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　　科學家克萊因說：“唱歌能使你煥發(fā)激情，美術能使你賞心悅目，詩歌能使你撥動心弦，哲學能讓你增長智慧，科學能使你改變物質(zhì)生活，但數(shù)學能給你以上的一切?！?/section>

　　數(shù)學本身是靜止的，可是當一個師者用全身心在思索它時，它就變得動起來，而學科的生命便由此而誕生了！

這時我們問：

一

數(shù)學是什么？學生的數(shù)學學習成長需要什么？

　　數(shù)學課不等于數(shù)學，數(shù)學課本也不等于數(shù)學！

　　一道出給小學一年級學生的數(shù)學判斷題：“黑板是長方形的?！焙⒆拥拇鸢甘牵簩?。而老師的答案卻是：這道題是錯的，因為黑板有厚度，應該是長方體。

　　為什么會有兩種截然不同的看法？

　　當孩子的認知體系只有平面圖形時，會說：黑板是長方形的；而教師的認知體系是平面圖形與立體圖形皆有的，而且已經(jīng)明確了它們的區(qū)分，因此認為黑板是長方體的。

　　作為一名數(shù)學老師，如何處理此類題？我們要問：

　　(1)這個數(shù)學題背后，學生的知識背景是什么？在一年級上冊的數(shù)學教材第4單元《認識物體與圖形》，分為兩部分內(nèi)容：其一是立體圖形的初步感知與認識，其二是平面圖形的初步感知與認知。而在這兩部分內(nèi)容的感知中，其實更在于引導孩子感受它們之間的不同：平面圖形摸起來平平的，而立體圖形里藏著好多個平平的面。

　　(2)在學生的數(shù)學學習成長中真正需要的是什么？當孩子有了上面的知識體系做支撐時，再來讓他們說出自己的判斷思考時，其實這個思考過程呈現(xiàn)的不僅是答案，更是對數(shù)學的一種思考與體驗，更是數(shù)學思維的外顯——這難道不就是學生在數(shù)學學習成長中真正需要的嗎？

　　而此時，我們?nèi)绾螢樗麄兊臄?shù)學思維提供一個呈現(xiàn)的舞臺與時空呢？或許是課堂，或許是家庭，或許是……但終歸有一點，那就是我們的視野與關注點。

數(shù)學是什么？

　　當數(shù)學是一種學習方法時，我們會引導學生：在辯證的認識中，體會知識的內(nèi)涵與特性，那就是：平面圖形只有一個面，而立體圖形是有幾個面的……此時，學生的感受是數(shù)學很神奇，數(shù)學知識之間有聯(lián)系；

　　當數(shù)學是一種嚴謹時，我們會引導學生比較這樣的兩句話：“黑板的面是長方形的”與“黑板是一個長方體”，前者的落腳點在“面”，后者在一個“物體”。此時，學生的感受是數(shù)學語言的奇妙以及對數(shù)學認識的變化；

　　當數(shù)學是一種由“誤”到“悟”的學習過程時，我們會引導學生：先呈現(xiàn)自己的最初思維，進而引發(fā)學生之間的思維產(chǎn)生碰撞，在碰撞中完善認識。此時，學生的感受就是數(shù)學是一個研究的過程，而不僅是答案；

　　當數(shù)學是由一道題到一類題到一門學科時，我們會悄然發(fā)現(xiàn)其更有價值的東西。怎樣在同一件事上，讓學生更多地感受到它們的價值呢？——利導因素的挖掘與開發(fā)，讓學生的感悟因經(jīng)歷而更豐實，讓學生的視野應思維而改變。

二

數(shù)學課應是什么樣子的？學生是怎么學習數(shù)學的？

　　“4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3,12=7+5……那么，是不是所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和呢？”這就是著名的哥德巴赫猜想。

　　這樣的觀察、發(fā)現(xiàn)，這樣的大膽質(zhì)疑，被稱為數(shù)學王冠上的明珠，這會離我們的學生很遙遠嗎？讓我們的學生在實例中真正感悟：“我們每個人都有數(shù)學家的潛質(zhì)，數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造并不難！”

　　基于這樣的思考，如何引爆學生們隱藏著的“哥德巴赫猜想”潛質(zhì)，讓學生的數(shù)學思維敢于原生態(tài)地呈現(xiàn)——對“數(shù)學課是什么”的再思考。

　　曾經(jīng)思考過這個問題，但是隨著時間的流逝、在學科教學中的思考，對不同階段學生的學習情況、對在數(shù)學領域的再學習、對在數(shù)學教育中的淺層次研究……對“數(shù)學課是什么”的解讀是不一樣的。

　　1．數(shù)學課應該就是學生數(shù)學學習的過程，應該是一個由“誤”到“悟”的過程。

　　不同層次學生對新知識的第一感知思維的外顯；在外顯過程中，學生思維在發(fā)生不同的碰撞（或教師有意識地制造知識的沖突），讓學生在碰撞與沖突中，不斷地相互完善、補充，是將知識點體系化的一個過程，或許這樣的過程會花掉課堂相當一部分的時間，但是這難道不就是我們所真正追求的學生數(shù)學學習的過程嗎？

　　因此，數(shù)學課應該就是學生數(shù)學學習的過程，應該是一個由“誤”到“悟”的過程。

　　2．應該是一個從內(nèi)隱的數(shù)學思維到外顯的數(shù)學語言的呈現(xiàn)過程。

　　3．應該是數(shù)學知識點到數(shù)學學習方法的一個過程。

　　4．應該是一個對數(shù)學本體知識的縱向挖掘與橫向變式拓展，同時又是一個完整數(shù)學知識體系的建構過程，立體化的感知過程。

　　反思以往的數(shù)學課堂：是想培養(yǎng)“被動式的吸收習慣”還是想“引爆”隱藏著“哥德巴赫猜想”的潛質(zhì)？

　　特別害怕呈現(xiàn)學生那初始的、不完善的，甚至是錯誤的數(shù)學思維，更多的是直接呈現(xiàn)正確的數(shù)學內(nèi)容，可是引發(fā)我們思考的是：當學生們的第一思維、原始思維，長期無法呈現(xiàn)時，他們就會養(yǎng)成一個“被動式的吸收習慣”，而這個習慣將導致的是扼制了“由已有數(shù)學知識到創(chuàng)生新的數(shù)學知識”的過程，他們習慣了學，而習慣了不再思考：為什么會有這些數(shù)學知識的產(chǎn)生？當時這些數(shù)學家們是怎么想到這些數(shù)學知識的？我能否也像他們一樣，在已有數(shù)學知識的基礎上進行數(shù)學猜想、驗證、探索到新的數(shù)學秘密呢……

　　每一個數(shù)學老師，都不敢否認的是每一個學生都隱藏著“哥德巴赫猜想”的潛質(zhì)，關鍵是您是否朝著這個方向去“引爆”他們的潛質(zhì)！

三

數(shù)學教育的終極目標是什么？

　　都說，眼界決定境界，文化力是創(chuàng)造力的源泉，視野開拓思維。作為一個數(shù)學老師，怎樣來為學生的可持續(xù)的數(shù)學學習發(fā)展搭建平臺呢？——數(shù)學閱讀。跳出數(shù)學課本，看數(shù)學世界，他們將會有怎樣的精彩？

　　其實，目前學生內(nèi)儲的數(shù)學語言是相當少的，在數(shù)學學習的最高層次是能“說數(shù)學”，而這恰恰是學生最為害怕的，那么如何讓學生在潛意識中學習“說數(shù)學”？

　　指導學生進行數(shù)學閱讀，由學生自己來選數(shù)學閱讀的讀物，選擇的前提是：它們一定能夠讓自己特別感興趣、特別想看！

　　不同層次學生所選擇的不同閱讀書目類型，對其數(shù)學學習起到了什么作用？（對數(shù)學的興趣、數(shù)學的認識、數(shù)學的應用、數(shù)學的表達、數(shù)學的思維、數(shù)學的學習方法）

　　數(shù)學閱讀進行一個階段的最明顯的效果是：學生在數(shù)學“說理題”上異樣精彩。比如：(1+2+3+4+5+6+……+99)+100+101的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？請寫出理由。

張縉：(1+2+3+……+99)+100+101=4950+ 100+ 101 =5151

陳偉健：1+100=101 2+99=101 ……101×51=5151

牛藝菲： (1+101)×101+2=5151

鐘麗燕：是奇數(shù)。因為從1加到99共有49個100，那就是偶數(shù)，49個100加上50和100正好是5050。5050+101=5151，所以是奇數(shù)。

溫思海：(1+100)+(2+99)+(3+98)+……(50+51) =50×101=5050, 5050+101=5151,答：它們的和是奇數(shù)。在數(shù)學課外讀物上，看過高斯解過類似的題。

雷幼麗：是奇數(shù)。因為頭尾兩個數(shù)相加會拼成一個整十、整百的數(shù)，然后把101里的1加起來：1+2+3……+10=(1+9)+(2+8)+……+10+5=55，從1-101里一共有10組個位上是1，2，3…… O，那么55×10=550，550+1 =551，所以是奇數(shù)。

　　與學生一同閱讀《數(shù)學是怎樣學好》時，我在想，怎樣的學生會給自己選擇這樣一本數(shù)學讀物？學生在看到這本數(shù)學讀物時，能否看懂？看懂了哪些？不懂的，留給他的又是什么（是一種好奇、疑問、再思索……）?而這本讀物的思想、理念又將在這個學生的數(shù)學成長過程中，播撒下些什么？播撒下的這些，將伴隨他的數(shù)學學習生長嗎？沒有讀過這本讀物的學生與讀過的又將在日后的成長中有什么區(qū)別？

　　教育價值如何最大化？——其實一個數(shù)學老師，在有限的時間里，能夠教給學生的是僅有的一些數(shù)學知識，那么如何在有限的時間里讓學生最大化地學習？——學科的閱讀，它將呈現(xiàn)的是不同的視野，它永遠不會有時空界限！

　　問題往往是從簡單開始的，一個簡單得不能再簡單的問題，一問“為什么”，就會令人瞠目結舌。其實當你領略到多種多樣的數(shù)學之美，感受到數(shù)學給你的震撼，就一定能學會數(shù)學，能夠陶醉在美中，并輕松駕馭它！

　　可見，不拘泥于課本——數(shù)學的魅力是無窮的，但通過課本體現(xiàn)出來的卻是微乎其微。多讀科普性讀物，不僅能開闊視野，而且可以提高對數(shù)學的興趣。

　　在數(shù)學閱讀的時空里，它給我們打開一個窗口，讓我們領略數(shù)學的博大精深和廣闊用場；給我們一雙數(shù)學家的慧眼，豐富我們觀察世界的方式；給我們一顆好奇心，點燃我們心中的求知欲望；給我們一個睿智的頭腦，幫我們進行理性的思維；給我們一套研究的模式，使它成為我們探索世界奧秘的望遠鏡和顯微鏡；給我們提供新的機會，讓我們在交叉學科尋找樂土，用你的勤奮和智慧去發(fā)明、創(chuàng)造。

　　數(shù)學的思維訓練價值不僅體現(xiàn)在從實際的生活生產(chǎn)中提煉出問題并解決這些問題，更在于嘗試能否將這些問題進行更為一般的引申、推廣、演變，深入問題的本質(zhì)與核心。數(shù)學寫作正是為學生思維的呈現(xiàn)提供了平臺，在思維的深入過程中進行再創(chuàng)造！

　　每一次的數(shù)學寫作指導課，總能享受其中：因為在導向中，我們一同用自己的全身心在體驗、感悟、享受著數(shù)學之“美”，這就是我們沒有任何時空界限的數(shù)學寫作樂園：

　　擁有的是對同一種數(shù)學知識的不同表露，擁有的是對數(shù)學的獨特思考，擁有的是對數(shù)學的個性感悟……

　　如果說孩子們天生是一張白紙，那么讓他們擁有想“繪畫數(shù)學”的夢想，給予他們“一盒數(shù)學的水彩筆”，他們將呈現(xiàn)給我們的會是“一幅幅數(shù)學的藝術品”！

　　瞧，在上《圓錐的體積》一課之前引導學生寫出的數(shù)學小作文中的精彩片段：

　　(1) 思思同學寫的《實驗中發(fā)現(xiàn)的奧秘》

　　第一個奧秘就是在裝米中，我發(fā)現(xiàn)裝滿了米的圓錐倒進圓柱中不是滿的，而要差不多三次才會滿。經(jīng)過我的思考，我明白了，原來圓錐有一個頂點，從這個頂點開始擴散開的，自然這個頂點的裝米范圍沒有上邊的那么寬，裝得那么多。想明白了這個道理我好開心，不禁為自己而感到自豪！

　　第二個奧秘就是：在解決了上一個問題時，我發(fā)現(xiàn)原來等底等高的圓錐和圓柱都有一個共同的特點就是在裝米中圓錐給圓柱裝的并不是剛剛好。但是，如果仔細看起來圓柱和圓錐一樣高，可裝的米數(shù)不同，如果圓錐再擴大一點，可以裝下圓柱中的米嗎？這個問題，我現(xiàn)在還不明白，你可以幫我想想嗎？請你告訴我答案。

　　(2)蔡妙同學寫的《實驗中的發(fā)現(xiàn)》

　　等底等高組，我小心翼翼地將圓錐里的米粒一次又一次倒進圓柱里，3次，總共3次，倒?jié)M了。我疑惑了，體積應該是相等的（因為等底等高）但為什么，圓錐3個這樣的體積才頂過一個圓柱？

　　等底不等高組，我做了同樣的動作，心里想：這次應該不會相等了吧？但是在要倒第3杯時，我眼睛瞪得比誰都大。因為我手中這第3杯再倒下去的話，那個圓柱就滿了……我馬上查一下我是否拿錯，事實告訴我：沒！我心中又多了一個為什么。

　　等高不等底，實驗后的結果照樣出人意料。我對圓錐的體積越來越產(chǎn)生興趣。

　　我越來越想知道其中的奧秘，但是我已經(jīng)能下結論：圓柱是圓錐的3倍，事實說明了一切。

　　(3)煜歡寫的《實驗中發(fā)現(xiàn)的奧秘》的精彩語句：

　　沒有想到，圓錐和圓柱之間有如此緊密的聯(lián)系，我不禁感嘆道：數(shù)學真是有著無窮的奧妙！

　　在批閱學生的數(shù)學小作文時，總能讓我深刻地感悟著這么一句話——“100個作者，100個藝術品”，哪怕不是藝術品，也是一種思維的再加工、再創(chuàng)造！字里行間，又讓我再次享受著數(shù)學，呼吸著數(shù)學在孩子們那美妙思維中的藝術！

　　從數(shù)學寫作中，我再次地思考著“數(shù)學”，它不僅是知識，更是學習者的自我咀嚼，在思維加工中思索，在思索中創(chuàng)造。

　　同時留給數(shù)學老師的感悟與思考是：

　　《圓錐的體積》這一堂課的知識重點還僅是“圓錐體積的計算”嗎？學生的這些數(shù)學寫作，不正是從不同的側(cè)面、全方位地向我們展示了“數(shù)學”學科更本質(zhì)、更核心的內(nèi)容嗎？

　　數(shù)學困惑、數(shù)學實驗、數(shù)學思考、數(shù)學結論、數(shù)學經(jīng)歷、數(shù)學感悟……這些遠遠比“圓錐的體積計算”來得重要，正是這些過程才讓我們的“數(shù)學”學科充滿了生命的活力，也正是這些讓我們的“數(shù)學”在學生的思維里充滿了學科的誘惑力與魅力！

　　學生學習全過程的真實流露，或許才是他們在學科成長中真正的足跡，這才是學習中真正的最有價值的、最核心、最本質(zhì)的財富！

　　師者再次尋覓、思考著：數(shù)學到底是什么？數(shù)學之師到底教些什么？

　　學生是我們教學的一面鏡子，當我們關注些什么的時候，我們的學生就得到了些什么，而此時我們要不斷地學會從學生這面鏡子中來“看到”：自己教學理念下最真實的東西，再次思索：作為一個數(shù)學老師，我到底要教給學生什么？我的學科追求到底是什么？

　　這樣的思考，必然帶著我們在學科上更好地成長、更真實地成長，最終這段過程回報給我們的將是：擁有學科教育的真諦，享受學科教育的幸福！

　　大話數(shù)學，挖掘數(shù)學的內(nèi)涵，提煉數(shù)學的規(guī)律，揭示數(shù)學的特點，深化數(shù)學的應用，張揚數(shù)學的魅力，這又何嘗不是我們的追求呢？

四

從數(shù)學教學到數(shù)學教育

　　與一個數(shù)學教師如影隨形的問題：什么是數(shù)學？數(shù)學的核心是什么？數(shù)學教學與數(shù)學教育有何區(qū)別？數(shù)學教育的終極目標是什么？

　　這些思考在不同的時間段或許有著不同的答案，但在這些不同的答案中卻孕育著一個永恒的追求：從數(shù)學教學到數(shù)學教育。

　　如果說數(shù)學教學的任務是數(shù)學知識，那么數(shù)學教育則是在數(shù)學知識中捕捉、滲透、引領“人”的數(shù)學成長：數(shù)學計算中的發(fā)展意識、數(shù)學應用中的策略意識、數(shù)學解題中的嚴謹品質(zhì)、數(shù)學發(fā)展中的觀察和歸納意識、數(shù)學史料中的發(fā)明創(chuàng)新意識、數(shù)學閱讀中的立體認知意識……進而在經(jīng)驗中深刻感悟數(shù)學的神奇魅力，領悟其博大精深，心在數(shù)學中。

　　基于這樣的追求，更在思考：什么樣的數(shù)學作業(yè)有利于學生數(shù)學學習的可持續(xù)發(fā)展，讓上面的數(shù)學教育之果能夠豐富多彩呢？

　　在數(shù)學的微寫作中，我們不僅了解了兒童心中的數(shù)學世界，同時在了解中，我們可以更好地引領他們在數(shù)學的百花園中相互欣賞、相互學習，汲取更多的陽光、雨露，在數(shù)學路上成長得更加光彩耀人。

　　如果說之前的數(shù)學小作文是為了發(fā)表而寫，那么之中的數(shù)學小作文則是為了學科學法感悟的需要而寫。現(xiàn)在呢？則是為了學生的數(shù)學學習情感成長而寫。此時，它是一種真實的情感感受、變化，是一種數(shù)學活動中個性經(jīng)驗的提升，是一種思維視角的萌發(fā)土壤，是一種思考習慣的形成途徑，久而久之，便是一種自然的數(shù)學呼吸。

　　每每在批閱時，作為數(shù)學老師的幸福感便油然而生，此時我批閱的不是文字、文章本身，而是一種學科情感、魅力的共鳴與滋長、提升！

　　我批閱的數(shù)學小作文里，有很多類的優(yōu)：有一類優(yōu)是源于其思維、情感的真實變化與流露；有一類優(yōu)是源于其學習的點滴進步；有一類優(yōu)是源于對學科感悟的總結與提升；有一類優(yōu)是源于舉一反三的質(zhì)疑習慣；有一類優(yōu)是源于自學的感悟與應用；有一類優(yōu)是源于自我追問與對話的深入；有一類優(yōu)是源于其別樣的學習策略；有一類優(yōu)是源于對錯誤本身的認識與反思……

　　優(yōu)，不僅是一個成績，更是學生寫作思路的一種導航：導向一種學科的思維觸角，導向一種學科的學習方法，導向一種學科的思考習慣，導向一種學科魂的感悟，導向一種學科魅力的提升。

　　這多類的優(yōu)，必然從另一種角度在豐實著數(shù)學教育路上的情懷，見證著學生的數(shù)學學習成長的歷程，感悟著學生的數(shù)學情感的變化！

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文章來源：網(wǎng)絡

圖片來源：網(wǎng)絡圖片再編輯　

排　　版：ＷＭＯ世奧賽組委會

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