細心的讀者也許注意到了，在介紹歐幾里得與《幾何原本》時，有一條也許是整部《幾何原本》中最吸引眼球的命題未曾展開說明，那便是大名鼎鼎的“公設5”——也即第五公設。不過當時說過“不久之后會有單獨介紹”，現(xiàn)在就讓我們兌現(xiàn)許諾，來介紹一下第五公設及對它的探索。為避免偏離時間順序太遠，我們的介紹將只涵蓋早期探索—確切地說，是所謂非歐幾何誕生之前的探索。至于非歐幾何，則將留作未來話題。
第五公設之所以引發(fā)探索，在一定程度上是拜五條公設的表述繁簡之別所賜。為了看清這一點，我們將《幾何原本》中的五條公設羅列于此：
1. 在任意兩點之間可作一直線。
2. 線段（有限直線）可任意延長。
3. 以任意中心及任意距離（為半徑）可作一圓。
4. 所有直角彼此相等。
5. 若一條直線與兩條直線相交，且同側的內角之和小于兩直角，則那兩條直線任意延長后會在內角之和小于兩直角的一側相交。
既然羅列了公設，那么順便說明一下，《幾何原本》對公設的表述有一些細節(jié)上的瑕疵。比如有些隱含之意未被述及。具體地說，公設1沒有述及在任意兩點之間可作的直線是唯一的，公設2沒有述及線段延長的方式是唯一的，第五公設未述及三條直線位于同一平面這一先決條件。此外，同時使用“直線”和“有限直線”這兩個術語，似乎意味著“直線”是無限的，其實卻不然—否則就不會有第五公設中“兩條直線任意延長”的說法了。
但撇開瑕疵不論，任何讀到上述五條公設的人幾乎必然會注意到的一個特點是：第五公設與前四條公設相比實在太繁復了，簡直就像一條定理。雖然從邏輯上講，公設（以及公理和定義）無非是一個公理體系的推理起點，繁復與否并不妨礙功能。但自古以來，對公設（以及公理）的一個重要判據(jù)就是自明性—或者用亞里士多德的話說，必須是明顯為真卻無法證明的命題，而表述繁復會損及自明性。
第五公設是歐幾里得幾何（平面幾何1）與非歐幾何（球面幾何2、雙曲幾何3）的分野：在球面幾何（又稱黎曼幾何）中，過直線外的任意一點沒有直線能與之平行；在雙曲幾何（又稱羅巴切夫斯基幾何）中，過直線外的任意一點至少有兩條直線與之平行。
第五公設的情形正是如此。
這一點引起了很多后世數(shù)學家的批評乃至不滿。比如17世紀的英國數(shù)學家亨利·薩維爾（Henry Savile）和18世紀的意大利數(shù)學家喬瓦尼·薩凱里（Giovanni Saccheri）都表示，第五公設是除此之外堪稱完美的幾何公理體系的唯一瑕疵。
不過，對第五公設的批評或不滿雖很普遍，但除了從類似芝諾悖論的角度出發(fā)的極個別質疑者外，早期探索者們大都認同第五公設作為命題的正確性，只是對它是否該被列為公設懷有疑慮。比如公元5世紀的希臘哲學家普羅克洛斯（Proclus）就表示，第五公設的結論是可信的，只是“應該從公設中剔除出去，因為它是一條困難重重的定理”—這也是幾乎所有早期探索者的共同判斷。
那么，除了表述繁復損及自明性這一泛泛觀感外，普羅克洛斯作出這樣的判斷有沒有更具體的理由呢？答案是肯定的。主要的理由有兩條：一是第五公設的逆命題和否命題的表述繁復程度與第五公設相若，卻都是定理——前者是命題17，后者是命題27和28；二是普羅克洛斯認為自己能證明第五公設。
普羅克洛斯的這兩條理由在早期探索者中有很大的代表性，下面我們就以這兩條理由為線索，來介紹一下對第五公設的早期探索。
先說說第一條理由。這條理由是推測性而非證明性的—因為逆命題和否命題跟原命題并不等價，因此，即便逆命題和否命題都是定理，也并不能證明原命題也是定理，甚至連原命題是否成立都不能保證。盡管如此，這種推測性的理由對于引導—或引誘—人們懷疑第五公設的公設地位，進而展開探索卻有一定的推動作用。這種推測性的理由除普羅克洛斯給出的這一條外，其他人也提出過。比如很多人注意到了第五公設在《幾何原本》中直到證明命題29時才被使用，比其他公設的使用晚得多。具體地說，公設1和公設3在證明命題1時就被使用，公設2在證明命題2時就被使用，公設4雖較晚，直到證明命題14時才被使用，跟第五公設相比仍早得多。這一情形使很多人猜測歐幾里得本人對第五公設的公設地位也有疑慮，因而盡可能延遲了它的使用。
不過若對《幾何原本》第1卷的命題作更細致的分析，針對所謂“延遲使用”的上述解讀就會削弱許多。因為《幾何原本》第1卷對命題似乎有一定的分類，體現(xiàn)在命題1～26多為有關簡單作圖及三角形簡單性質的命題，直到命題27開始才涉及平行線及其性質（此后很快便在證明命題29時使用了第五公設）。因此，假如歐幾里得在命題編排上存在分類方面的考慮，也會造成第五公設被延遲使用的情形，那樣的延遲就未必有其他深意。事實上，在稱得上現(xiàn)代版《幾何原本》的德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）的名著《幾何基礎》中，平行公理（即“第五公設”的現(xiàn)代名稱）的使用甚至比《幾何原本》更晚，直到證明命題30時才被使用，那便純系命題分類所致（希爾伯特將平行公理安排為第4組公理，“出場”次序亦由此而定），而并無其他深意。從這個角度看，僅僅因延遲使用而猜測歐幾里得對第五公設的公設地位有所懷疑，不是很有說服力。
不過另一方面，雖然所謂延遲使用未必有深意，但確實有其他跡象顯示歐幾里得有可能并不是一開始就將第五公設視為公設的，因為在《幾何原本》的某些抄本中，第五公設未被列為公設，而是作為一個普通命題出現(xiàn)在命題29之前。假如這些抄本源自歐幾里得本人的早期版本，那么就有可能意味著歐幾里得曾一度將第五公設的內容視為普通命題，后來，多半是因無法證明才改列為公設。若如此，這或許也解釋了第五公設的表述為何像一條定理（不過對這一點，后文會提到一條也許更有可能的理由）。同時，它直到證明命題29時才被使用也就確實沒什么深意了，因為作為普通命題時就是被安排在那個位置上的。當然，這些都只是猜測。
也許，懷疑第五公設的公設地位的最有力理由，歸根到底還是表述繁復損及自明性這一泛泛觀感。事實上，哪怕持其他理由的人，恐怕也是首先被第五公設的表述繁復引起了疑心。我曾經設想：倘若歐幾里得對第五公設的表述不是那么繁復，而代之以等價表述之一的“普萊費爾公理”（Playfair′s axiom），即“過直線外的任意一點只有一條直線與之平行”，也許第五公設就不會那么吸引眼球，從而也不會引發(fā)那么多探索了。不過，在數(shù)學史來看，對第五公設的探索導致了非歐幾何的誕生，對數(shù)學乃至物理學的影響都極其深遠。從這個角度講，第五公設的繁復可謂“勞苦功高”，而且這功勞在很大程度上可歸于歐幾里得。因為《幾何原本》的很多內容雖來自前人，第五公設的這一繁復表述卻與歐幾里得之前的所有已知著述存在顯著差別，從而被認為是出自歐幾里得本人的。僅此一條，歐幾里得就可躋身大幾何學家的行列。
荷蘭藝術家埃舍爾的版畫《圓極限III》，體現(xiàn)了雙曲幾何的特征，其中的每一條曲線都是曲面上的直線。
但是，歐幾里得為何采用如此繁復的表述呢？如今只能猜測了。上文已提到過一種可能的解釋，一條也許更有可能的理由則是：“過直線外的任意一點只有一條直線與之平行”是不能在有限范圍內確認的，因為無論檢驗過多大的范圍，兩條看似平行的直線都仍可能會在檢驗范圍之外相交。而歐幾里得的表述所著眼的“相交”則可在有限范圍內確認，從而可避免觸及無窮這一概念。在歐幾里得時代，乃至在有關無窮的嚴密框架問世之前的所有時代，避免觸及無窮都是規(guī)避邏輯困境和詰難的有效途徑。有些數(shù)學史學家及哲學家甚至認為，整個古希臘數(shù)學大體上都是奉行有限主義，或起碼是排斥所謂“實無窮”的。不僅如此，有限主義哪怕在現(xiàn)代數(shù)學哲學中也不乏追隨者。
因此，歐幾里得有可能是出于古希臘數(shù)學所奉行的有限主義而將第五公設表述得如此繁復。當然，這僅僅是猜測。
以上是由普羅克洛斯的第一條理由引出的介紹，接下來再談談他的第二條理由——即“認為自己能證明第五公設”。這種“認為自己能證明第五公設”的感覺可以說是早期探索的真正主宰，由此引發(fā)的是數(shù)學史上歷時最久的努力之一：“證明”第五公設。從歐幾里得時代算起，直到因非歐幾何的誕生而塵埃落定，這一努力跨越了兩千多年的時間。與之相比，曾經是猜想或依然是猜想的哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想、費馬猜想、四色猜想、黎曼猜想等都只能算“小年輕”了。
在下篇中，我們將介紹幾個有代表性的“證明”。這些“證明”不僅是對歷史的一種勾畫，而且也揭示了歐幾里得幾何的某些重要性質。
