歐洲自然數(shù)平方倒數(shù)和是17世紀(jì)下半葉的著名的數(shù)學(xué)難題，它困擾著歐洲當(dāng)時(shí)許多一流的數(shù)學(xué)家，這時(shí)的歐拉橫空出世，憑借著高超的數(shù)學(xué)技巧，出人意料的解決了這個(gè)難題，從此登上了一流數(shù)學(xué)家的舞臺(tái)。解決自然數(shù)倒數(shù)和是歐拉最早的成名之作。本篇就來討論這個(gè)歷史性的難題
下圖中的幾位歐洲數(shù)學(xué)大家都曾深入研究過這個(gè)問題，但都無果而終，我們來看看轟動(dòng)一時(shí)的歐拉是如何解決這個(gè)問題的
首先我們要借用前一篇《有關(guān)π的無窮的數(shù)學(xué)魅力和它的妙用》中歐拉推導(dǎo)出的sinX麥克勞林級(jí)數(shù)形式和用根寫出的無窮多項(xiàng)式形式。
聰明伙伴也許已經(jīng)猜到歐拉的思路，就是展開根的無窮多項(xiàng)式和它的麥克勞林級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，沒錯(cuò)，是這樣的。但如何展開這個(gè)看上相當(dāng)繁瑣的多項(xiàng)式呢？我們一步步來，首先第一項(xiàng)和二項(xiàng)相乘得到黃色部分
接著，我們將上式的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)相乘，合并同類項(xiàng)，這個(gè)憑我們的初中知識(shí)就可以得出來
繼續(xù)重復(fù)前面的步驟，合并同類型，我們重點(diǎn)關(guān)注下x^3的系數(shù)，馬上要刷新你的三觀了，因?yàn)樗c自然數(shù)平方倒數(shù)和的形式最接近
我們就這樣一直做下去，你猜綠色部分最后的形式會(huì)變成什么樣式，
沒錯(cuò)，x^3最后的形式是這樣的，盡情的回憶一下上面說的，這個(gè)x^3的多項(xiàng)式須等于sinX麥克勞林級(jí)數(shù)中x^3的項(xiàng)
這是不是與我們的目標(biāo)越來越近了，我們繼續(xù)
兩邊乘以-1，在乘以π^2得到，就得到真正的自然數(shù)平方倒數(shù)和的形式，是不是很神奇
歐拉的證明是偉大的，別具一格的數(shù)學(xué)技巧往往能出奇制勝，得到你意想不到的結(jié)果。
憑著好奇心，拿起手中的筆算一算，我們看看x^5項(xiàng)會(huì)得到什么，出人意料的得到自然數(shù)4次方倒數(shù)和。
能得到這樣的結(jié)果非常了不起，這一連串的數(shù)學(xué)規(guī)律和連鎖反應(yīng)都是有自然數(shù)平方和的倒數(shù)引起的，從此也刷新了我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知。
聯(lián)系客服
