2012年01月10日 20:49
“達(dá)·芬奇密碼”——黃金分割與分形幾何學(xué)
隨著電影《達(dá)?芬奇密碼》全球熱映，這本2004年風(fēng)靡全世界的小說在兩年后又一次席卷全球，成為人們談?wù)摰慕裹c(diǎn)。作者丹?布朗借用懸念疊生，跌宕起伏的情節(jié)，揭露了天主教會(huì)為了穩(wěn)固信仰根基，對(duì)歷史真相和人類信仰進(jìn)行無情的隱瞞和欺騙。小說借用偉人達(dá)?芬奇的幾幅傳世巨作，將暗含其中的歷史真相——耶穌妻子摸大拉以及耶穌血脈的故事展示給讀者，這些巨作隱含的驚天秘密，稱之為“達(dá)?芬奇密碼”。
小說中重點(diǎn)提到了一個(gè)廣泛存在于自然界的神秘比例——“黃金分割”，從開場(chǎng)盧浮宮館長(zhǎng)索尼埃臨死前留下的那一串斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21……，到他將身體擺成的維特魯維人圖案（圖2 左），從基督教認(rèn)為的“異教徒”符號(hào)，古老宗教中代表宇宙和諧之美 的五角星（圖2 右，相鄰線段間比例為黃金分割），到《最后的晚餐》中象征耶穌和摸大拉之間象征圣杯圖案的“V”子位置（圖2 中），都無一例外詮釋了“ 黃金分割”——這個(gè)大自然最為神秘的“達(dá)?芬奇密碼”。
一、無所不在的黃金分割
黃金分割是我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)平面幾何的時(shí)候就接觸到的知識(shí)。設(shè)線段AB 長(zhǎng)度為1，在上面取一點(diǎn)C 使得AC/BC = AB/AC ，C點(diǎn)被稱為線段AB的“黃金分割”點(diǎn)。
設(shè)AC 部分長(zhǎng)為X，則x/(1-x)=1/x，即x^2+x-1 =0 。解這個(gè)方程得：
x=(-1±√5)/2。因?yàn)閄>0，所以x=(-1+√5)/2≈0.618，1/x=(1+√5)/2≈1.618
這兩個(gè)數(shù)就是自然界普遍存在的“黃金分割”數(shù)。
《達(dá)?芬奇密碼》中反復(fù)提到的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特點(diǎn)為數(shù)列中每一項(xiàng)為前兩項(xiàng)之和，即
A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2
這個(gè)數(shù)列廣泛存在于自然界中。
樹枝上的分枝數(shù)，大多數(shù)花的花瓣都是斐波那契數(shù)列中的數(shù)：例如百合為3，梅花5，桔梗常為8，金盞花13…等等，玫瑰更是按著斐波那契數(shù)列由內(nèi)而外排列（上圖中）。斐波那契數(shù)列也出現(xiàn)在松果上。如上圖右，一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺旋線排列：一組呈順時(shí)針螺旋，另一組為逆時(shí)針螺旋，順時(shí)針螺旋的排列數(shù)目是８，而逆時(shí)針螺旋方向則為13。向日葵也是一樣（上圖左），常見的螺旋線數(shù)目為34 及55，較大的向日葵的螺旋線數(shù)目為89 及 144，更大的甚至還有144 及233，這些全都是斐波那契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的數(shù)值。
那么斐波那契數(shù)列和黃金分割有什么聯(lián)系呢？用數(shù)列中任意一項(xiàng)比上前一項(xiàng)，1/1 = 1，2/1 = 2，3/2 = 1.5, 5 /3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538……我們發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)越大，這個(gè)比值越接近黃金數(shù)1.618。下圖是計(jì)算機(jī)模擬分布的結(jié)果，綠線為黃金數(shù)1.618。
除了植物世界外，在動(dòng)物世界甚至我們?nèi)梭w本身中，黃金分割更是不斷地出現(xiàn)。從外觀上看大多出現(xiàn)在動(dòng)物的形體中。
如下圖，人四肢后肢與前肢的比，身高與肚臍到腿之間距離的比，甚至手指每一節(jié)骨頭與后面一節(jié)骨頭的比，都接近黃金數(shù)1.618。芭蕾舞演員顛起腳尖跳舞，就是為了讓身體的比例更接近黃金分割。小說中提到的達(dá)?芬奇作品《維特魯維人》（見圖2）就是他嚴(yán)格按照人體的黃金分割比例繪制成的。
黃金分割在自然界和人體中如此廣泛地存在，因此成為人類潛意識(shí)中的審美標(biāo)準(zhǔn)，成為了人類藝術(shù)的寵兒。繪畫和照片中如果把主要景物放在黃金分割位置，將給人一種最美的視覺感受。從古至今許多建筑有遵循著黃金分割的規(guī)律，包括金字塔的斜面三角形高與底面半邊長(zhǎng)之比，雅典神廟和巴黎圣母院的外觀，甚至像東方明珠一樣許許多多電視塔的觀光層位置，都利用黃金分割比給人以美的享受。
細(xì)心的讀者也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，黃金分割有一種幾何上的自相似性，部分與部分的比等于部分與整體的比，等于整體與更大整體的比……20 世紀(jì)70 年代，數(shù)學(xué)家曼德勃羅（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念，用來描述自相似性，并首先引入了“分?jǐn)?shù)維”的概念。
二、分形幾何學(xué)
分形概念最早出現(xiàn)于Mandelbrot 對(duì)海岸線測(cè)量問題的研究中。
對(duì)于謀國(guó)家海岸線這種不規(guī)則圖形，如果選取的測(cè)量尺度不一樣，測(cè)量結(jié)果將相差甚遠(yuǎn)。當(dāng)選擇測(cè)量尺度很大時(shí)，細(xì)小的地方?jīng)]有測(cè)量，得到的值會(huì)比較小。而用小尺度測(cè)量，得到的結(jié)果會(huì)大得多。用的尺度越小，得到的值將越大。也就是說，現(xiàn)實(shí)中這種復(fù)雜的不規(guī)則邊界的圖形，沒有準(zhǔn)確的周長(zhǎng)。隨著測(cè)量尺度的減小它的周長(zhǎng)將趨于無窮。如果這種不規(guī)則邊界呈現(xiàn)出一種小尺度和大尺度相似的特征，并且無限細(xì)分下去都存在這種自相似性，我們稱這種幾何形狀為“分形 ”。下圖是最典型的分形——Koch 曲線，
Koch 曲線就是在一個(gè)等邊三角形一條邊上截取中間1/3 邊長(zhǎng)，生成新的等邊三角形，然后一直一層一層無限生成下去。
定量描述分形結(jié)構(gòu)，需要引入“分?jǐn)?shù)維”這個(gè)超越人類整數(shù)維思維的概念。我們知道，線的維度是一維，平面維度為二維，立體為三維，物理學(xué)中最有希望統(tǒng)一所有 基本粒子及其相互作用的理論——超弦理論需要在更高維度的空間中建立，我們暫且不去討論它。
就維度性質(zhì)而言，1 維相對(duì)于2 維來說，是在一個(gè)維度上與其相同，在另一個(gè)維度上值為無限小，。因此在2 維平面內(nèi)無限區(qū)域一條無限長(zhǎng)的直線，他的維度是1。同理如果2 維平面內(nèi)一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)一條線的維度為1，它必須是一個(gè)有限長(zhǎng)的線段，這樣才能保證它另一個(gè)維度值為無限小。那么如果一條無線長(zhǎng)的線束縛在平面上一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)，另一個(gè)維度的值不再是無限小，它的維度將大于1，但是這條無線長(zhǎng)的線并沒有填滿一個(gè)平面，因此它的維度也小于 2，一維分形就是這樣一個(gè)束縛在有限平面區(qū)域內(nèi)無限長(zhǎng)的線，它的維度是介于1 和2 之間的分?jǐn)?shù)維度。
分形維度計(jì)算法則：
一、倍形法
這是計(jì)算分形維數(shù)一個(gè)最簡(jiǎn)單有效的方法，讀者可以利用它來計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單規(guī)則的分形維數(shù)。另S 為分形的一個(gè)層次結(jié)構(gòu)單元邊長(zhǎng)，ε為上一層次分形結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度和S 的比值，若令上一層次邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度1，則ε＝1/s， N（ε）為層次分形結(jié)構(gòu)內(nèi)包含邊長(zhǎng)S 層次結(jié)構(gòu)單元的數(shù)目。
那么分形維度的計(jì)算公式為：D=log(N(ε))/log(ε)
如下圖，實(shí)心平面和立體無論如何分割，帶入這個(gè)公式計(jì)算結(jié)果都是2 和3。而空心（即沒有填滿整個(gè)平面）的分形結(jié)構(gòu)會(huì)得到分?jǐn)?shù)維。
二、取格法（盒子維度）
這種方法適用于各種復(fù)雜不規(guī)則的分形圖形，但是一種近似的數(shù)值方法。其思想類似于有限元分析，將分形所在的平面分割成眾多的小格子，令整個(gè)大平面維單位平 面，S 為小格子邊長(zhǎng)，ε為ε＝1/s， N（ε）分形圖案占據(jù)的小格子數(shù)。
那么分形維度的計(jì)算公式為：D=log(N(ε))/log(ε)
隨著S 的減小，即格點(diǎn)數(shù)選取的越多，Ds 越接近于分形實(shí)際的分?jǐn)?shù)維度。
如果是一維線段，則顯而易見隨著格點(diǎn)數(shù)目的增加線段占據(jù)格點(diǎn)數(shù)N（ε）于ε的比趨近于零，Ds 趨近于1。如果圖形占據(jù)了所有小格子，那么它自然占據(jù)了所有平面，是二維。一個(gè)分形結(jié)構(gòu)自然不會(huì)占據(jù)平面內(nèi)所有小格，隨著格子取得越小，N（ε）與ε的比會(huì)趨近某一個(gè)特定值。
關(guān)于二維分形結(jié)構(gòu)（即有限空間區(qū)域內(nèi)無限面積的幾何面），其分?jǐn)?shù)維數(shù)位于整數(shù)2 和3 之間，可以同樣利用以上兩種計(jì)算方法來計(jì)算其維度。
三， “黃金分割”的分形解密
科學(xué)家們經(jīng)過廣泛計(jì)算，發(fā)現(xiàn)自然界的一維分形維度大多集中在1.6—1.7 附近，這讓人很自然想起神秘的黃金分割率“1.618”。理論上講，一維分形分?jǐn)?shù)維度可以有無窮多個(gè)取值，但自然卻唯獨(dú)偏愛這些近似黃金分割的這些取值， 這跟黃金分割本身又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？
黃金分割實(shí)際上是一種特殊的自相似結(jié)構(gòu)，如果把一條線段AB 連接上它的黃金分割線段BC=0.618…×AB 排列，BC 再連接 CD＝0.618…×BC，無限下去，用等比數(shù)列求和公式很容易證明，線段的總長(zhǎng)度為AB 乘上黃金分?jǐn)?shù)，即1.618…×AB。黃金分割充分體現(xiàn)了部分 和整體“依次排列”的自相似性。
如下圖，這種長(zhǎng)邊與短邊比值是黃金數(shù)1.618…的矩形稱為黃金矩形，是黃金分割自相似性最好的體現(xiàn)。矩形內(nèi)截取掉一個(gè)正方形，剩下的小矩形仍然為黃金矩形。依次無限截取下去，會(huì)獲得鄰近邊長(zhǎng)比為黃金數(shù)，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果將這些正方形內(nèi)的1/4 圓弧連接起來，會(huì)構(gòu) 成一個(gè)平滑的自相似螺旋，即黃金螺旋。
如圖，黃金螺旋便是一個(gè)典型的一維分形，我們大致計(jì)算一下它的分形維度。用上節(jié)提到的取格法，將黃金矩形分成8×8＝64 個(gè)小的黃金矩形。一般情況下自然界的黃金螺旋有一定粗細(xì)，上面有更細(xì)微的分形結(jié)構(gòu)，基本能占滿它所經(jīng)過的小格，因此將包含黃金螺旋和與之相切的方格都納入其中，數(shù)得，N（ε）＝29，因此有一定粗細(xì)的黃金螺旋分形維度為
log 29/log8=1.619327....，很接近黃金數(shù)1.618。
生物界中螺旋形狀大多為近似的黃金螺旋——如海螺殼，海馬的尾巴，植物葉子，花和果實(shí)表面排列等等。
通過研究海螺發(fā)現(xiàn)，用一條直線穿過它的螺旋中心，這條直線上它的螺旋相鄰圈粗細(xì)比值很接近黃金分割（如圖11 左下）。
那么為什么自然界中的螺旋傾向于選擇黃金螺旋呢？我們從圖10 的黃金矩形出發(fā)，將黃金矩形每一個(gè)小矩形沿對(duì)角線向外移動(dòng)1/2 個(gè)邊長(zhǎng)，依次類推，如圖12，這些黃金矩形會(huì)圍成一個(gè)基本填滿平面區(qū)域的螺旋，例如圖中紅矩形和藍(lán)矩形之間的距離很小。有興趣的讀者不妨畫圖證明，任何其他矩形以這種方式自相似排列，都會(huì)重疊或者在平面上留下很大縫隙。只有黃金矩形會(huì)趨向于排滿平面。
圖12 中黃金矩形的排列可看成黃金螺旋的離散化，如果將其收縮邊緣連續(xù)起來，就會(huì)出現(xiàn)海螺的那種布滿整個(gè)平面區(qū)域的黃金螺旋。也就是說，只有黃金螺旋這種“依次排列”的自相似才會(huì)占滿平面區(qū)域。
看到這里的讀者請(qǐng)伸出自己的左手與紙面垂直，然后握拳，看一下你的食指圍成的螺旋是不是和圖12 很像？人體眾多骨骼之所以被各個(gè)關(guān)節(jié)黃金分割，正是由于這些骨骼能夠圍成這種螺旋形狀。
見圖5，人體處于黃金分割的關(guān)節(jié)都是能夠蜷縮的位置，如手指骨節(jié)，肘部，膝蓋，頸部，腰腹等等（身體蜷縮時(shí)候，蜷縮點(diǎn)位于人體黃金分割——肚臍處），許多哺乳動(dòng)物關(guān)節(jié)都具有這種特點(diǎn)，這都是生物經(jīng)過幾十億年進(jìn)化的結(jié)果，能讓身體和四肢完全地蜷縮來抓住東西和自我保護(hù)，因此生物界選擇了這種沒有縫隙的蜷縮——黃金螺旋。
如下圖，將一個(gè)圓周進(jìn)行黃金分割，它的短弧所對(duì)應(yīng)的角度成為“黃金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5°
將黃金螺旋上取距離相等的一系列點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)于點(diǎn)連線之間的夾角(發(fā)散角)都為黃金角。
下圖計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果可看出，發(fā)散角為137.4°和137.6°的螺旋都無法填滿平面，而恰好發(fā)散角為137.5°的黃金螺旋可以填滿平面，做到點(diǎn)于點(diǎn)之 間距離相等。向日葵和菊花（圖3 與圖11）都滿足這樣的排布，這樣可以使單位面積內(nèi)花瓣或種子排列數(shù)目最多。
除了黃金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黃金分割原則，其分形維數(shù)也很接近黃金數(shù)1.618… 如數(shù)的生長(zhǎng)。按照黃金分割比例生長(zhǎng)樹枝和樹葉，會(huì)使單位面積接收到最多的陽光，其原理與黃金螺旋相似，即能夠布滿平面的分形結(jié)構(gòu)。
從上面幾個(gè)例子的分析可以看出，“黃金分割”這種分形是生物進(jìn)化的一個(gè)“極值”，是生物界自然選擇的結(jié)果。目前的研究發(fā)現(xiàn)，不僅僅是生物界，在自然界很多領(lǐng)域都存在這種自相似倍數(shù)為黃金數(shù)的分形，諸如一些準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，高分子，太陽系間行星距離，海浪漩渦等等，都是黃金螺旋分形。
分形是研究復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)起始點(diǎn)，復(fù)雜性科學(xué)自上世紀(jì)70 年代誕生以來，經(jīng)歷了蓬勃的發(fā)展。從分形幾何學(xué)到非線性動(dòng)力學(xué)，再結(jié)合信息論，系統(tǒng)論和控制論，復(fù)雜性科學(xué)正逐漸超越“還原論”成為現(xiàn)代科學(xué)的主流。一個(gè)復(fù)雜自適應(yīng)系統(tǒng)（如軟物質(zhì)，生物體，社會(huì)模型等等）必然存在更多的自相似性，黃金分割的比例也會(huì)在其中發(fā)揮更重要的作用。這個(gè)世界有更多的“達(dá)芬奇密碼”依然在那里等待著人類去破解，讓我們拭目以待。
