中華人民共和國成立后，小學(xué)數(shù)學(xué)教育開始恢復(fù)、調(diào)整、鞏固.特別是1978年后，中國的數(shù)學(xué)教育進入“面向現(xiàn)代化，面向世界，面向未來”的時代.1985年5月，第一次全國教育工作會議頒布的文件中明確提出素質(zhì)一詞，從此中國開啟了素質(zhì)教育的時代.1986年開始推行九年制義務(wù)教育，在1988年頒布的《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（初審稿）》中首次將數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能與文化素養(yǎng)聯(lián)系起來，之后在1992年頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中，明確提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并指出使學(xué)生通過數(shù)學(xué)教育獲得一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育目標(biāo).此后，在國家政策文件的支持下，素質(zhì)教育得到全面推進，在進入21世紀(jì)后達到了階段性的高峰，并在持續(xù)推出的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中不斷得到明確和深化.
進入21世紀(jì)后，知識經(jīng)濟、信息化、全球化的到來，對勞動力市場提出了新的要求，它是各學(xué)科在學(xué)習(xí)過程中逐步形成的適應(yīng)個人終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的跨界的必備品格和關(guān)鍵能力，即21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng).現(xiàn)階段在學(xué)生核心素養(yǎng)框架的引領(lǐng)下，確立各學(xué)科核心素養(yǎng)，使學(xué)生通過各階段的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人目標(biāo)，幫助學(xué)生順利迎接未來社會的挑戰(zhàn)和競爭.
經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（Organization for Economic Co-operation and Development，以下簡稱OECD）從1997年開始實施大規(guī)模的跨國核心素養(yǎng)研究項目（Definition and Selection of Competencies:Theoretical and Conceptual Foundations，以下簡稱DeSeCo）.從此，全球在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下不斷推進在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究.比如：國際學(xué)生評價項目（Program for International Student Assessment，以下簡稱PISA）對數(shù)學(xué)素養(yǎng)進行了更具體的界定，同時完善了評估方案；日本、中國臺灣地區(qū)等啟動了以核心素養(yǎng)為基本框架的課程改革，并分別于2017年3月[1]和2018年6月[2]公布數(shù)學(xué)領(lǐng)域課程實施方案，從制度上實現(xiàn)了以“核心素養(yǎng)”作為課程發(fā)展主軸，對各教育階段、各科目進行縱向的連貫統(tǒng)整.自2015年以來，中國學(xué)者對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素與內(nèi)涵的研究呈迅速上升趨勢，取得了不少有意義的成果.比如：從宏觀角度論述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的研究[3-7]；針對高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵與體系建構(gòu)的研究[8-14]；針對初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解析和調(diào)查的研究[15-21]；而小學(xué)階段的研究相對較少[22-26].反觀當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素和內(nèi)涵的研究，多為依據(jù)不同來源建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一是源自中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）：馬云鵬（2015）提出可將《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等10個核心能力和觀念視為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[22]；周淑紅、王玉文（2017）的研究進一步結(jié)合小學(xué)生的特質(zhì)，從《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個“核心詞”中選取最有針對性和代表性的概念：應(yīng)用意識、運算能力、推理能力、幾何直觀作為小學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)[23]；二是源自PISA提出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：李星云（2016）對PISA（2012）提出的八大能力進行梳理并補充，形成了小學(xué)生所需的數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)推理、運算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模等6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[24]；三是源自學(xué)者多年實踐經(jīng)驗提煉而成：曹培英（2017）經(jīng)長期的實踐性研究，提出了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系的一個初步框架，該框架由兩個層面（數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域）、6項素養(yǎng)（抽象、推理、模型、運算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念）構(gòu)成[26].此外，關(guān)于小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的相關(guān)研究，聚焦在關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略上.莊惠芬（2015）和張俊珍（2017）的研究指出小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力是培養(yǎng)兒童核心素養(yǎng)的核心，并從課堂教學(xué)視角提出了提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略[27-28].
綜觀上述小學(xué)階段研究可以發(fā)現(xiàn)：首先，目前尚未有研究關(guān)注美、英等國家現(xiàn)行小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中課程目標(biāo)的比較.培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為一個國際共識，要關(guān)照到“小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”在不同國家或地區(qū)的理解，而數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，所以要對不同國家的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)進行比較，以期對其要素和內(nèi)涵達到一個共同的看法.其次，過多關(guān)注關(guān)鍵能力方面素養(yǎng)的培養(yǎng)，忽視中國核心素養(yǎng)總框架的設(shè)計理念，導(dǎo)致對學(xué)科核心素養(yǎng)構(gòu)成種類在認識上的偏頗.學(xué)科核心素養(yǎng)是具有學(xué)科特征的關(guān)鍵能力和必備品格的綜合體，要實現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，勢必要打破對現(xiàn)有的學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素在種類格局上的認識，才能構(gòu)建更加全面、多個教育階段相互銜接、貫通發(fā)展的學(xué)科核心素養(yǎng)框架.
基于上述現(xiàn)狀，以小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)為研究對象，研究者對現(xiàn)行的美、英等5國小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)及其內(nèi)涵進行梳理，通過專家意見調(diào)查與專家訪談來初步構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)組成要素及定義內(nèi)涵，以作為建構(gòu)各要素指標(biāo)體系的理論基礎(chǔ)；也可作為教師調(diào)整教學(xué)方式、研究者設(shè)計評量的參考.具體的研究問題為：現(xiàn)行的美、英等5國小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)具有何種特色？小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成要素及定義、類型為何？
愛德加·戴爾認為經(jīng)驗有的是通過直接方式、有的是通過間接方式得來的。各種經(jīng)驗，大致可根據(jù)他的抽象程度，分為三大類（抽象、觀察和做的經(jīng)驗）、十個層次。以語言學(xué)習(xí)為例，在初次學(xué)習(xí)兩個星期后存留度不同，閱讀能夠記住學(xué)習(xí)內(nèi)容的10%，聆聽能夠記住學(xué)習(xí)內(nèi)容的20%，看圖能夠記住30%，看影像、看展覽、看演示、現(xiàn)場觀摩能夠記住50%，參與討論、發(fā)言能夠記住70%，做報告、給別人講、親身體驗、動手做能夠記住90%。戴爾提出，學(xué)習(xí)效果在30%以下的幾種傳統(tǒng)方式，都是個人學(xué)習(xí)或被動學(xué)習(xí)；而學(xué)習(xí)效果在50%以上的，都是團隊學(xué)習(xí)、主動學(xué)習(xí)和參與式學(xué)習(xí)。
在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，由于設(shè)計初衷、教育理念和服務(wù)對象等文化背景的差異，各國實施的小學(xué)數(shù)學(xué)課程文件中制定的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)名稱的表述不同1 研究之后陸續(xù)出現(xiàn)各國在小學(xué)階段實施的數(shù)學(xué)課程框架名稱，比如數(shù)學(xué)素養(yǎng)(英國、澳大利亞)，課程標(biāo)準(zhǔn)（美國），素質(zhì)、能力目標(biāo)（日本），數(shù)學(xué)大綱框架（新加坡），考慮到研究的統(tǒng)一性，這里統(tǒng)一用“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)”替代.，但總的來說，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是國際數(shù)學(xué)教育積極推進的共識趨勢.以下將根據(jù)特色介紹幾個小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的案例.
英國是最早提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的國家.1959年，英國發(fā)表了題為“15～18歲青少年的教育”的《克勞瑟報告》（Crowther Report），提出了Numeracy一詞，表示數(shù)學(xué)素養(yǎng).之后，卡克羅夫特（Cockroft）博士于1982年在《卡克羅夫特報告》（Mathematics Counts）中詮釋了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義，即是一種能夠讓成人自信地應(yīng)對在生活中遇到的數(shù)學(xué)問題（mathematical demands）的能力[29].從此，英國在關(guān)鍵能力的導(dǎo)向下不斷推進數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究.
英國小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育，是在《小學(xué)階段語文與數(shù)學(xué)框架》(Primary National Strategy:Primary Framework for Literacy and Mathematics)和《國家課程方案——關(guān)鍵階段1-2》（The National Curriculum in England:Key Stages 1 and 2）2 在英國的國家課程結(jié)構(gòu)中，Key stage 1是指年齡在5～7歲，年級在一二年級的小學(xué)生，Key stage 2是指年齡在 7～11歲，年級在三～六年級的小學(xué)生.的相互助力下不斷推進的.英國于1996年推出《語文和數(shù)學(xué)素養(yǎng)策略的國家級戰(zhàn)略》（National Literacy and Numeracy Strategies），得益于該項計劃，英國教育與技術(shù)部于1999年制定了《小學(xué)階段語文與數(shù)學(xué)框架》，修訂后的框架于2006年9月再次頒布，皆在促使兒童向早期學(xué)習(xí)目標(biāo)和關(guān)鍵階段1-2的國家課程水平要求邁進.數(shù)學(xué)框架制定的課程目標(biāo)主要包括7個部分，分別為：使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)（交流、推理、探究和問題解決）、計算和理解數(shù)字（包括心算和筆算的方法、有信心地進行計算、有效使用計算器等）、理解和使用數(shù)字事實（knowing and using number facts）、計算、理解形狀、測量、處理數(shù)據(jù)等[30].
基于核心素養(yǎng)培育的大背景下，教師不應(yīng)把識字教學(xué)縮小化，把認識漢字作為檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)成果，評價識字教學(xué)成果的唯一標(biāo)準(zhǔn)。語文教學(xué)是人文性與工具性的統(tǒng)一，識字教學(xué)更是讓學(xué)生自主閱讀以拓寬認知視野的工具之一。因此教師評價革新應(yīng)在寬度上下功夫，不單單為識字而識字。
由表3實驗結(jié)果可知,用復(fù)合溶葡萄球菌酶溶液對大腸桿菌、金黃色葡萄球菌、溶血性鏈球菌、白色念珠菌作用1、5 和10 min 的殺滅率均能達到100%。表明復(fù)合溶葡萄球菌酶溶液對大腸桿菌、金黃色葡萄球菌、溶血性鏈球菌、白色念珠菌的殺菌效果理想。
2013年9月，最新公布的《國家課程方案——關(guān)鍵階段1-2》中指出，發(fā)展學(xué)生自信地應(yīng)對在生活中遇到的數(shù)學(xué)問題的能力（數(shù)學(xué)素養(yǎng)）和其它數(shù)學(xué)技能是落實國家課程的先決條件，并提出數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)：熟練地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能、數(shù)學(xué)推理能力、將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于常規(guī)和非常規(guī)問題的能力.并按照自然數(shù)、測量、幾何、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、比和比例（六年級）、代數(shù)（六年級）領(lǐng)域的內(nèi)容分別進行闡述.有關(guān)英國國家課程方案對于小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的內(nèi)涵整理如表1.
表1 英國國家課程方案之小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（2013）
資料來源：Department for Education.The National Curriculum in England:Key stages 1 and 2 document[EB/OL].(2013-09-10)[2018-08-13].www.gov.uk/dfe/nationalcurriculum.99-143.
組成要素 內(nèi)涵images/BZ_89_1264_1620_2249_1832.png運用數(shù)學(xué)知識解決常規(guī)和非常規(guī)問題1.將復(fù)雜問題簡化為一系列簡單問題；2.堅持不懈地尋找解決方案.
美國的全美數(shù)學(xué)教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）是關(guān)注美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育最早的機構(gòu)，也是促進美國數(shù)學(xué)教育變革和發(fā)展最有影響力的機構(gòu).從20世紀(jì)80年代開始，該機構(gòu)就開始致力于推進美國數(shù)學(xué)課程的“標(biāo)準(zhǔn)”化運動，其中針對中小學(xué)數(shù)學(xué)教育最有影響力的“標(biāo)準(zhǔn)”運動當(dāng)屬《學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評價標(biāo)準(zhǔn)》（1989）和《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（2000）的推出.早在《學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評價標(biāo)準(zhǔn)》中，就已提出5個反映新時代變革的數(shù)學(xué)教育改革新方向，從此確立了數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)皆為幫助學(xué)生培養(yǎng)應(yīng)對現(xiàn)實和未來生活所需的綜合能力[31]，并作為后續(xù)各州開發(fā)和制定中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù).
2010年6月，全美州長協(xié)會和首席州立學(xué)校官員理事會等共同推出美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（Common Core State Standards for Mathematics，簡稱CCSSM），涉及內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和過程標(biāo)準(zhǔn)兩部分，內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)包含美國K-5年級學(xué)生在運算和代數(shù)思想、十進制數(shù)及其運算、分?jǐn)?shù)和運算、度量和數(shù)據(jù)、幾何等5大學(xué)習(xí)領(lǐng)域所要掌握的基本知識和技能要求，過程標(biāo)準(zhǔn)描述了學(xué)生能力發(fā)展的要求.有關(guān)美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的內(nèi)涵整理如表2.
表2 美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)之小學(xué)階段課程目標(biāo)（2010）
資料來源：全美州長協(xié)會和首席州立學(xué)校官員理事會.美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實施[M].蔡金法，等譯.北京：人民教育出版社，2016：7-19.
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從1996年初開始，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)在澳大利亞已經(jīng)站到了國家戰(zhàn)略的高度，推動了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的相關(guān)研究.具有里程碑意義的研討會當(dāng)屬1997年5月18—21日，在澳大利亞西海岸城市弗里曼特爾召開的數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育策略發(fā)展研討會（Numeracy Education Strategy Development Conference），該會議豐富了對數(shù)學(xué)素養(yǎng)全方位的理解，并厘清了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵.會議提出：“具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是能有效地運用數(shù)學(xué)來滿足家庭生活、有償工作、參與社區(qū)和公民生活的日常要求.”[32]
為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，澳大利亞課程、評估和報告管理局從整數(shù)的估計與計算，識別和使用模型和關(guān)系，會使用分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、比和比例，使用空間推理，解釋統(tǒng)計信息，使用測量等6大領(lǐng)域[33]來規(guī)劃小學(xué)數(shù)學(xué)課程，并指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生在各種情況下使用數(shù)學(xué)的知識、技能、行為和傾向的綜合體，它涉及學(xué)生對數(shù)學(xué)在世界中地位的認可和理解，并有目的地使用數(shù)學(xué)知識和技能的傾向和能力[34].2008年，國家語文和數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試項目（The National Assessment Program——Literacy and Numeracy，簡稱NAPLAN）開始實施，該項目以上述數(shù)學(xué)課程為參考，考評小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、技能及其理解程度.具體包括：基于數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、統(tǒng)計與可能性3大內(nèi)容領(lǐng)域的理解，流暢地運用，問題解決和推理4大部分[35].
日本是在21世紀(jì)能力型框架下來引領(lǐng)課程改革的.隨著信息化和全球化的加速進展，在2013年推出的“21世紀(jì)生存能力”的框架下，日本文部科學(xué)省于2017年3月，在《小學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)解說——總則編》中明確指出在各學(xué)科的助力下，努力培養(yǎng)兒童①學(xué)會知識與技能，②培養(yǎng)思考力、判斷力、表現(xiàn)力等，③培養(yǎng)學(xué)習(xí)的意愿、人性等的知、德、體平衡的“生存的能力”，被稱為素質(zhì)、能力的三大支柱[36].
日本最早的《小學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)——算數(shù)編》始于1948年，至今先后經(jīng)歷了9次修訂，現(xiàn)行版本于2017年3月31日公布，2018年4月1日陸續(xù)開始實施，2021年4月1日達到全面實施[1].該要領(lǐng)以素質(zhì)、能力的3大支柱為框架，與小學(xué)各學(xué)年的學(xué)習(xí)內(nèi)容進行對接.有關(guān)日本小學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)對于小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的內(nèi)涵——以一年級為例，整理如表3.
新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中課程框架以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題的能力為核心，涉及小學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)所必需掌握的知識和技能及非智力因素，這些因素是學(xué)生面對未來的學(xué)習(xí)和工作所必需具備的21世紀(jì)技能.該大綱于2013年開始從一年級逐步實施，直至2018年實現(xiàn)了小學(xué)一到六年級的全面實施.有關(guān)新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱課程目標(biāo)的內(nèi)涵整理如表4.
將上述各具特色的小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的組成要素整理如表5，從英國《小學(xué)階段數(shù)學(xué)框架》來看，基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握、應(yīng)用這些知識和技能來發(fā)展關(guān)鍵能力、對數(shù)學(xué)的態(tài)度3個向度是所有框架共同存在的.區(qū)別在于英國強調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展推理和問題解決的能力，美國還強調(diào)數(shù)學(xué)建模和表達交流的能力.換言之，不同國家雖然對小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之強調(diào)重點略有差異，但其組成要素種類相似.
在熔煉頂吹爐“一爐三段”一步煉鉛過程中，爐子操作的熔池溫度低于目標(biāo)值會增加爐渣的粘度，降低爐渣流動性而產(chǎn)生溫度梯度，減緩了爐渣中鉛鋅的煙化揮發(fā)，并影響煙化爐渣的排放；熔池溫度偏低易產(chǎn)生爐結(jié)和增加爐子掛渣，嚴(yán)重影響爐渣中鉛鋅還原煙化效果，使?fàn)t渣中的鉛含量居高不下；若熔池溫度高于目標(biāo)值，將增加噴槍槍嘴損壞率，破壞噴槍對熔池的有效攪拌環(huán)境，易使熔池內(nèi)產(chǎn)生溫度梯度，并影響整體的工藝效率，不利于爐渣中鉛煙化揮發(fā)，導(dǎo)致拋渣含鉛量大于目標(biāo)值。
表3 日本小學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)——算數(shù)編之課程目標(biāo)——以一年級為例（2017）
資料來源：日本文部科學(xué)省.小學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)解說——算數(shù)編[EB/OL].（2017-03-31）[2018-08-02].http://120.52.51.18/www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2018/05/07/1387017_4_1_2.pdf：12-19.
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表4 新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱之課程目標(biāo)（2012）
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組成要素內(nèi)涵概念的理解images/BZ_91_213_1236_2267_1617.png1.包括對數(shù)值的、代數(shù)的、幾何的、統(tǒng)計的、概率的和分析的概念的理解；2.認識到這些知識之間的聯(lián)系和應(yīng)用；3.在不同的階段和大綱中，內(nèi)容的范圍和深度是不同的.元認知 是指控制思維過程的意識和能力，特別是問題解決策略的選擇和使用，它包括監(jiān)督和控制自己的思維、自我調(diào)節(jié)學(xué)習(xí).
表5 各國小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)組成要素之整理
注：*僅列出次數(shù)達3次（含）以上之組成要素.
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為能更進一步掌握各國小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中組成要素，特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)部分，將上述各國框架中之組成要素進行了整合，整理出如表5中組成要素之次數(shù)分析欄.由表可知，在5個國家提出的6個框架中，所有框架都認為基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中的推理能力、表達交流、問題解決、以及數(shù)學(xué)態(tài)度是小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中不可或缺的組成要素；亦有一半以上的國家認為建模是小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中一項重要的組成要素.結(jié)合專家意見調(diào)查與專家訪談，最終確定7項主要組成要素，分別為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識、基本的數(shù)學(xué)技能、推理能力、表達交流、模型思想、問題解決和數(shù)學(xué)態(tài)度.
步入大門，一座精美的巴洛克式建筑呈現(xiàn)在眼前。正中間是宮殿氣派的大門，兩側(cè)為兩層高的建筑，每層各有五扇窗，兩層建筑的兩端緊連著高大的塔樓。整座宮殿顯得十分精致，富有格調(diào)。
數(shù)學(xué)素養(yǎng)是建構(gòu)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要來源之一.OECD開發(fā)的PISA是全球影響力較大的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評項目.該項目將數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義為個體在各種情況下形成、使用、詮釋數(shù)學(xué)的能力，這種能力包括數(shù)學(xué)推理的能力和使用數(shù)學(xué)的概念、過程、事實和工具來描述、解釋、預(yù)測現(xiàn)象的能力；這種能力能夠加深人們對數(shù)學(xué)在生活中扮演角色的認識，也是人們成為善于創(chuàng)新、合作和反思的公民并做出正確判斷和決定的基礎(chǔ)[37].PISA項目負責(zé)人德蘭格（Jan de Lange）認為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)對學(xué)生的未來發(fā)展有著重要的影響，除了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能以外，學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感態(tài)度，以及使用數(shù)學(xué)的自信心也十分重要[38].也就是說，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)分類觀的視角下，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是知識與技能、關(guān)鍵能力和情感態(tài)度的匯集體.通過比較上述國家制定的小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生數(shù)學(xué)課程體系的選取呈現(xiàn)國際化的趨勢：面向未來，培養(yǎng)21世紀(jì)型能力為主軸，關(guān)照到基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)從事社會生活所需要的基本能力和數(shù)學(xué)態(tài)度3個向度.因此，提出上述國家制定的小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)既為數(shù)學(xué)素養(yǎng)各成分的具體體現(xiàn).
臟器指數(shù)又稱臟體比，是試驗動物某臟器的重量與其體重的比值。臟器系數(shù)的變化可較好地反映化學(xué)毒物對該臟器的毒性綜合情況。臟器系數(shù)下降表示萎縮、退行性變化；臟器系數(shù)加大，在一定范圍內(nèi)表示臟器機能增強，過大則可能是充血、水腫、增生肥大性變化等病變。
根據(jù)Cooper（1999）的素養(yǎng)分類理論：將素養(yǎng)分為兩類或者兩個層次，一類是基本素養(yǎng)（basic literacy），或者稱為普通素養(yǎng)（conventional literacy），這類素養(yǎng)是關(guān)于讀寫最初步的層次，包括讀寫和辨識符號的基本能力；第二類素養(yǎng)則是功能素養(yǎng)（functional literacy），是指個人為經(jīng)營家庭、社會生活和從事經(jīng)濟活動所需要的基本能力[39].依據(jù)上述析出的小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)之組成要素，結(jié)合Cooper所提出的素養(yǎng)分類理論，研究者認為學(xué)會基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識和基本的數(shù)學(xué)技能的能力屬于基本素養(yǎng)；推理能力、模型思想、表達交流、問題解決的能力屬于功能素養(yǎng)；在此基礎(chǔ)上，研究者提出第三類素養(yǎng)：情意素養(yǎng)（affective literacy），它包括對數(shù)學(xué)的認知、情感和意志，具體表現(xiàn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中能理解和認同數(shù)學(xué)的價值；對數(shù)學(xué)感興趣，能意識到對數(shù)學(xué)的喜好和樂趣、欣賞數(shù)學(xué)的美和力量、自信地使用數(shù)學(xué)；并能夠堅韌、頑強地解決問題的素養(yǎng)，既小學(xué)生的數(shù)學(xué)態(tài)度（mathematical attitudes）.
根據(jù)上述3類素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的價值定位，研究建立3者關(guān)系模型如圖1.
由圖1可知，基本素養(yǎng)處于模型的最底端，為基礎(chǔ)、前提之意，既熟練掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的能力，具體指學(xué)習(xí)者能夠理解小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念3 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》整理：數(shù)與代數(shù)：數(shù)的認識（整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)）、數(shù)的運算（計算與估算）、常見的量（貨幣單位、時間、質(zhì)量和估測）、式與方程（字母表示數(shù)、等量關(guān)系）、比與比例（正比例、反比例）、探索規(guī)律；圖形與幾何：圖形的認識（立體圖形、平面圖形、角）、圖形的測量（長度、周長、角、面積、體積的測量、計算及估測）、圖形的運動（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）、圖形與位置；統(tǒng)計與概率：簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計的過程（分類、收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)、平均數(shù)、隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性）.，能快速地回憶知識、建立知識之間的連接，應(yīng)用知識來解決問題的素養(yǎng)；以及學(xué)習(xí)者能熟練地通過數(shù)據(jù)處理、測量、運算、估算、操作性工具使用、空間想象、探究（畫圖、猜測等）、思維能力（分類、比較等）等技能來輔助知識的應(yīng)用以解決問題的素養(yǎng).功能素養(yǎng)是以學(xué)科知識當(dāng)作學(xué)習(xí)載體，通過探究過程發(fā)展起來的個體應(yīng)對全球化加劇和科技高度發(fā)達的社會所需要的基本能力.因此，這類素養(yǎng)是以個體具備基本素養(yǎng)為前提，是學(xué)科核心素養(yǎng)的核心組成要素.情意素養(yǎng)不僅是支撐個體獲得基本素養(yǎng)、發(fā)展功能素養(yǎng)的動力支持，更在基本素養(yǎng)和功能素養(yǎng)生成過程中得到重構(gòu)和優(yōu)化，是促進個體下一階段學(xué)習(xí)的不可或缺的因素.
圖1 小學(xué)階段數(shù)學(xué)素養(yǎng)類型關(guān)系模型
DeSeCo項目將核心素養(yǎng)界定為：“個人實現(xiàn)自我、終身發(fā)展、融入主流社會和充分就業(yè)所必需的知識、技能及態(tài)度的集合，它們是可遷移的，并且發(fā)揮著多樣化的功能；在義務(wù)教育結(jié)束時學(xué)習(xí)者應(yīng)該具備這些基本的關(guān)鍵素養(yǎng)，并且在后續(xù)的終身學(xué)習(xí)中繼續(xù)發(fā)揮其基礎(chǔ)性作用.”[40]綜合“知識、技能及態(tài)度的集合”“義務(wù)教育”“應(yīng)該具備”“關(guān)鍵素養(yǎng)”等關(guān)鍵詞，從中國國情來看，小學(xué)階段屬于義務(wù)教育階段的重要起始期，且占據(jù)了義務(wù)教育三分之二的時間跨度，因此遴選關(guān)鍵素養(yǎng)，確定核心素養(yǎng)構(gòu)成種類，構(gòu)建小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)架不可忽視.
黨的十八大報告提出將“立德樹人”作為教育的根本任務(wù)后，教育部從2013年開始進行“我國基礎(chǔ)教育與高等教育階段學(xué)生核心素養(yǎng)總體框架研究”項目，項目綜合了世界各個國家和地區(qū)及國際組織對核心素養(yǎng)概念內(nèi)涵的界定，考慮了不同學(xué)科角度對核心素養(yǎng)的研究，以及中國的現(xiàn)實需求和教育實際，將核心素養(yǎng)界定為：“學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐漸形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”[40]也就是說，核心素養(yǎng)是關(guān)鍵能力和必備品格的集合，學(xué)科核心素養(yǎng)就是具有學(xué)科特征的關(guān)鍵能力和必備品格的綜合體.
在學(xué)生核心素養(yǎng)框架的引領(lǐng)下，確立各學(xué)科的學(xué)科核心素養(yǎng)，明確各學(xué)科的學(xué)科核心素養(yǎng)名稱、內(nèi)涵與表現(xiàn)水平，才能為進一步落實學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)加油助力.2018年年初，中國發(fā)布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，確定高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成要素及內(nèi)涵，具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等6要素[41].針對義務(wù)教育階段的學(xué)生而言，如果忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知、情感和意志的培養(yǎng)，只強調(diào)與數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)相關(guān)的關(guān)鍵能力，必定違背了小學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，從而無法實現(xiàn)課程目標(biāo)的達成.
結(jié)合國際視角和中國對核心素養(yǎng)的界定，以及義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)和學(xué)生發(fā)展特點，考慮不同素養(yǎng)類型的關(guān)系，研究者提出小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涉及數(shù)學(xué)素養(yǎng)中關(guān)系個人發(fā)展和促進社會進步的關(guān)鍵能力和必備品格，既培養(yǎng)學(xué)生的功能素養(yǎng)和情意素養(yǎng).因此，現(xiàn)階段功能素養(yǎng)具體指向推理能力、模型思想、表達交流、問題解決4個要素，情意素養(yǎng)指向數(shù)學(xué)態(tài)度，內(nèi)涵數(shù)學(xué)認知、數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)意志.
近幾年，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究成為基礎(chǔ)教育階段重要的教育研究議題.各國相繼出臺政府文件并制定課程目標(biāo)促進基礎(chǔ)教育課程改革，落實學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展.在集合各具特色的美國、英國、澳大利亞、日本、新加坡等國家小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的基礎(chǔ)上，通過專家意見調(diào)查與專家訪談，整合提煉出5項小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，初步構(gòu)建了各要素的內(nèi)涵定義，分別說明如下.
（1）【推理能力】學(xué)習(xí)者能在情境中辨認量與量之間的關(guān)系，能正確進行推論，且能解釋推論，并傾聽他人論證的素養(yǎng).
（2）【模型思想】學(xué)習(xí)者能從情境出發(fā)，識別問題情境中的變量及關(guān)系，并建立模型、解釋模型、反思和改進模型的素養(yǎng).
（3）【表達交流】學(xué)習(xí)者能在情境中，通過日常語言與數(shù)字及算術(shù)符號之間的轉(zhuǎn)換進行準(zhǔn)確、適切的表達，且關(guān)注表達方式多樣化，并在交流中尊重不同觀點的素養(yǎng).
（4）【問題解決】學(xué)習(xí)者能在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，能解釋并檢驗結(jié)果，且在過程中關(guān)注方法多樣化及傾聽理解他人分析的素養(yǎng).
冬天氣溫低，溫差變化大，易發(fā)生風(fēng)疹、流感等病毒性傳染病，孕媽媽若感染此類病毒，會對胎兒造成不同程度的損害。因此孕媽媽注意不要與患病人員接觸，并且自己要注意衣著和起居，室溫力求穩(wěn)定。寒潮來臨時要多加些衣服，外出時要注意保暖，以防著涼受寒，切不可到疾病流行的公共場合，包括公共廁所。
（5）【數(shù)學(xué)態(tài)度】學(xué)習(xí)者能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中理解和認同數(shù)學(xué)的價值，對數(shù)學(xué)感興趣，能意識到對數(shù)學(xué)的喜好和樂趣、欣賞數(shù)學(xué)的美和力量、自信地使用數(shù)學(xué)，并能夠堅韌、頑強地解決問題的素養(yǎng).
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐漸形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涉及功能素養(yǎng)和情意素養(yǎng)兩大范疇，具體劃分為：功能素養(yǎng)包括推理能力、模型思想、表達交流、問題解決；情意素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)態(tài)度，內(nèi)涵數(shù)學(xué)認知、數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)意志.
首先，從2014年開始，教育部頒布《關(guān)于實施卓越教師培養(yǎng)計劃的意見（教師〔2014〕5號）》（以下簡稱《意見》），《意見》明確指出：針對小學(xué)教育的實際需求，重點探索小學(xué)全科教師培養(yǎng)模式，培養(yǎng)一批熱愛小學(xué)教育事業(yè)、知識廣博、能力全面，能夠勝任小學(xué)多學(xué)科教育教學(xué)需要的卓越小學(xué)教師.2018年9月，教育部進一步頒布《教育部關(guān)于實施卓越教師培養(yǎng)計劃2.0的意見（教師〔2018〕13號）》（以下簡稱《意見2.0》），《意見2.0》針對卓越小學(xué)教師的培養(yǎng)提出：“面向培養(yǎng)素養(yǎng)全面、專長發(fā)展的卓越小學(xué)教師，重點探索借鑒國際小學(xué)全科教師培養(yǎng)經(jīng)驗、繼承中國養(yǎng)成教育傳統(tǒng)的培養(yǎng)模式.”近年，培養(yǎng)小學(xué)全科教師成為師范院校討論的焦點.小學(xué)教育專業(yè)的課程設(shè)置是專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的具體落實與體現(xiàn)，要圍繞全科卓越小學(xué)教師的培養(yǎng)定位展開，“全科”并不意味著要承擔(dān)全部科目教學(xué)，是要培養(yǎng)“全面”的小學(xué)教師[42].因此，研究者建議收集國內(nèi)外全科小學(xué)教育專業(yè)培養(yǎng)方案，結(jié)合小學(xué)教師專業(yè)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)和素養(yǎng)的相關(guān)研究，展開對專家、一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師的調(diào)研，以確定小學(xué)教師數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素，并編制全科小學(xué)教師數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之能力量表，促進以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，培養(yǎng)全科型小學(xué)教師為目標(biāo)的教師培養(yǎng)課程體系建構(gòu)和教學(xué)改革.
轉(zhuǎn)眼到了臘月，二十四日這天，一頂花轎晃晃悠悠，一路鼓樂吹吹打打，將新娘子從南縣抬了過來，迎親的還是寶玉，寶玉今天穿了一身紫紅色緞面唐裝，頭戴一頂黑色緞面瓜皮帽，胸前綴朵碩大的綢扎紅花，顯得十分帥氣與精神。南縣來的大客見了，一個個喜不自禁，都覺得找了個好姑爺，值。
其次，在初步建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成要素及內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，由于上述要素高度與中國小學(xué)生的學(xué)習(xí)實際相聯(lián)，因此，研究者建議展開第二階段專家意見調(diào)查，以建構(gòu)符合中國國情的小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)實質(zhì)內(nèi)涵，同時編制自測問卷和試題題本，進一步驗證和修訂這一構(gòu)架.
文章中，我們在Ubuntu平臺搭建regtest測試鏈，基于c++版本的比特幣代碼，使用make編譯器編譯程序。我們采用的仿真平臺如表3所示，測試鏈參數(shù)如表4所示。
信絕對是我寫的。我找一個從北京寄來的信封，用退字靈退掉信封上的字，再重新寫上地址，把假信裝到信封里，再學(xué)郵電所老韓一樣把假信塞進你的門縫。地址也是我瞎寫的。
再次，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)旨在推動教育教學(xué)改革，實現(xiàn)這一目標(biāo)首先需要將核心素養(yǎng)納入并深化到課程改革的過程中去，尤其是融入課程標(biāo)準(zhǔn)中[43].根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗，研究者建議開展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入課程標(biāo)準(zhǔn)的系列研究，主要包括制定學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)、構(gòu)建并細化內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，制定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)和教材編寫原則4個方面.
最后，小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)架應(yīng)與時俱進.研究者建議小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架和內(nèi)涵定義的內(nèi)容，應(yīng)該按照學(xué)生身心發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的變革進行階段性調(diào)整，以確保其框架在小學(xué)生數(shù)學(xué)教育中的適切性.
致謝：衷心感謝東北師范大學(xué)馬云鵬教授、中央民族大學(xué)孫曉天和鐘志勇教授、美國德州理工大學(xué)王箭教授、臺灣彰化師范大學(xué)施皓耀教授對研究所提供的寶貴建議，臺灣高雄教育輔導(dǎo)團吳佳慧督學(xué)、臺灣宜蘭教育輔導(dǎo)團陸昱任督學(xué)對研究提供的資訊幫助.
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