我們都知道歐拉解決了自然數(shù)平方的倒數(shù)之和，這個公式將自然數(shù)和π巧妙的聯(lián)系在了一起，關(guān)于它的證明非常多，我們就不在此作任何的敘述了，但這個公式隱含的許多數(shù)學(xué)方法值得我們?nèi)ヌ接懴?/strong>
在你不知道歐拉得出這個結(jié)論前，你是否能斷定這個級數(shù)是趨于一個常數(shù)值呢？也就是數(shù)學(xué)中所說的收斂
首先，自然數(shù)平方倒數(shù)和的形式是
我們把它拆開，將平方寫成乘積的形式，藍色部分所示
然后將藍色部分統(tǒng)一向后移一位，最終如下圖紅色部分顯示
然后做比較，如下圖藍色顯示：1/2<1，
藍色顯示：1/3<1/2，
所以我們得到第一行小于第二行
繼續(xù)進行，你會發(fā)現(xiàn)上述的紅色級數(shù)部分可以寫成兩個數(shù)之差
即：1/2=1-1/2，1/2*1/3=1/2-1/3........
那么上述的前四項就等于2-1/4
同理，如果是前100項就等于2-1/100
如果n是無窮大，那么其結(jié)果就等于2
所以在你不知道歐拉的推導(dǎo)結(jié)果前，你可以很容易得出任意自然數(shù)平方的倒數(shù)之和是趨于一個常數(shù)的，
其結(jié)果是小于2的，這與歐拉推導(dǎo)出的結(jié)果完全吻合。
