曾 崢1，楊豫暉1，李學良2
（1．佛山科學技術(shù)學院，廣東 佛山 528000；2．佛山市南海區(qū)南海實驗中學，廣東 佛山 528000）
摘要：目前，初中數(shù)學課堂教學過于強調(diào)讓學生掌握數(shù)學內(nèi)容知識和培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力，忽略了引導學生理解數(shù)學的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展，以及培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度．從長遠來看，這會導致學生對數(shù)學的片面認知，也不利于數(shù)學文化的傳承．數(shù)學史融入初中數(shù)學課堂教學的做法可以讓學生理解數(shù)學的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度．研究提供了數(shù)學史融入初中數(shù)學課堂的方法，進行了數(shù)學史融入初中課堂的案例研究，包括加深數(shù)學概念的理解，避免數(shù)學家的錯誤重現(xiàn)以及導入新課提高學習興趣3個方面的研究，為初中數(shù)學教師提供教學參考．
關(guān)鍵詞：數(shù)學史；初中數(shù)學教學；教學方法；案例研究
美國數(shù)學教育家Wilkins[1]認為數(shù)學教育的目標是讓每個學生都應該：（1）掌握數(shù)學內(nèi)容的知識；（2）具有數(shù)學推理能力；（3）承認數(shù)學的實用性和社會影響；（4）理解數(shù)學的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展；（5）對數(shù)學有積極的態(tài)度．依此標準審視國內(nèi)數(shù)學教育現(xiàn)狀，恐怕后兩條是最令人擔憂的．盡管新課程改革給基礎(chǔ)教育帶來新氣象，但是因考試的指揮棒而被動、機械學習數(shù)學的情況并未得到有效改善．
雖然近年來我國會計界乃至整個經(jīng)濟界都從各個層面對會計信息失真的原因和解決辦法進行分析研究，提出多種應對措施，但會計信息失真的狀況未能從根本上得到遏制，與會計工作相關(guān)的法律法規(guī)有待進一步完善，徹底解決會計故意性信息失真的問題有很長的路要走。防治會計故意性信息失真是社會系統(tǒng)工程，任重而道遠，需要政府提供法律支持和政策保障，不僅要提高會計人員的素質(zhì)，更需要堅持防范于未然的理念，加強社會轉(zhuǎn)型期的道德文化建設(shè)，加強以不做假賬為基礎(chǔ)的誠信教育，提高全社會的整體素質(zhì)，才能從根本上確保會計信息質(zhì)量。
數(shù)學史融入初中數(shù)學課堂教學可以讓學生理解數(shù)學的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣和積極態(tài)度．相關(guān)研究可以分為兩大類，一類研究認為數(shù)學課堂中有效滲透數(shù)學史是一種教學手段，可以培養(yǎng)和保持學生的數(shù)學學習積極態(tài)度．比如，Jones[2]認為，在課堂中滲透數(shù)學史可以作為一種教學手段來改善學生對數(shù)學的態(tài)度；McBride[3]發(fā)現(xiàn)，每節(jié)課給學生講五分鐘數(shù)學故事，可以讓學生保持對數(shù)學學習的熱情，激發(fā)學生學習動機，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度；Fauvel[4]積極提倡通過在課堂中融入數(shù)學史來改善學生的數(shù)學觀，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度；Liu Po-Hung[5]等學者呼吁一線教師需要在課堂中使用數(shù)學史來提高學生的學習動機，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度．另一類研究認為數(shù)學課堂教學有效滲透數(shù)學史能夠改變學習方式，提高學生的數(shù)學學業(yè)成就．比如，新加坡學者Wee Leng NG[6]發(fā)現(xiàn)，在初二數(shù)學課堂中滲透秦九韶的名著《數(shù)書九章》，可以極大地提高學生的數(shù)學成績和科學成績；Schiefele[7]等發(fā)現(xiàn)，讓學生特別是新加坡的華裔學生，學習中國古代數(shù)學家的經(jīng)典作品，可以增加他們對數(shù)學的學習興趣，同時也可以提高學生的成績；Katz[8]認為，在課堂中使用數(shù)學史可以培養(yǎng)學生積極的學習心向，讓學生理解數(shù)學的現(xiàn)狀和發(fā)展歷史，提供多元的學習方式．數(shù)學史對數(shù)學教育的意義已經(jīng)是許多數(shù)學教育家的共識：利用數(shù)學史可以激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學精神，啟發(fā)學生的人格成長，預見學生的認知發(fā)展，促進學生對數(shù)學的理解和對數(shù)學價值的認識，構(gòu)筑數(shù)學與人文之間的橋梁[9]．
針對“糧食銀行”發(fā)展中存在的問題，湖南省農(nóng)委綜合調(diào)研處處長樂運成建議，應加強規(guī)范管理，可以考慮在省級層面成立“糧食銀行”監(jiān)督委員會，制定“糧食銀行”運營的具體規(guī)章制度，并對其進行監(jiān)管，或成立“糧食銀行”協(xié)會。同時加強準入管理，從倉儲能力、注冊資本、具體業(yè)務等方面設(shè)立標準。
那么，如何在數(shù)學課堂教學中有效滲透數(shù)學史呢？國內(nèi)外學者也進行了相關(guān)研究，Jankvist[10]認為，數(shù)學史在課堂中使用的路徑分為：數(shù)學史作為教學工具和數(shù)學史作為教學目標．他認為數(shù)學史融入課堂的教學方法分為：基于歷史法、歷史啟發(fā)法和模塊教學法；學生學習數(shù)學史的方式分為：數(shù)學史工作單、模塊學習和學生學習計劃．汪曉勤[11]認為，數(shù)學史融入課堂的教學方式是：重構(gòu)式、附加式、順應式和復制式．Tzanakis、ArcaviJ[12]等提出，數(shù)學史的融入方法是：提供歷史材料，討論數(shù)學話題和發(fā)展數(shù)學意識．
基于以上研究，依據(jù)北師大版《義務教育教科書·數(shù)學·七年級上》[13]的內(nèi)容，精心選取對應的數(shù)學史、數(shù)學趣聞和數(shù)學文化讀物，綜合以上所提及的數(shù)學課堂滲透數(shù)學史的路徑，經(jīng)過教學設(shè)計、課堂實施和課后反思形成相應案例，擬為初中數(shù)學教師提供切實的教學參考．
如果教師把數(shù)學僅僅視作一種技能或者一件工具去傳授，這樣做縱使傳授了有關(guān)知識，亦必掩蓋了數(shù)學作為文化活動的面目[14]．數(shù)學是一門累積起來的學科，它將永遠融會于它的過去以及未來當中[14]．數(shù)學教師應該利用數(shù)學史來展示數(shù)學概念的來龍去脈，幫助學生理解數(shù)學概念的歷史和現(xiàn)狀，進而教師能更好傳授數(shù)學知識，學生能更好理解數(shù)學核心概念[14]．
在“2.1有理數(shù)”的教學中，“負數(shù)”和“有理數(shù)”作為這一章的重點內(nèi)容和核心概念，一直是學生學習的重點和難點．有關(guān)負數(shù)的概念，最早記載于在名著《九章算術(shù)》[15]中，書中提出了“正負術(shù)”，“術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負術(shù)入之”．《九章算術(shù)》的第八章“方程”中，把“賣（收入錢）”作為正，則“買（付出錢）”作為負，把“余錢”作為正，則“不足錢”作為負．在關(guān)于糧谷計算的問題中，是以“益實（增加糧谷）”為正，以“損實（減少糧谷）”為負．中國數(shù)學家劉徽[15]在《九章算術(shù)》的“正負術(shù)”的注文中給出了正負數(shù)的定義：“今兩算得失相反，要令正、負以名之．”意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們．教師在課堂中講述負數(shù)的歷史，融入《九章算術(shù)》中的實例和定義，讓學生對“負數(shù)”概念的理解更加深入．在“有理數(shù)”的教學中，教師介紹有理數(shù)的起源和傳播，把“有理數(shù)”的歷史稱為“一場美麗的誤會”，來還原“有理數(shù)”概念的本來面目．通過有理數(shù)的歷史，教師可以幫助學生澄清頭腦中對“有理數(shù)”的錯誤理解，幫助學生掌握有理數(shù)的概念．
講述“有理數(shù)”的歷史發(fā)展，教師可以從古希臘的畢達哥拉斯學派[16]開始講起，該學派提出“萬物皆數(shù)”的著名命題[16]，而這里的“數(shù)”指的就是有理數(shù)．該學派的數(shù)學信仰是“一切數(shù)都可以表示成整數(shù)或整數(shù)之比”[16]．根據(jù)該學派的規(guī)定，“有理數(shù)”其實更應該稱為“可比數(shù)”或“成比例的數(shù)”．在歐幾里得的《幾何原本》中，“
1607年，中國數(shù)學家徐光啟和西方傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）根據(jù)克拉維烏斯的《歐幾里得原本十五卷》翻譯成古漢語的《幾何原本》[19]．在《幾何原本》[19]中，他們將有理數(shù)“proportio”翻譯為古漢語中的“理”，這里的“理”意思是“比值”，徐光啟和利瑪竇的翻譯也是忠于畢達哥拉斯學派對于“有理數(shù)”的原意來翻譯的．可是“有理數(shù)”傳播到日本的時候出現(xiàn)了偏差，在明治維新之前，日本關(guān)于歐洲數(shù)學的論著研究，基本上都是采用中國譯本．日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了“理”，而不是古漢語所解釋的“比值”．后來，日本學者直接用錯誤的“理”翻譯出了“有理數(shù)”，可謂差之毫厘、謬以千里．當“有理數(shù)”從日本傳回中國時又延續(xù)這個錯誤，清末中國派留學生到日本，將“有理數(shù)”傳回中國，因此現(xiàn)在中日兩國都用“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的說法．可見，由于當年日本學者對中國文言文的理解不到位，才出現(xiàn)了“美麗的誤會”．因此，“有理數(shù)”的原意是指“成比例的數(shù)”，而不是學生想象中的“有道理的數(shù)”，教師幫助學生澄清“有理數(shù)”這一概念，可以更好地協(xié)助學生掌握有理數(shù)的概念．同時，數(shù)學教師應根據(jù)“有理數(shù)”翻譯的歷史，讓學生理解和體會“有理數(shù)”概念的歷史和現(xiàn)狀，引導學生深入理解數(shù)學概念的內(nèi)涵．
在“2.9有理數(shù)的乘方”的教學中，“冪”作為這一節(jié)的核心概念，是學生學習的難點，也是學生比較容易困惑的地方．學生通常會對“乘方”“冪”“指數(shù)”等概念產(chǎn)生混淆，教師在課堂中融入數(shù)學史可以很好地解決這一問題．劉徽[15]在《九章算術(shù)》中用“冪”表示指數(shù)．在中國古代稱“一數(shù)自乘”為“方”，而“乘方”一詞則是在宋代以后才開始采用．朱世杰的《算學啟蒙》[20]在“總括”之“明乘除”一節(jié)中提出“長平相乘曰積，自相乘之曰冪”．利瑪竇和徐光啟在《幾何原本》[19]中，也使用了“冪”字，并對“冪”的含義進行了修訂．他們注釋說：自乘之數(shù)曰“冪”，這就相當于定義“冪”為
在“5.1認識一元一次方程”的教學中，“一元一次方程”這一重要的概念首次在初中的課堂登場亮相，學生對于“一元一次方程”這一數(shù)學概念往往感到陌生、抽象和難以理解．這時，教師可以通過數(shù)學史和數(shù)學文化素材，讓“一元一次方程”的教學過程更豐富一些，從而去除數(shù)學概念的生硬抽象的面具，重歸感悟數(shù)學與人文的教育面向．“方程”一詞出自《九章算術(shù)》[15]，其第八卷即名“方程”．“方”意為并列，“程”意為用算籌表示豎式．在古代，中國數(shù)學家用“元”這個字表示未知數(shù)，“元”起源于中國宋元時期的天元術(shù)[21]．朱世杰在《四元玉鑒》[21]“天元術(shù)”一節(jié)中，用“立天元”表示“設(shè)未知數(shù)”，用術(shù)語“立天元一為”表示“設(shè)未知數(shù)
實施特深井(13 000 m以深)科學鉆探工程之前，建立結(jié)晶巖鉆探施工必要的理論基礎(chǔ)和構(gòu)建初步的技術(shù)體系是非常必要的，只有在具備較完備的理論基礎(chǔ)和完善的施工技術(shù)體系的前提下，才能安全、高效地完成特深井科學鉆探任務。
在金庸的《射雕英雄傳》[24]中也有講述中國古代“天元術(shù)”的精彩片段：
只見那內(nèi)室墻壁圍成圓形，地下滿鋪細沙，沙上畫著許多橫直符號和圓圈，又寫著些“太”“天元”“地元”“人元”“物元”等字．黃蓉自幼受父親教導，頗精歷數(shù)之術(shù)，見到地下符字，知道盡是些術(shù)數(shù)中的難題，那是算經(jīng)中的“天元之術(shù)”，雖然甚是繁復，但只要一明其法，也無甚難處（按：即今日代數(shù)中多元多次方程式，我國古代算經(jīng)中早記其法，天、地、人、物四字即西方代數(shù)中X、Y、Z、W四未知數(shù)）．黃蓉從腰間抽出竹棒，倚在郭靖身上，隨想隨在沙上書寫，片刻之間，將沙上所列的七八道算題盡數(shù)解開．
這些算題那女子（瑛姑）苦思數(shù)月，未得其解，至此不由得驚訝異常，呆了半晌，忽問：“你是人嗎？”黃蓉微微一笑，道：“天元四元之術(shù)，何足道哉？算經(jīng)中共有一十九元，‘人’之上是仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天，‘人’之下是地、下、低、減，落、逝、泉、暗、鬼．算到第十九元，方才有點不易罷啦！”那女子（瑛姑）沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一跤跌在細沙之中……
教師將這段與方程有關(guān)的文字素材展示給學生，再播放影視作品《射雕英雄傳》中的對應片段，讓學生對“一元一次方程”的概念有更進一步的理解，對方程有更深入的體會．教師在講解“一元一次方程”概念時，借鑒“一元一次方程”的發(fā)展歷史來講解新課，使用小說素材，講述有關(guān)方程的趣事，可以提升學生的學習興趣，培養(yǎng)學生積極的態(tài)度．在課堂中為學生提供“一元一次方程”方程概念的來龍去脈，提供學生感興趣的與數(shù)學文化有關(guān)的小說讀物，數(shù)學課堂變得更加多彩，更具人文價值．數(shù)學教育的人文價值一直是數(shù)學教育的重要價值取向[25]，數(shù)學教師需要積極開發(fā)數(shù)學課堂的人文教育功能[26]，提高學生對數(shù)學的積極態(tài)度．
教育家斯賓塞（Herbert Spenser）認為：兒童的教育，無論在方式上，或在安排上，均須與歷史上人類的教育相對應[27]．換言之，個人知識的發(fā)生必須遵循種族知識發(fā)生的途徑[27]．弗賴登塔爾（H. Freudenthal）強調(diào)：盡管年輕人的學習方式改變了，但年輕人的學習仍會重蹈人類的學習過程[28]．數(shù)學教師都應該學習數(shù)學史，應該在課堂中引入數(shù)學史來避免先驅(qū)的失誤在學生中重現(xiàn)[29]．在數(shù)學課堂教學中，教師引入數(shù)學家的錯誤和先驅(qū)的失誤，會讓學生對數(shù)學概念和運算過程更加清晰，可以有效地讓學生避免這些錯誤．在課堂教學中，教師應該讓學生重新經(jīng)歷人類認識數(shù)學的重大幾步[30]，這樣的數(shù)學課堂會取得更好的教學效果．
隨著大一統(tǒng)農(nóng)業(yè)合作體系的形成，國民政府又開始著手重建合作金庫體系，為合作事業(yè)發(fā)展提供貸款支持。合作金庫雖自抗戰(zhàn)初期即開始發(fā)展，但始終未能建立中央合作金庫，各省縣合作金庫分散發(fā)展，未形成統(tǒng)一體系，從1943年起，國民政府即致力于中央合作金庫的籌備工作，經(jīng)過幾年努力，中央合作金庫最終于1946年11月1日正式成立。
納布啡靜注后引起眩暈，其作用機制不明，實驗證實腦缺血、缺氧后腦內(nèi)β-內(nèi)啡肽濃度升高[10]，內(nèi)源性β-內(nèi)啡肽濃度增高可引起眩暈。異丙嗪可以抑制前庭功能，阻斷前庭核區(qū)膽堿能突觸迷路沖動的興奮，具有較強的止吐作用及抗暈動作用。異丙嗪是治療眩暈癥常用藥物之一，對中樞性眩暈和周圍性眩暈有較好的療效 [13]，本研究結(jié)果表明，小劑量異丙嗪可有效預防納布啡靜注后引起的眩暈。由于異丙嗪對中樞神經(jīng)系統(tǒng)有鎮(zhèn)靜抑制作用，與丙泊酚有協(xié)同作用，可減少丙泊酚用量。納布啡用于無痛胃腸鏡檢查，比舒芬太尼呼吸抑制發(fā)生率低，血氧飽和度高，提示納布啡用于無痛胃腸鏡安全性優(yōu)于舒芬太尼。
在“有理數(shù)的運算”的教學中，可以引入“有理數(shù)運算法則”的歷史，讓學生對運算的法則理解得更加透徹，避免運算的錯誤．《九章算術(shù)》[15]中記載了有理數(shù)的加減法運算法則：“正負術(shù)曰：同名相除，異名相益．正無入負之，負無入正之．其異名相除，同名相益．正無入正之，負無入負之．”元代朱世杰在《算學啟蒙》[20]記載了有理數(shù)的乘除法運算法則：“同名相乘為正，異名相乘為負”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負”．教師通過引入《九章算術(shù)》和《算學啟蒙》中有關(guān)有理數(shù)的表述，讓學生感悟有理數(shù)的運算法則，體會中國古代的數(shù)學成就，了解有理數(shù)運算法則的起源與發(fā)展．
同時，為了加深學生對負數(shù)和負數(shù)運算的理解，避免產(chǎn)生類似于西方數(shù)學家的疑惑，教師應該在課堂中引入一些西方數(shù)學家的錯誤觀念，讓學生澄清錯誤的負數(shù)觀念，避免錯誤的觀念重現(xiàn)．在16—17世紀時，西方大多數(shù)數(shù)學家并不承認負數(shù)是數(shù)，或者即使承認了，也并不認為它們是方程的根．1544年，德國數(shù)學家施蒂費爾（Michael Stifel）在《整數(shù)算術(shù)》中提到：如果以2為底數(shù)的話，2的-1次方對應的是
數(shù)學教育學者Arcavi[33]在課堂教學中曾經(jīng)引用過有關(guān)負數(shù)歷史的例子，這個例子[34]是：“17世紀，法國數(shù)學家Arnaud（1612—1694）曾經(jīng)寫過一封信給他的同事Prestet（1648—1691），他在信中寫道：如何把-1/1和1/-1在比例的法則下協(xié)調(diào)起來？一方面，如果考慮分數(shù)方程-1/1=1/-1，比例法則是正確無誤的；但是另一方面，這個方程并沒有看上去那么的準確，較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么可以等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢？”Arcavi[33]通過讓學生在課堂中討論這一例子，在教師的引導下，讓學生在討論中澄清對負數(shù)的錯誤觀念，讓學生避免數(shù)學家的類似錯誤．教師可以通過在課堂中介紹負數(shù)的歷史，讓學生加深對負數(shù)概念的理解，澄清學生的困惑，避免錯誤的觀念重現(xiàn)．
在“3.3整式”的教學中，為了預防學生出現(xiàn)用
教師通過在課堂中介紹指數(shù)符號的發(fā)展歷程，讓學生在腦海中澄清用
表1 整式符號的發(fā)展歷史
符號韋達[35]（Viète）哈里奧特[36]（Harriot）埃里岡[37]（Herigone）笛卡兒[38]（Descartes）現(xiàn)代符號 a和b相乘a in babababab a的二次方a.quadaaa2aa（表示面積）、a2a2 a的三次方a.cubumaaaa3a3a3
在“6.2普查與抽樣調(diào)查”的教學中，為了預防學生在抽樣調(diào)查中出現(xiàn)忽視樣本的代表性和廣泛性，片面關(guān)注大樣本的錯誤情況，教師在課堂中引入“《文學文摘》雜志社對1936年總統(tǒng)選舉的預測”的反面故事[40]，同時引入“蓋洛普（Gallup George Horace）民意測驗所對1936年總統(tǒng)選舉的預測”的正面故事[41]．教師通過正反兩方面的數(shù)學史故事，引導學生避免在抽樣調(diào)查中重蹈《文學文摘》雜志社的錯誤，讓學生體會抽樣調(diào)查的樣本應該具有代表性和廣泛性的特點．
在“《文學文摘》雜志社對1936年總統(tǒng)選舉的預測”的反面故事中，教師通過這個故事讓學生意識到，雖然《文學文摘》采用了1?000萬的大樣本，但由于樣本缺乏廣泛性和代表性，《文學文摘》的預測最終失敗了．教師在融入反面故事的同時，引入“蓋洛普民意測驗所對1936年總統(tǒng)選舉的預測”的正面故事：蓋洛普在抽樣調(diào)查時，只抽樣調(diào)查了1?000個樣本，但是他注意到樣本在性別、年齡、職業(yè)、收入、種族和文化層次等基本指標的分布同美國人口的結(jié)構(gòu)保持一致．這樣的樣本實際上是美國總?cè)丝诘囊粋€縮影，因而具有代表性和廣泛性．因此蓋洛普大膽預言羅斯福將連任總統(tǒng)，蓋洛普民意測驗的預測最終獲得成功．教師通過在課堂中介紹《文學文摘》和蓋洛普的統(tǒng)計學故事，使得學生對于抽樣調(diào)查的樣本選取更加的重視和認真，對于“抽樣調(diào)查要注意樣本的廣泛性和代表性”這一知識點理解的更加深入．同時，教師可以提醒學生避免重犯《文學文摘》在抽樣調(diào)查中的錯誤，澄清學生腦海中“大樣本一定能保證調(diào)查結(jié)論準確”的錯誤觀念．
墨西哥竹子的利用可追溯到數(shù)千年前，其資源豐富且易于收獲。在墨西哥溫暖潮濕的氣候條件下，竹屋或竹制庇護所方便建造且能夠提供良好的居住環(huán)境，在整體特性上優(yōu)于木屋(圖7)。然而，在15世紀隨著西班牙人的到來，新的建筑施工技術(shù)隨之而來，殖民地建筑不僅在墨西哥而且在所有美洲國家大量使用。盡管竹子已經(jīng)使用了數(shù)千年，但歐洲征服者認為竹材是次要材料或窮人的材料，而是采用其他建筑材料建設(shè)殖民地的基礎(chǔ)設(shè)施。但是，土著居民仍然保持著利用竹子的傳統(tǒng)。墨西哥竹利用發(fā)展的停滯與過去500年來歐洲人對土著居民的社會壓制直接相關(guān)。
F·克萊因[42]（F. Klein）指出：“教學應遵循人類從知識的原始狀態(tài)到更高級形式的道路．推廣這種自然的、真正科學的教學的主要障礙是缺乏歷史知識．”數(shù)學史知識可以為學生的數(shù)學學習提供有力的支撐，有助于學生感受數(shù)學、感受數(shù)學文化[43]．數(shù)學家的軼聞趣事，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣[43]．數(shù)學教育需要更多的數(shù)學文化素材和數(shù)學故事來改善數(shù)學課堂的現(xiàn)狀．因此，整理出數(shù)個可用于初一數(shù)學課堂的數(shù)學歷史故事，為初中數(shù)學教師提供數(shù)學史融入課堂教學的素材，希望為課堂帶來一些新鮮的氣息，從而達到導入新課內(nèi)容，提高學生的數(shù)學學習興趣的目的．
在“2.10科學記數(shù)法”的新課教學中，如果一開始直接講授科學記數(shù)法的概念，會顯得有點生硬和突兀，這時不妨用一則數(shù)學史小故事作為新課的開頭，為數(shù)學課堂增添人文的色彩．這則故事的名字叫“海邊奇思”[44]．教師通過“海邊奇思”這則故事來吸引學生的注意，讓學生感到數(shù)學課的趣味．故事[45]如下：
公元前3世紀后半葉的某一天，阿基米德的朋友、敘拉古王子蓋羅在海邊散步．阿基米德三句話不離本行，談起了數(shù)學問題．
電力電纜設(shè)備故障的類型比較多，在當前技術(shù)應用中需要做好具體技術(shù)分析工作，結(jié)合系統(tǒng)本身流程要求和探測要求等，在故障分析的過程中采用循序漸進的方式進行處理。最重要的是強化系統(tǒng)日常維護處理，保證電力電纜設(shè)備發(fā)揮穩(wěn)定性，為行業(yè)進步奠定基礎(chǔ)。
“我們腳下的這片沙灘共有幾粒沙？”阿基米德問朋友．
屋頂部分，濁漳河兩岸的民居多用懸山頂，山墻面屋頂木構(gòu)架裸露，屋頂敷小青瓦。虹霓河、宑底河由于海拔較高，交通不便，建筑材料短缺，民居屋頂會使用石板。有部分民居，同一建筑屋頂會混合鋪砌石板和青瓦，并運用石板疊澀出際山墻。立面上的門窗洞口采用石質(zhì)或木質(zhì)過梁，規(guī)模較大的商賈大院，門窗過梁上都有精美的木雕，二層開的券窗上會有精美的磚雕；山區(qū)民居建筑屋頂多鋪石板，出山墻面不做或略作懸挑。由于山區(qū)溫度較低，建筑立面門窗洞口都比較小，其式樣也較為簡潔，且山墻面和后檐墻面一般都不開門窗。結(jié)合建筑高度及結(jié)構(gòu)類型，依據(jù)墻體及屋頂?shù)慕ㄔ觳牧峡蓪⒚窬诱⒚婕吧綁γ鏆w納為如圖12、13所示的幾種類型。
“想必有無窮多粒吧．”蓋羅回答．
“那整個西西里島上的沙粒數(shù)呢？”阿基米德接著問.
“當然也是無窮．”蓋羅不假思索．
“可是，親愛的朋友，不僅是西西里島，世界上任何一個地方的沙粒數(shù)都是有限的．我可以證明，我能找到一個大數(shù)，使得裝滿整個地球、甚至整個宇宙的沙粒數(shù)不超過這個數(shù)！”阿基米德自信地說．阿基米德通過他的幾何證明，證明出整個宇宙的沙粒數(shù)目不超過1后面63個0．
通過讓學生們幫助阿基米德表示出這個大數(shù)，從而引出科學計數(shù)法這一新課內(nèi)容．雖然這個“海邊奇思”的故事是后人根據(jù)阿基米德的《數(shù)沙者》編寫的故事，真實性有待考究，但是從數(shù)學文化的角度來說，如果可以讓學生感受到數(shù)學之美和數(shù)學的魅力，這樣的數(shù)學文化素材也是非常具有教育意義和價值的．因此教師在課堂教學中，可以融入一些數(shù)學家的軼事、趣聞和故事，發(fā)展學生的數(shù)學意識，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度．
在“3.1字母表示數(shù)”的新課講授中，教師可以運用數(shù)學故事來引起學生的有意注意，提高學生興趣．教師通過數(shù)學故事“到底有多少家伙”來回答“為什么需要用字母表示數(shù)”的問題，激發(fā)學生學習動機．在新課的教學中，教師引用英國幽默作家杰羅姆在《懶人閑思錄》[45]中的一段故事：
老福站起來對姐弟倆說：“你們放心，我從不誣陷誰，也不會放走罪犯。最近請你們配合我們調(diào)查，不要離開本市?！闭f完，三個人離開了羅家。
十二世紀的青年墮入情網(wǎng)，你可別指望他會后退三步，凝視情人的眼睛，然后告訴她：你太美了，美得簡直不像活人．他會說他要到外邊去看看，倘若正好碰上那么一位仁兄，并打破他的腦袋——我指的是另外那個家伙的腦袋，這就說明他——前一個人——的情人是個漂亮姑娘．但要是另一個家伙打破他的頭——不是他自己的，這你知道，而是另一個家伙的——另一個家伙是對第二個家伙而言，這就是說，因為事實上另一個家伙僅僅對于他來說才是另一個家伙，而不是第一個家伙——好了，如果他的頭被打破，那么他的女孩——不是另一個家伙的，而這個家伙……
如果一開始讓學生去看這段話，學生會感到非常的迷惑，因為學生搞不清楚到底哪個家伙是哪個家伙．如果把這段話用整式表示的話：
“40年滄桑巨變，這是中國人民在人類發(fā)展史上所創(chuàng)造的偉大奇跡，造就這個奇跡的密碼，就是堅持中國共產(chǎn)黨的領(lǐng)導?！笔嬲拐f。
你瞧，如果A打破了B的頭，那么A的情人就是一個漂亮女孩；反之，如果B打破了A的頭，則A的情人不是漂亮女孩，B的情人才是[44]．
雖然這段話不是數(shù)學史，但是作為一個情景引入的數(shù)學文化素材，同樣可以讓學生感受到數(shù)學的魅力和數(shù)學文化的魅力．為了讓數(shù)學課堂充滿人文的氣息，教師可以運用一些與數(shù)學文化有關(guān)的文學素材，讓數(shù)學看上去不是那么的枯燥、抽象與生硬[33]，改善學生的數(shù)學觀[33]，展示數(shù)學教育的人文價值與人文關(guān)懷．通過杰羅姆在《懶人閑思錄》中與“字母表示數(shù)”有關(guān)的文字片段的引入，學生一定對學習“字母表示數(shù)”非常感興趣，而且覺得數(shù)學非常有用和有價值．
在“綜合與實踐——幻方”課堂中，教師可以融入與“幻方”有關(guān)的數(shù)學文化和文學素材，來培養(yǎng)學生積極的態(tài)度．幻方是科學的結(jié)晶與吉祥的象征，發(fā)源于中國古代的洛書——九宮圖．《易經(jīng)系辭》[46]記載了：“河出圖，洛出書，圣人則之．”《論語》[47]記載了：“子曰：‘鳳鳥不至，河不出圖，吾已矣夫！’”《莊子·天運》[48]提出：“天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇．九洛之事，治成德備，監(jiān)照下土，天下戴之，此謂上皇．”《大戴禮·明堂篇》[49]中有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛書九宮數(shù)記載．教師可以通過融入幻方的歷史引入新課，讓學生了解幻方的歷史起源和發(fā)展．同時，教師還可運用金庸《射雕英雄傳》[24]中的一段“瑛姑與黃蓉的對話”作為教學素材，增添教學中的數(shù)學文化韻味，體現(xiàn)數(shù)學與人文之間的聯(lián)系，展示數(shù)學教育的人文價值．“瑛姑與黃蓉的對話”文摘如下：
那女子（瑛姑）沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一跤跌在細沙之中，雙手捧頭，苦苦思索，過了一會，忽然抬起頭來，臉有喜色，道：“你（黃蓉）的算法自然精我百倍，可是我問你：將一至九這九個數(shù)字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”
黃蓉心想：“我爹爹經(jīng)營桃花島，五行生克之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？”當下低聲誦道：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”邊說邊畫，在沙上畫了一個九宮之圖．
那女子面如死灰，嘆道：“只道這是我獨創(chuàng)的秘法，原來早有歌訣傳世．”
黃蓉笑道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇．就說四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，后以內(nèi)四角對換，六換十一、七換十．這般橫直上下斜角相加，皆是三十四．”那女子依法而畫，果然絲毫不錯．
黃蓉道：“那九宮每宮又可化為一個八卦，八九七十二數(shù)，以從一至七十二之數(shù)，環(huán)繞九宮成圈，每圈八字，交界之處又有四圈，一共一十三圈，每圈數(shù)字相加，均為二百九十二．這洛書之圖變化神妙如此，諒你也不知曉．”
分別計算MA組(N=61)Cys-C、HCY、HbA1c和UmALB單項檢測與聯(lián)合檢測的真陽性率和假陰性率，聯(lián)合檢測采取并聯(lián)檢測，一項或多項指標陽性者即為陽性患者，Cys-C、HCY、HbA1c和UmALB聯(lián)合檢測的真陽性率明顯高于單項指標檢測的真陽性率。見表2。
黃蓉對幻方的深入研究，使得自以為是“神算子”的瑛姑自嘆不如，連聲感嘆“罷了，罷了！”當學生讀到這一小說片段，會對幻方產(chǎn)生濃厚興趣，產(chǎn)生積極學習的心向，從而教師可以順利地開展新課．除了文字資料的呈現(xiàn)以外，教師還可以提供視頻資料，將電視劇中《射雕英雄傳》關(guān)于“幻方”的片段在課堂中播放出來，讓學生對“幻方”留下深刻印象，產(chǎn)生濃厚興趣，同時引出幻方的新課內(nèi)容．數(shù)學文化包含動態(tài)的數(shù)學過程，其中存在著豐富的數(shù)學精神、理念和價值觀[50]．如果數(shù)學教師只注重數(shù)學知識的學習，而忽視數(shù)學文化的熏陶，并不是完整的數(shù)學教育，學生在這樣的學習環(huán)境里難以獲得充分的培育和發(fā)展[50]．
數(shù)學課堂有效滲透數(shù)學史能夠使學生了解數(shù)學的來龍去脈，激發(fā)并保持學生的數(shù)學學習興趣，從而提高數(shù)學學習的長久效益．但必須注意的是，如果課堂教學只是把數(shù)學史從古代到現(xiàn)代匆匆走一回，羅列期間在科學上發(fā)生的主要事件和日期，那么它的教育價值與只要求學生熟記歷代皇朝的年份沒有任何區(qū)別．在講課中，完全沒加入數(shù)學史比胡亂加入數(shù)學史的課堂效果會更好．弗賴登塔爾[51]強調(diào)：“我們不應該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應是遵循經(jīng)過改良、同時有更好引導作用的歷史過程．”教師在教學中不應簡單地去重復當年的真實歷史，而應致力于數(shù)學歷史的重構(gòu)，發(fā)揮重要的指導作用，更加注重學生的主動發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學課真正“教活、教懂、教深”[52]．為了實現(xiàn)弗賴登塔爾所倡導的“數(shù)學再創(chuàng)造”，將數(shù)學的歷史和文化融入數(shù)學課堂必須謹慎執(zhí)行，教師在實踐的過程中應該保持專業(yè)性和高效性．
(4)求關(guān)聯(lián)度。將關(guān)聯(lián)系數(shù)按樣本數(shù)k求其平均值后可以等到一個m*l的關(guān)聯(lián)度矩陣r(公式6)。m、l分別為機場優(yōu)勢度和旅游業(yè)發(fā)展水平指標體系的具體指標數(shù)量。
研究將所提及的教學案例的相關(guān)知識點、教學章節(jié)、數(shù)學史素材、教學方式、教學方法、數(shù)學史融入的方法和教學環(huán)節(jié)進行了整理，希望對一線數(shù)學教師實施數(shù)學史融入數(shù)學課堂的教學方法提供有益的幫助（如表2所示）．
表2 數(shù)學史融入課堂的運用方式
序號教學章節(jié)知識點數(shù)學史素材教學方法[10]教學方式[11]數(shù)學史融入的方法[12]教學環(huán)節(jié) 12.1有理數(shù)負數(shù)負數(shù)的歷史基于歷史法重構(gòu)式提供歷史信息探究新課 22.1有理數(shù)有理數(shù)“有理數(shù)”——“一場美麗的誤會”基于歷史法附加式提供歷史信息發(fā)展數(shù)學意識講授新課 32.9有理數(shù)的乘方冪、乘方“冪”、“乘方”的歷史基于歷史法重構(gòu)式提供歷史信息發(fā)展數(shù)學意識講解概念 45.1認識一元一次方程一元一次方程“方程”的歷史啟發(fā)法基于歷史法重構(gòu)式復制式提供歷史信息講解概念 5有理數(shù)的運算法則共5節(jié)有理數(shù)的運算法則有理數(shù)運算法則的歷史“數(shù)學家Arnaud的困惑”基于歷史法模塊教學法附加式復制式提供歷史信息討論數(shù)學話題發(fā)展數(shù)學意識講授知識鞏固練習 63.3整式整式指數(shù)符號的發(fā)展史、整式書寫的發(fā)展史基于歷史法重構(gòu)式提供歷史信息發(fā)展數(shù)學意識講授知識鞏固練習 76.2普查與抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查史中正例和反例啟發(fā)法復制式討論數(shù)學話題發(fā)展數(shù)學意識創(chuàng)設(shè)情境講解知識 82.10科學記數(shù)法科學記數(shù)法“海邊奇思”啟發(fā)法順應式發(fā)展數(shù)學意識故事引入 93.1字母表示數(shù)代數(shù)式“到底有多少家伙”啟發(fā)法附加式發(fā)展數(shù)學意識故事引入創(chuàng)設(shè)情境 10綜合與實踐——幻方幻方幻方的歷史和故事模塊教學法啟發(fā)法提供歷史信息發(fā)展數(shù)學意識故事引入創(chuàng)設(shè)情境
數(shù)學課堂的教學改革需要教育取向的數(shù)學史與數(shù)學文化研究，開發(fā)與中學教學內(nèi)容相契合的數(shù)學史融入數(shù)學課堂案例，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度[53]．在數(shù)學課堂上融入數(shù)學史和數(shù)學文化，不僅僅為了調(diào)節(jié)課堂氣氛，發(fā)揮調(diào)味品的作用，更重要的是讓學生理解數(shù)學的歷史和現(xiàn)狀，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度．教師通過數(shù)學史融入課堂，轉(zhuǎn)變學生對于數(shù)學刻板、枯燥和抽象的看法，改善學生的數(shù)學觀．這不是一項容易的事情，新時代的數(shù)學老師需要學習數(shù)學史，了解數(shù)學知識的來龍去脈[54]，從而更好地肩負起這項責任．研究提供了數(shù)學史融入數(shù)學課堂的運用方法，以及數(shù)學史融入數(shù)學課堂的案例，旨在為初中數(shù)學教師能更高效、更專業(yè)地開展數(shù)學史融入數(shù)學課堂的實踐提供可資借鑒的數(shù)據(jù)和實例．
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ZENG Zheng1, YANG Yu-hui1, LI Xue-liang2
(1. Foshan University, Guangdong Foshan 528000, China; 2. Foshan Nanhai District Nanhai Experimental Middle School, Guangdong Foshan 528000, China)
Abstract: The current junior high school mathematics classroom placed too much emphasis on the students’ ability to master the knowledge of mathematics content and develop students’ mathematics reasoning ability. However, they neglected to allow students to understand the current situation and historical development of mathematics and cultivate students’ positive attitude towards mathematics. The integration of mathematics history into junior high school mathematics classroom teaching allowed students to understand the current state and history of mathematics and to develop students’ positive attitude towards mathematics. This article provided methods for Integrating the history of mathematics into the mathematics classroom for junior high school students, and conducted case studies on the integration of mathematics history into the junior high school class to provide teaching references for junior middle school mathematics teachers. The case study of the integration of mathematics history into the junior high school classroom was mainly divided into three parts: 1. deepening the understanding of mathematical concepts; 2. avoiding mathematicians from making mistakes; 3. introducing new classes to improve interest in learning.
Key words: history of mathematics; junior high school mathematics teaching; teaching method; case study
收稿日期：2018–08–08
基金項目：佛山市教育局教育科學規(guī)劃2017年度專項課題——初中數(shù)學教師課程資源開發(fā)：現(xiàn)狀、問題及對策（FSGH201711）
作者簡介：曾崢（1962—），男，廣東蕉嶺人，教授，碩士研究生導師，主要從事數(shù)學史、數(shù)學文化和數(shù)學教育的研究．
中圖分類號：G633.6
文獻標識碼：A
文章編號：1004–9894（2019）01–0012–07
引用格式：曾崢，楊豫暉，李學良．數(shù)學史融入初中課堂的案例研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（1）：12-18．
[責任編校：張楠、陳雋]
