蔡甜甜1，劉國(guó)祥2，寧連華2
（1．南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097；2．南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210097）
摘要：數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)，以“等待時(shí)間”理論、參與者知識(shí)觀等為基礎(chǔ)，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問(wèn)題創(chuàng)造了條件，能有效提高學(xué)生的課堂參與度，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中存在著留白藝術(shù)運(yùn)用偏少，教師話語(yǔ)過(guò)多；時(shí)機(jī)不當(dāng)，生成性留白少；流于形式，缺少思維含量；等等問(wèn)題，值得關(guān)注與改進(jìn)．
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂留白；內(nèi)涵；理論基礎(chǔ)；教學(xué)價(jià)值；實(shí)踐反思
蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“有經(jīng)驗(yàn)的教師往往只是微微打開(kāi)一扇通往一望無(wú)際的知識(shí)原野的窗子．”誠(chéng)然，在課堂教學(xué)中，教師如果講授得太多，就會(huì)消減學(xué)生自我咀嚼的機(jī)會(huì)，反而可能削弱重點(diǎn)，易使學(xué)生因持久聽(tīng)講而產(chǎn)生疲勞，感到枯燥乏味；設(shè)置課堂留白，給學(xué)生提供思考的“空白時(shí)間帶”，則可以調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性與積極性，讓學(xué)生基于自己的理解構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)．“留白”并不意味著什么都不做，而是要以此為契機(jī)啟迪學(xué)生思維，產(chǎn)生“言有盡而意無(wú)窮”的效果．
結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，旨在探析數(shù)學(xué)課堂留白的內(nèi)涵、理論基礎(chǔ)與教學(xué)價(jià)值，并對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中存在的問(wèn)題進(jìn)行反思，以期提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效能，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．
“留白”一詞最初源于中國(guó)傳統(tǒng)國(guó)畫藝術(shù)，是許多藝術(shù)種類的重要表現(xiàn)手法之一．詩(shī)人稱“空白”為“含蓄”，書法家稱其為“飛白”，畫家稱其為“留白”或“布白”，音樂(lè)家叫它為“煞聲”[1]．留白藝術(shù)即指創(chuàng)作者在作品中有意預(yù)留空白之處，為觀者、讀者或聆聽(tīng)者留下自主想象的空間．留白藝術(shù)的運(yùn)用使得觀者欣賞作品時(shí)能融入自身的思考與理解，不僅僅是被動(dòng)地接受創(chuàng)作者的意圖，而是有主動(dòng)再創(chuàng)作的機(jī)會(huì)．
雖然對(duì)于留白藝術(shù)的研究在國(guó)內(nèi)興起較早，但是將留白藝術(shù)應(yīng)用于教育領(lǐng)域，對(duì)課堂教學(xué)留白進(jìn)行研究在國(guó)內(nèi)則起步較晚．國(guó)外對(duì)于留白藝術(shù)教學(xué)的研究，主要集中在理論基礎(chǔ)方面．近年來(lái)，隨著課程改革的推進(jìn)，留白藝術(shù)在課堂教學(xué)中的運(yùn)用在國(guó)內(nèi)也得到高度重視，進(jìn)行了積極的實(shí)踐探索．
在當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，“滿堂灌、一言堂”的教學(xué)方式顯然已經(jīng)不再適用，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教育研究者及一線教師開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中留白藝術(shù)的運(yùn)用．伏爾泰曾說(shuō)：“令人討厭的藝術(shù)是把什么都說(shuō)出來(lái)了．”這也印證了課堂教學(xué)需要留白．就數(shù)學(xué)教育而言，課堂留白意味著：在某個(gè)課程主題的教學(xué)過(guò)程中，不將相關(guān)內(nèi)容完全呈現(xiàn)給學(xué)生，有意識(shí)地留下一個(gè)“理解缺口”，讓學(xué)生通過(guò)思考去填入自己的理解性結(jié)果；不以確定的學(xué)習(xí)內(nèi)容填滿整個(gè)教學(xué)時(shí)段，有意識(shí)地給學(xué)生留下一段時(shí)間思考屬于自己的數(shù)學(xué)[2]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中的留白給學(xué)生留下思考和想象的空間，使得留白變成一種真正的智慧，更使師生間的思維空間得到契合[3]．
數(shù)學(xué)課堂留白，指數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)的某些環(huán)節(jié)中，有意留出一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生自主思考、感悟，為學(xué)生構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從事數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解提供機(jī)會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的運(yùn)用，為師生思維火花的碰撞提供契機(jī)，有助于提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效能．
現(xiàn)階段，隨著我國(guó)中小河流水文測(cè)站迅猛增加，帶來(lái)一系列問(wèn)題：因無(wú)人員編制，導(dǎo)致常規(guī)駐站式測(cè)流方法缺乏可行性；洪水發(fā)生時(shí)，工作人員無(wú)法及時(shí)趕到測(cè)流斷面現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)洪峰；纜道、橋、船等傳統(tǒng)的測(cè)流方法可操作性差；水位—流量建立相關(guān)線法，由于無(wú)法過(guò)河測(cè)流，相關(guān)關(guān)系線的建立無(wú)法保證。解決以上問(wèn)題最好的辦法是實(shí)現(xiàn)流量實(shí)時(shí)在線自動(dòng)化監(jiān)測(cè)。
中國(guó)傳統(tǒng)道家思想強(qiáng)調(diào)無(wú)為而治，為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了哲學(xué)基礎(chǔ)，留白時(shí)看似無(wú)為卻有所為．美學(xué)中常追求以虛襯實(shí)、虛實(shí)相生的境界，則為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了美學(xué)基礎(chǔ)．除此之外，“等待時(shí)間”理論和參與者知識(shí)觀也為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了豐富的理論基礎(chǔ)．
2.2.1 “等待時(shí)間”理論
[4]The thrust of supply-side policy is less clear,despite the term’s prominence at recent economicplanning meetings and its dissection in numerous articles published by state media.（2016-01-02）
20世紀(jì)70年代，美國(guó)心理學(xué)家羅伊針對(duì)課堂教學(xué)提出“等待時(shí)間”的觀點(diǎn)，并將其細(xì)化為兩類，即“第一等待時(shí)間”和“第二等待時(shí)間”．“第一等待時(shí)間”是指教師提出一個(gè)問(wèn)題之后和請(qǐng)學(xué)生回答問(wèn)題之前的間隔時(shí)間．“第二等待時(shí)間”是指學(xué)生回答問(wèn)題之后和教師對(duì)學(xué)生的回答做出評(píng)論之前的間隔時(shí)間[4]．“第一等待時(shí)間”給學(xué)生機(jī)會(huì)從自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中搜索有效信息并加以整理，以便清晰而有邏輯地表述自己的觀點(diǎn)．“第二等待時(shí)間”要求學(xué)生給出答案之后，教師適當(dāng)停頓，而不是立即給出評(píng)價(jià)或反饋，這樣可以給學(xué)生時(shí)間重新思考、修正并擴(kuò)充答案，有利于學(xué)生完整地給出回答．研究表明，如果教師在提問(wèn)之后，能把兩種不同的等待時(shí)間分別延長(zhǎng)至3秒或3秒以上，學(xué)生的邏輯思維、教師對(duì)學(xué)生的態(tài)度和期待都會(huì)發(fā)生顯著的積極變化[4]．
課堂教學(xué)中的合理留白，是“等待時(shí)間”理論的一種重要運(yùn)用．“留白”與“等待”看似是在放慢速度，其實(shí)是為了追求更高的效率．在此過(guò)程中，學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)，還可能會(huì)引申出與此相關(guān)的其它問(wèn)題，課堂由此成為學(xué)生生成問(wèn)題并解決問(wèn)題的主要陣地[5]，有助于實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生全面可持續(xù)發(fā)展．
2.2.2 參與者知識(shí)觀
2.2 測(cè)定方法 用卷尺測(cè)定樹(shù)高、冠幅、干高，用角度尺測(cè)量枝條開(kāi)張角度；處理組和對(duì)照組骨干枝上選取飽滿度一致的側(cè)芽134個(gè)，調(diào)查萌發(fā)率、抽生新梢類型；處理組和對(duì)照組各選取134條中短枝，調(diào)查頂花芽數(shù)量；全樹(shù)采果測(cè)定產(chǎn)量。
數(shù)學(xué)知識(shí)不是純粹傳遞與接收的結(jié)論性產(chǎn)品，而是個(gè)人參與構(gòu)建、探究的生產(chǎn)性過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)者不必旁觀所謂“權(quán)威的知識(shí)”，接受既定的知識(shí)，而是要在參與意義創(chuàng)生的過(guò)程中，親歷、體悟、生成知識(shí)，這就是數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的“參與者知識(shí)觀”[6]．根據(jù)建構(gòu)主義理論，教學(xué)過(guò)程不是傳遞已有知識(shí)，而是幫助學(xué)生在個(gè)人經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)和深化理解．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)中的留白，為學(xué)生融入個(gè)人的體驗(yàn)、感悟與理解提供了機(jī)會(huì)，學(xué)生不再是被動(dòng)接受數(shù)學(xué)知識(shí)的旁觀者，而是數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)觀建構(gòu)的參與者，有助于學(xué)生逐步形成正確的價(jià)值觀念，發(fā)展關(guān)鍵能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成．并非所有數(shù)學(xué)知識(shí)都能由教師用顯性的方式直接教給學(xué)生，通過(guò)留白參與知識(shí)的建構(gòu)，也有利于學(xué)生數(shù)學(xué)緘默知識(shí)的獲得．
A·A·斯托利亞爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”，其關(guān)鍵就在于教學(xué)生學(xué)會(huì)思考．在數(shù)學(xué)課堂中合理運(yùn)用留白藝術(shù)，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、自主思考、深度學(xué)習(xí)的空間，有助于讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的參與者和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)者，將有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)．
“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，有效數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)高質(zhì)量的好問(wèn)題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力”的課程目標(biāo)[7]．在數(shù)學(xué)課堂中合理運(yùn)用留白藝術(shù)，可以給學(xué)生充分的時(shí)間、空間去思考，將發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生自主分析和解決問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性．意大利教育家蒙臺(tái)梭利曾說(shuō)過(guò)：“我看到了，我忘記了；我聽(tīng)到了，我記住了；我做過(guò)了，我理解了．”這對(duì)數(shù)學(xué)教育具有重要的啟發(fā)意義，很多內(nèi)容僅僅聽(tīng)老師講、看老師演示是不夠的，學(xué)生只有自己經(jīng)歷分析與解決問(wèn)題的過(guò)程才能形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，留白藝術(shù)的運(yùn)用為其創(chuàng)造了條件．
案例1：三次函數(shù)性質(zhì)的研究
教師提出如下問(wèn)題：已知三次函數(shù)
學(xué)生思考一段時(shí)間后，給出回答：在研究二次函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，想到可以研究三次函數(shù)的奇偶性，比如
點(diǎn)外賣時(shí)，最好選擇那些派送及時(shí)，且具備一定貯藏保鮮條件的餐館，比如使用密封保鮮盒盛放菜品、采用低溫冷鏈配送等，這些措施有助抑制微生物生長(zhǎng)繁殖，避免引發(fā)食源性疾病。
教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)，列出了一些想要研究的內(nèi)容：
問(wèn)題1 單調(diào)性（曲線C的形狀）；
問(wèn)題2 函數(shù)的極值；
問(wèn)題3 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
問(wèn)題4 曲線C的對(duì)稱性——中心對(duì)稱；
東野圭吾的《解憂雜貨店》是占據(jù)排行榜前幾名很長(zhǎng)時(shí)間的一本書，同名電影也迅速紅了起來(lái)。小說(shuō)中寫道，這個(gè)雜貨店后門不開(kāi)，時(shí)間就不流逝。三個(gè)小偷碰巧進(jìn)了這個(gè)雜貨店，居然幫助了好多人，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)自己生活在40年之后，可以準(zhǔn)確預(yù)見(jiàn)40年前的日本經(jīng)濟(jì)文化情況。我問(wèn)學(xué)生，如果我們可以預(yù)見(jiàn)未來(lái)，或者先有未來(lái)再有現(xiàn)在，你是否會(huì)更珍惜？雖然不能預(yù)見(jiàn)未來(lái)，但是我們活在現(xiàn)在，可以寫給未來(lái)的自己。
…………
這一案例中，教師沒(méi)有直接告訴學(xué)生這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而是在給出研究對(duì)象后，留出時(shí)間讓學(xué)生自己思考想要研究三次函數(shù)的哪些性質(zhì)，這樣的留白很好地促進(jìn)了學(xué)生的思維，學(xué)生對(duì)于自己提出的問(wèn)題更感興趣，研究的積極性也更高．在提出問(wèn)題后，教師給了學(xué)生充分的時(shí)間自主探究并表達(dá)自己的想法，而不是直接講解．在這樣的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生不用花很多精力去理解并跟隨教師的“指令”，而可以更深刻地思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)．事實(shí)上，相較于三次函數(shù)具體性質(zhì)的識(shí)記，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生類比之前的研究過(guò)程，學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄑ芯啃碌臄?shù)學(xué)對(duì)象，這里留白藝術(shù)的運(yùn)用起到了很好的效果．
人的大腦不是被動(dòng)地接受知識(shí)，它是永恒活動(dòng)著的，能對(duì)外部的刺激做出最精密的反應(yīng)[8]．在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用留白藝術(shù)，能提高學(xué)生的課堂參與度，促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)，他們不再是機(jī)械地記憶老師傳遞的“知識(shí)”，而是可以及時(shí)對(duì)所獲得的信息做出反應(yīng)，融入自己的理解，積極建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)課堂留白的過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行思維活動(dòng)的過(guò)程，有助于學(xué)生形成自己的認(rèn)知策略，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成具有重要意義．
式中，Bi為多時(shí)相近紅外最小值合成圖像上第i個(gè)像元的灰度值；Bmax和Bmin分別表示在多時(shí)相全色圖像上提取的積雪范圍內(nèi)，通過(guò)近紅外波段多時(shí)相最小值合成后圖像上的最大像元值和最小像元值.當(dāng)上式成立時(shí)，像元值賦為1，表示為積雪，否則為0，表示為非積雪區(qū).
例如，數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的重要橋梁，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為六大核心素養(yǎng)之一，值得充分關(guān)注．然而，僅通過(guò)教師的講授難以切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師在課堂教學(xué)中，可以考慮留出時(shí)間，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，在做中學(xué)，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)．這樣的留白能有效提高學(xué)生的課堂參與度，也有助于學(xué)生提升用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力．
課堂教學(xué)的容量并不是越大越好，過(guò)度填塞知識(shí)反而不利于“消化吸收”．一整節(jié)數(shù)學(xué)課如果都是教師在講授，學(xué)生很容易覺(jué)得枯燥乏味，注意力不容易集中．適當(dāng)留白，包括安排小組合作、探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)等，則可以調(diào)節(jié)教學(xué)的節(jié)奏，避免緊張、沉悶的課堂氣氛，使教學(xué)節(jié)奏松弛有度，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與參與度．
近年來(lái)隨著核心素養(yǎng)的提出與發(fā)展，深度學(xué)習(xí)逐漸成為教育領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的研究也已取得了一定的成果．?dāng)?shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程；它與淺層學(xué)習(xí)相區(qū)別，不是簡(jiǎn)單的知識(shí)記憶，而是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體認(rèn)知[9]．?dāng)?shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的運(yùn)用為學(xué)生深度學(xué)習(xí)提供了空間，有助于學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．
著名教育家夸美紐斯在其教育著作《大教學(xué)論》中指出：應(yīng)尋求并找出一種教學(xué)的方法，使教員因此可以少教，但學(xué)生可以多學(xué)．“少教多學(xué)”的理念在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的運(yùn)用也已取得了較為豐碩的實(shí)踐成果．?dāng)?shù)學(xué)課堂上，如果教師一直在講授，學(xué)生缺少思考的時(shí)間，是不利于其掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、提升思維品質(zhì)的，即“多教”并不一定能“多學(xué)”．鑒于此，適當(dāng)減少數(shù)學(xué)教師課堂上的講授，合理運(yùn)用課堂留白，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與反思創(chuàng)造了條件，有助于收到“少教多學(xué)”的效果．
基于已有相關(guān)研究及對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的觀察發(fā)現(xiàn)：目前中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的運(yùn)用仍存在一些有待商榷之處，值得數(shù)學(xué)教育工作者在教學(xué)實(shí)踐與未來(lái)研究中進(jìn)一步探索．
受到課時(shí)緊張、考試壓力等諸多因素的影響，不少數(shù)學(xué)教師還是習(xí)慣于采用講授法作為主要的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)課堂中留給學(xué)生自主思考、表達(dá)想法的時(shí)間總體上還是偏少．講授法固然是一種重要且高效的教學(xué)方式，但不能給學(xué)生留下數(shù)學(xué)就是枯燥的講授、乏味的練習(xí)這樣冰冷的印象．教師話語(yǔ)過(guò)多，反而會(huì)剝奪學(xué)生的思考空間，削弱學(xué)生思考問(wèn)題、理解知識(shí)的質(zhì)量與效力．鑒于此，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用留白藝術(shù)，多給學(xué)生思考、探究、表達(dá)的機(jī)會(huì)，不可“操之過(guò)急”，避免在學(xué)生還未充分思考時(shí)就給予不必要的提示．
以數(shù)學(xué)課堂的小結(jié)環(huán)節(jié)為例，課堂小結(jié)并不一定需要由教師來(lái)完成，完全可以考慮讓學(xué)生自主回顧該節(jié)課的收獲，這也是留白藝術(shù)運(yùn)用的一種方式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，需要學(xué)習(xí)者相對(duì)獨(dú)立地在原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行新的建構(gòu)，并且這種建構(gòu)對(duì)于不同的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)并非完全一致[10]．鑒于此，即使是上同一節(jié)課，不同學(xué)生也會(huì)有不同的收獲，這更反映出在課堂小結(jié)處留白的意義．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)給學(xué)生機(jī)會(huì)自主梳理，在學(xué)生小結(jié)基礎(chǔ)上適當(dāng)補(bǔ)充即可，這樣才能真正發(fā)揮課堂小結(jié)應(yīng)有的價(jià)值．
在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如果教師只是一味講解，往往難以取得良好的效果，學(xué)生很可能出現(xiàn)諸如此類現(xiàn)象：教師講時(shí)都懂，但自己做就不會(huì)了；教師課上講過(guò)的題目會(huì)做，但稍有變化就不會(huì)了．究其原因，往往就在于“留白”不夠，學(xué)生總是在高強(qiáng)度地接收著教師傳遞的信息，而缺少自己反思、消化的時(shí)間，教師所講述的解題思路與要領(lǐng)并未內(nèi)化到學(xué)生自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，因而當(dāng)學(xué)生獨(dú)自面對(duì)相似的問(wèn)題情境時(shí)便又手足無(wú)措．鑒于此，數(shù)學(xué)教師在講解完一道題或者一類題之后，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)留白，給學(xué)生回顧整合的機(jī)會(huì)，從而實(shí)現(xiàn)舉一反三、事半功倍的效果，而不是“就題講題”、追求數(shù)量．
有些數(shù)學(xué)教師也想在課堂上留出時(shí)間給學(xué)生思考，但對(duì)留白時(shí)機(jī)的把握還有所欠缺．對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題，學(xué)生可能一下子就可以得到正確答案，留白時(shí)間過(guò)長(zhǎng)不僅影響了課堂進(jìn)度，還會(huì)讓學(xué)生失去興趣；另一方面，對(duì)于難度過(guò)大的問(wèn)題，教師不加點(diǎn)撥，便留了大量時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立作答，這對(duì)學(xué)生思維發(fā)展也是沒(méi)有益處的，甚至?xí)驌魧W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心[11]．課堂時(shí)間是有限的，并不是每個(gè)問(wèn)題都需要過(guò)多地思考，同時(shí)為了避免影響教學(xué)的連貫性及教學(xué)進(jìn)度，課堂留白應(yīng)當(dāng)注重時(shí)機(jī)，在與教學(xué)重難點(diǎn)緊密聯(lián)系的“主問(wèn)題”上可以多花時(shí)間，而一些不需要太多思考的細(xì)枝末節(jié)處則無(wú)需過(guò)多留白．
經(jīng)過(guò)實(shí)際研究應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，農(nóng)業(yè)供給側(cè)的結(jié)構(gòu)性改革核心就是針對(duì)市場(chǎng)需求開(kāi)展生產(chǎn)，從而在資源的配置環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)有效的供給要求和目標(biāo)[1]。農(nóng)業(yè)供給側(cè)的結(jié)構(gòu)性改革主要關(guān)系著農(nóng)業(yè)結(jié)構(gòu)性矛盾的化解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)三量齊增困境的轉(zhuǎn)變，要求保證農(nóng)業(yè)政策的完整性。
課前的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)課堂教學(xué)效果的好壞有重要影響，為了更從容地在課堂教學(xué)中運(yùn)用留白藝術(shù)，教師需要在備課時(shí)就應(yīng)根據(jù)課型、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況等因素對(duì)課堂留白進(jìn)行預(yù)設(shè)．然而除了預(yù)設(shè)性留白，教學(xué)中生成性留白也很重要，當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在著生成性留白偏少的現(xiàn)象．“生成”是教學(xué)活動(dòng)的基本特征，教學(xué)的目的、內(nèi)容、過(guò)程等都應(yīng)是在預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上不斷生成、發(fā)展與創(chuàng)造的．教師在教學(xué)中除了考慮預(yù)設(shè)性教學(xué)目標(biāo)外，還應(yīng)關(guān)注在教學(xué)活動(dòng)中生發(fā)出來(lái)的生成性教學(xué)目標(biāo)，“目標(biāo)應(yīng)是一般性的、生成性的，從而鼓勵(lì)創(chuàng)造性的、互動(dòng)的轉(zhuǎn)變”[12]．課堂教學(xué)是師生互動(dòng)的過(guò)程，常會(huì)出現(xiàn)“超出預(yù)期”的狀況，其中亦不乏有思考價(jià)值的生成性問(wèn)題．教師不應(yīng)拘泥于預(yù)設(shè)，而應(yīng)遵循數(shù)學(xué)課堂的動(dòng)態(tài)生成性與“自組織性”，根據(jù)學(xué)生思維狀態(tài)靈活調(diào)整教學(xué)決策．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)充分利用課堂生成性資源，根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，敢于在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行生成性留白．
她20多歲時(shí)在賣苦力，42歲時(shí)創(chuàng)業(yè)簡(jiǎn)易餐廳,70歲她身價(jià)過(guò)70億元,名聲傳遍世界。這一個(gè)有著傳奇經(jīng)歷的女人，在50多歲殺出重圍，憑借自己打造的辣椒醬取得成功，打造出享譽(yù)中國(guó)乃至世界的辣椒醬第一品牌。
案例2：函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則
在用導(dǎo)數(shù)的定義證明了
在這一教學(xué)片斷中，教師對(duì)預(yù)設(shè)性留白處理得較好，給了學(xué)生時(shí)間思考函數(shù)積的求導(dǎo)法則，但是卻沒(méi)有對(duì)學(xué)生思考的結(jié)果進(jìn)行即時(shí)反饋，仍按預(yù)設(shè)計(jì)劃完成了教學(xué)，沒(méi)能進(jìn)行有效的生成性留白，這是值得商榷之處．雖然教材中對(duì)求導(dǎo)法則的證明不作要求，但是學(xué)生已經(jīng)想到了“用定義來(lái)湊”，教師其實(shí)可以給學(xué)生更多機(jī)會(huì)表達(dá)自己的想法，引導(dǎo)其從定義出發(fā)嘗試推導(dǎo)兩個(gè)函數(shù)積的求導(dǎo)法則，或者也可以將用定義證明留作探究題讓學(xué)生回去思考，而不是回避．
誰(shuí)都不說(shuō)未來(lái)，到了說(shuō)分別的時(shí)候，卻是分不了。方曉倩說(shuō)別再聯(lián)系了，林丹放不下，忍了幾日打電話給她，一聲還沒(méi)響完就被她接起來(lái)，像是一直在等著。通了話，誰(shuí)都不知道說(shuō)什么，很久，林丹說(shuō):“今天去看你。”她只簡(jiǎn)單應(yīng)一聲:“哦?！绷值s感覺(jué)到她掛電話時(shí)爆炸了一般的歡樂(lè)。
隨著課堂留白研究的日益深入，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中積極進(jìn)行探索，然而高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂留白卻仍不多．如果教師只是一味地留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，而不進(jìn)行實(shí)質(zhì)意義的研究，是沒(méi)有任何學(xué)習(xí)效果的[13]．換言之，“留白”并不是完全的“空白”，教師應(yīng)當(dāng)基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)的把握，合理安排教學(xué)進(jìn)度，通過(guò)恰當(dāng)?shù)牧舭讍l(fā)學(xué)生思考．在數(shù)學(xué)課堂中，留白藝術(shù)的運(yùn)用是為了促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，切忌為了留白而留白，流于形式、缺少思維含量的課堂留白并不能“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”．張奠宙先生指出，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好“數(shù)學(xué)”為依歸，教育手段必須為教學(xué)內(nèi)容服務(wù)[14]．?dāng)?shù)學(xué)課堂有著不同于其它學(xué)科教學(xué)的自身特點(diǎn)，這就要求教師理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有的放矢地進(jìn)行課堂留白[16-23]．
案例3：正弦定理
一位教師試圖通過(guò)如下的教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的正弦定理：讓學(xué)生隨便畫三角形，量a、b、∠A、∠B，用計(jì)算器計(jì)算相關(guān)比值；然后分組測(cè)量，匯報(bào)結(jié)果，猜想結(jié)論．對(duì)此，張奠宙先生認(rèn)為這樣做不是數(shù)學(xué)思考，正弦定理絕對(duì)不是量出來(lái)的．?dāng)?shù)學(xué)不能靠大家意見(jiàn)相同就得到結(jié)論，必須證明，況且正弦定理的證明也很簡(jiǎn)單．花費(fèi)大量時(shí)間計(jì)算，乃是敗筆[15]．
現(xiàn)分別從主觀權(quán)重中抽取l個(gè)樣本、從客觀權(quán)重中抽取q-l個(gè)樣本，即每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)uj(1≤j≤n)有q個(gè)權(quán)重樣本，此時(shí)權(quán)重集合需滿足與q個(gè)權(quán)重向量的離散值越小越好。此外，對(duì)于評(píng)價(jià)指標(biāo)，不同主客觀權(quán)重的重要程度不同，現(xiàn)用α和β分別表示主、客觀權(quán)重的重要程度系數(shù)[21,22]。
在這一案例中，教師設(shè)計(jì)了看似“豐富”的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生也確實(shí)都“動(dòng)”起來(lái)了，但卻缺少思維含量，這樣的課堂留白不利于促進(jìn)學(xué)生思考，反而會(huì)影響學(xué)生對(duì)正弦定理的理解，甚至造成數(shù)學(xué)觀的扭曲，無(wú)疑是不恰當(dāng)?shù)模c其追求形式上的熱鬧，不如將寶貴的教學(xué)時(shí)間用于正弦定理的推導(dǎo)與證明，引導(dǎo)學(xué)生感悟其中所蘊(yùn)含的化歸等數(shù)學(xué)思想方法，理解正弦定理的本質(zhì)，真正發(fā)揮課堂留白的作用．
新一輪的課程改革承載著核心素養(yǎng)培養(yǎng)的旨趣，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提出了新的要求，課堂留白藝術(shù)的運(yùn)用就是頗具魅力的一個(gè)重要方面．研究者基于對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的理論探析，對(duì)教學(xué)實(shí)踐中存在的問(wèn)題進(jìn)行了反思．其中一些思考還是初步和概要的，許多問(wèn)題尚未完全厘清，后續(xù)可根據(jù)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例進(jìn)行深入分析，結(jié)合具體問(wèn)題提出更有針對(duì)性的教學(xué)策略與建議，并在實(shí)踐中積極檢驗(yàn)、修正．
近年來(lái)，盛通印刷最被行業(yè)人士津津樂(lè)道的，就是投身教育市場(chǎng)。作為一家以出版印刷為主的企業(yè)，盛通印刷在教材、兒童閱讀類產(chǎn)品中的份額較大，在教育出版領(lǐng)域積累了大量的資源。而隨著我國(guó)一系列鼓勵(lì)教育產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方針政策的出臺(tái)，家庭消費(fèi)中對(duì)于教育的消費(fèi)比重持續(xù)增長(zhǎng)，這為教育產(chǎn)業(yè)發(fā)展?fàn)I造了良好的政策、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)環(huán)境，也讓盛通確定了轉(zhuǎn)型的方向。
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