射下的色散現(xiàn)象，就是說他讓白光通過六角形晶體產(chǎn)生出有色光。他又引導(dǎo)光通過一碗水來研究彩虹。光學(xué)繼續(xù)成為一門重要科學(xué)，我們以后將看到開普勒、伽利略、笛卡爾、費馬、惠更斯和牛頓都在這方面進(jìn)行工作。
在科學(xué)上也如在其他領(lǐng)域里一樣，中世紀(jì)只是專攻那些經(jīng)過時間考驗的權(quán)威著作。時代精神迫使人們遵循一向所信賴的、一成不變的、死硬的方法。中世紀(jì)后期學(xué)術(shù)工作的特點是尋求一種包括人間、自然界和上帝的普遍哲學(xué)。但這些工作充滿了這樣的缺點：思想不分明、神秘主義、教條主義以及咬文爵字地引述權(quán)威著作。
然而隨著世界情勢的逐步改變，人們?nèi)找鎻?qiáng)烈地發(fā)覺信仰和明顯事實之間的脫節(jié)和矛盾，并對學(xué)術(shù)和信仰需要修正看得越來越清楚。在伽利略演示經(jīng)驗的價值之前，在笛卡爾教導(dǎo)人們進(jìn)行內(nèi)省之前，在帕斯卡（Blaise Pascal）陳述關(guān)于進(jìn)步的概念之前，就有那些離經(jīng)叛道的思想家，主要是持異見的經(jīng)院派學(xué)者，打算沿著新的路線前進(jìn)，向舊有的觀念提出挑戰(zhàn)，要求比希臘人更多地依賴于對自然界的觀察。
作實驗（其部分目的是為尋求產(chǎn)生奇跡的秘方）和用歸納法來獲得一般原理和科學(xué)規(guī)律，開始成為知識的重要來源。雖然中世紀(jì)的主要科學(xué)方法仍然是根據(jù)一些先驗的原則，用一種形式的或幾何性的論證來做合理化的解釋。
數(shù)學(xué)對研究自然的作用也獲得某種承認(rèn)。雖然中世紀(jì)科學(xué)家總的說來仿照亞里士多德的做法尋求物質(zhì)上的或物理上的解釋，但這種解釋很難獲得而且用處不大。他們愈來愈體會到，從數(shù)學(xué)上對觀測數(shù)據(jù)和實驗事實進(jìn)行整理比較，然后核驗數(shù)學(xué)定律，做起來較為容易。
盡管有這些新的趨勢和活動，但如果讓中世紀(jì)的歐洲循著一條不變的道路繼續(xù)走下去，那它會不會產(chǎn)生真正的科學(xué)和數(shù)學(xué)，這是很值得懷疑的事。自由探討是不許可的。從1400年起就已存在的少數(shù)幾所大學(xué)是受教會控制的，那里的教授不能自由講授他們認(rèn)為正確的東西。如果說教會在中世紀(jì)并未禁止過什么科學(xué)學(xué)說，那只是因為當(dāng)時并沒有發(fā)表過新的重要學(xué)說。但若不論在哪方面發(fā)現(xiàn)有真正與基督教思想相抵觸的論調(diào)，那就會立即受到鎮(zhèn)壓，其殘酷與惡毒的程度在歷史上是空前的，而這種鎮(zhèn)壓大部分是由13世紀(jì)教皇英諾森三世（Innocent III）所創(chuàng)立的宗教裁判所來執(zhí)行的。
其他一些相對比較次要的因素也推遲了歐洲的變革。復(fù)活的希臘知識只能為少數(shù)既有時間又有機(jī)會來學(xué)習(xí)的學(xué)者所接觸。手稿很昂貴，許多人想要而得不到。此外，從1100年到1500年這段期間，歐洲分裂為許多獨立的公國、侯國、多少帶點民主色彩或寡頭政治性的城邦以及教皇控制下的國家。這些政治單位間不斷發(fā)生戰(zhàn)爭，耗盡了人民的精力。從1100年開始的十字軍戰(zhàn)爭糟蹋了數(shù)目難以想象的生命。14世紀(jì)下半葉的黑死病奪去了約占?xì)W洲三分之一的人口。但幸而革命力量已開始在歐洲的學(xué)術(shù)、政治和社會舞臺上發(fā)揮它的影響。
下一講文藝復(fù)興時期。
