“點”與“線” |
| 楊書惠 |
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歐幾里得編著的《幾何原本》描繪了過直線外一點僅有一條平行線（平行公設(shè)）的空間，也是我們在初高中學(xué)習(xí)的空間。《幾何原本》以五條公設(shè)（適用于一切科學(xué)的真理）和五條公理（應(yīng)用于幾何的真理）為地基，借助嚴(yán)密的邏輯推理構(gòu)建出一座結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、宏偉壯觀的摩天大廈。首先，歐幾里得使用公理和公設(shè)推出初級的定理，再用初級定理和公理、公設(shè)推出更高級的定理，再推出更更高級的定理……如此，一步一步帶領(lǐng)無數(shù)人走向幾何的圣殿。前四條公設(shè)都非常簡潔優(yōu)雅，比如從任意一點到任意一點做直線是可能的（第一公設(shè)）。第五公設(shè)（平行公設(shè)）看起來并不是那么的顯然，所以歐幾里得在前28個命題的證明里都避免使用它。（幾何原本中有上百個命題，按照順序排列，最前面的等級低一些，前28個只用四個公設(shè)就可以證明。）更為可靠的做法是，像證明定理那樣證明第五公設(shè)。然而，他沒有找到證明，于是就直接接納了。
第五公設(shè)讓數(shù)學(xué)家們?nèi)珲喸诤?。不幸的是，許多數(shù)學(xué)家在證明第五公設(shè)的道路上折戟沉沙。其中一個思路是：將第五公設(shè)的反面作為新的第五公設(shè)開始推演幾何學(xué)。如果得到矛盾則第五公設(shè)的反面不靠譜，即第五公設(shè)是正確的。但是數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)沒有矛盾存在，最終接受了它，并形成了全新的幾何。雙曲幾何中存在兩條過直線外一點，與已知直線平行的直線。橢圓幾何中不存在這樣的直線。
橢圓幾何視覺化后，“點”是由球的一條直徑的兩個端點組成。“線”是球上以球心為中心的大圓。而在歐幾里得的《幾何原本》中，定義點是“沒有部分的那種東西”，線是“沒有寬度的長度”。它如此符合目之所見，以至于人們將它奉為圭臬，排斥一切與它不一樣的東西。在構(gòu)建歐幾里得幾何體系的時候，我們想當(dāng)然地將“點”“線”與現(xiàn)實中的“圓點”“直線”聯(lián)系起來，而忽略了在符號系統(tǒng)中它們僅僅只是符號而已。
實際上，如果將歐幾里得幾何中的詞語“點”全部替換成“魔鬼”，“線”全部替換成“國王”，我們?nèi)匀荒軌虻玫皆瓉淼哪莻€體系，邏輯推理絲毫沒有受到影響。只不過我們的想象受到了嚴(yán)重的阻礙。我們會疑惑“魔鬼”是什么？命題“在給定的國王上做一等邊三角形”是什么意思？為了讓自己的大腦能夠思考，我們將“魔鬼”賦予“點”——那種“沒有部分的東西”的意義，而徹底放棄思考它是否還有其他的意義。這導(dǎo)致了發(fā)現(xiàn)非歐幾何是一個痛苦的過程，因為最開始定義的東西并不一定是我們看到的東西。
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