一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：一個大于1的整數(shù)，如果除1和它本身以外，沒有其他的約數(shù)，這樣的數(shù)就叫作質(zhì)數(shù)，也叫素數(shù)。一個大于1的整數(shù)，如果除了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這樣的數(shù)就叫作合數(shù)。
小學(xué)數(shù)學(xué)：2004年北京版教材第10冊第56頁提出：一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（也叫作素數(shù)）?！獋€數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫作合數(shù)。
2013年人教版教材五年級下冊第23頁提出：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)。
二．概念解讀
①由質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念可以知道，在非0的自然數(shù)中，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。歷史上曾將1也包含在質(zhì)數(shù)之內(nèi)，但后來為了算術(shù)基本定理，最終1被數(shù)學(xué)家排除在質(zhì)數(shù)之外。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)，是為后面學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎(chǔ)。
②在數(shù)論中，質(zhì)數(shù)有著重要的地位，一直吸引著許多數(shù)學(xué)家們不斷去探索。2500年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明了質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的，并提出少量質(zhì)數(shù)可寫成“2的n次方減1”的形式---這里n也是一個質(zhì)數(shù)。此后，許多數(shù)學(xué)家曾對這種質(zhì)數(shù)進行研究。17世紀的法國教士梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2的n次方減1”形式的質(zhì)數(shù)稱為梅森質(zhì)數(shù)。
由于梅森質(zhì)數(shù)有許多獨特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進行研究和探尋。目前，人類僅發(fā)現(xiàn) 47個梅森質(zhì)數(shù)。其中最大的質(zhì)數(shù)是第46個梅森質(zhì)數(shù)“2的43112609次方-1”，該質(zhì)數(shù)有12978189位。如果用常用的二號字將這個巨數(shù)連續(xù)寫下來，其長度可超過50千米！是否有無窮多個梅森質(zhì)數(shù)是數(shù)論中未解決的難題之一。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人，因此被人們譽為“數(shù)海明珠”。
特別值得一提的是，我國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中于1992年首先給出了梅森質(zhì)數(shù)分布的準確表達式，從而揭示了梅森質(zhì)數(shù)的重要規(guī)律，為人們探尋梅森質(zhì)數(shù)提供了方便。后來這一成果被學(xué)術(shù)界命名為“周氏猜測”。
梅森質(zhì)數(shù)在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大質(zhì)數(shù)的最有效途徑。它的探究推動了數(shù)學(xué)皇后---數(shù)論的研究，促進了計算技術(shù)，程序設(shè)計技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，密碼技術(shù)的發(fā)展以及快速傅里葉變換的應(yīng)用。
由于探尋梅森質(zhì)數(shù)需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認為：梅森質(zhì)數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學(xué)家馬克斯·索托伊甚至認為，它是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一個標志，也是科學(xué)發(fā)展的里程碑。
③質(zhì)數(shù)的應(yīng)用。
質(zhì)數(shù)近來被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人。任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找質(zhì)數(shù)的過程），將會因為找質(zhì)數(shù)的過程過久，使得即使取得佶息也會無意義。
再有，在汽車變速箱齒輪的設(shè)計上，相鄰的兩個齒輪齒數(shù)最好設(shè)計成質(zhì)數(shù)，目的是增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，這樣可增強耐用度，減少故障。
另外，在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用次數(shù)之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用效果最好也得到了證明。實驗表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的：都是在害蟲繁殖的高潮期使用，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性。
在軍事上，以質(zhì)數(shù)形式無規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚雷可以使敵人不易攔截。
④有趣的質(zhì)數(shù)。
a．孿生質(zhì)數(shù)。
孿生質(zhì)數(shù)指的是間隔為2的相鄰質(zhì)數(shù)，它們之間的距離已經(jīng)近得不能再近了，就像孿生兄弟一樣。
最小的孿生質(zhì)數(shù)是(3,5)，在100以內(nèi)的孿生質(zhì)數(shù)還有(5,7),(11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61)和(71,73)，總計有8組。
截至2009年年底，人們發(fā)現(xiàn)的晟大的孿生質(zhì)數(shù)是：2003663613·2的196000次方±1，這一對質(zhì)數(shù)都長達100355位。
b幸運質(zhì)數(shù)。
幸運質(zhì)數(shù)是既是質(zhì)數(shù)又是幸運數(shù)的數(shù)。幸運數(shù)是1955年波蘭數(shù)學(xué)家烏拉姆提出的，經(jīng)由類似埃拉托斯特尼篩法（一種用刪去法檢定質(zhì)數(shù)的算法）的算法后留下的整數(shù)集合，具體包括：1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99---1000以內(nèi)的幸運質(zhì)數(shù)為：3，7，1 3，31，37，43，67，73，79，127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367,409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673,727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997。
c．回文質(zhì)數(shù)。
回文質(zhì)數(shù)是既是質(zhì)數(shù)義是回文數(shù)的整數(shù)，像11，101，131，151，181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929等。
目前還不知道在十進制中是否有無窮多個回文質(zhì)數(shù)。已知最大的回文質(zhì)數(shù)為10的180004次方+ 248797842x10的89998次方+1，是2007年由都伯納發(fā)現(xiàn)的。
下面是回文數(shù)組成的金字塔：
2
30203
133020331
1713302033171
12171330203317121
151217133020331712151
1815121713302033171215181
16181512171330203317121518161
331618151217133020331712151816133
93331 61 8151 21713302033171215181613339
11933316181512171330203 317121518161333911
在這個金字塔上，下面每一個質(zhì)數(shù)都是在上面質(zhì)數(shù)的基礎(chǔ)上，前面和后面加兩位數(shù)。四。教學(xué)建議
①教師在教學(xué)質(zhì)數(shù)和合數(shù)時，可以先讓學(xué)生找出1-20各數(shù)的因數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，并試著將這20個數(shù)進行分類，在分類的基礎(chǔ)上，引出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。也可以借助小正方形，讓學(xué)生拼一拼，當個數(shù)分別為1-20各數(shù)時，每個數(shù)能拼出幾種不同的長方形。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：為什么有的個數(shù)能拼出幾種，有的只能拼出一種，還有的無法拼？從而使學(xué)生認識到與每個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)有關(guān)，揭示出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。
學(xué)生認識了質(zhì)數(shù)和合數(shù)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用篩法找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，并找出最小的質(zhì)數(shù)是幾，最小的合數(shù)是幾。
②學(xué)生在解決問題時，容易把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)混同起來，因此要結(jié)合質(zhì)數(shù)表，引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)？所有的偶數(shù)都是合數(shù)？
