19世紀(jì)末20世紀(jì)初，隨著實(shí)數(shù)理論體系的完善，代數(shù)從幾何中完全脫離，眾多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為數(shù)學(xué)的大廈已經(jīng)建造完成，尤其是康托爾集合論的提出，集合已成為最基本、應(yīng)用最廣的一個(gè)概念，人們?cè)?jīng)相信，全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論可用集合概念統(tǒng)一起來。
可惜，這個(gè)時(shí)候羅素發(fā)現(xiàn)了集合論中的漏洞，他派出的理發(fā)師差點(diǎn)掀翻了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。
我們知道，集合論中元素有三大特性：確定性、互異性、無序性。羅素從集合元素的三大特性中發(fā)現(xiàn)了康托爾集合論中的一個(gè)BUG。集合S是由一切不屬于自身的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果s屬于S，根據(jù)S的定義，s就不屬于S；反之，如果s不屬于S，同樣根據(jù)定義，s就屬于S。無論如何都是矛盾的。
而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理發(fā)師悖論：在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
這就是數(shù)學(xué)史赫赫有名的“一個(gè)理發(fā)師沖進(jìn)了大廈，把整個(gè)大廈搞了個(gè)天翻地覆，甚至直接動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個(gè)理發(fā)師請(qǐng)出去”事件。
羅素的理發(fā)師悖論使得數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)發(fā)生動(dòng)搖，集合論中為什么會(huì)產(chǎn)生矛盾？這是一個(gè)非常根本的問題，涉及數(shù)學(xué)邏輯推理的可信性和數(shù)學(xué)命題的真理性問題，屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的范疇,由此觸發(fā)了“數(shù)學(xué)是什么”這來自靈魂深處的拷問。
兩千多年來，數(shù)學(xué)家們一直試圖從少數(shù)公理出發(fā)，根據(jù)明確給出的演繹規(guī)則推導(dǎo)出其他數(shù)學(xué)定理，從而把整個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造成為一個(gè)嚴(yán)密的演繹大廈，然后用某種程序和方法徹底解決數(shù)學(xué)體系的可靠性問題。數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本目標(biāo)是解釋數(shù)學(xué)，并由此說明數(shù)學(xué)在整個(gè)理智事業(yè)中的地位。
而這來自靈魂深處的拷問也直接引發(fā)了羅素和數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖希爾伯特的battle，希爾伯特領(lǐng)導(dǎo)的哥廷根學(xué)派是世界數(shù)學(xué)的中心，那個(gè)時(shí)候的數(shù)學(xué)界富有盛名的數(shù)學(xué)家近一半都是出自哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派，哥閔可夫斯基為狹義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規(guī)范場(chǎng)理論，并為廣義相對(duì)論提供理論依據(jù)；馮·諾依曼對(duì)剛剛降生的量子力學(xué)提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，發(fā)展了泛函分析；“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數(shù)的基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展；柯朗是應(yīng)用數(shù)學(xué)大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動(dòng)力學(xué)等一系列實(shí)際課題掃清了道路。
希爾伯特在眾多數(shù)學(xué)家眼中就是武林盟主的存在。而羅素則是當(dāng)時(shí)著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲學(xué)方面，是分析哲學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人。
羅素和希爾伯特之間的論戰(zhàn)整整貫穿了20世紀(jì)上半個(gè)世紀(jì)，20世紀(jì)初真的是科學(xué)大繁榮、大爆炸的時(shí)期，物理界有愛因斯坦與哥本哈根學(xué)派之爭(zhēng)，而數(shù)學(xué)界則有羅素與哥廷根學(xué)派之爭(zhēng)。
羅素在德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格“分析的算術(shù)化最后必然建立在自然數(shù)理論之上，而對(duì)自然數(shù)理論的探討有必要研究數(shù)的概念以及正整數(shù)命題的性質(zhì)”的基礎(chǔ)上主張“數(shù)學(xué)即邏輯”，在《數(shù)學(xué)的原理》及《數(shù)學(xué)原理》中，羅素的目標(biāo)在于證明“數(shù)學(xué)和邏輯是全等的”這個(gè)邏輯主義論題，它可以分析為三部分內(nèi)容：
1、每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達(dá)或表示的語言。簡(jiǎn)單來講，即每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數(shù)學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數(shù)學(xué)真理一旦表示為一個(gè)邏輯命題，就可由少數(shù)邏輯公理及邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來。
羅素在與懷特海完成于1913年的《數(shù)學(xué)原理》是邏輯學(xué)派的經(jīng)典巨著,他們宣稱全部數(shù)學(xué)可以從一個(gè)邏輯公理系統(tǒng)嚴(yán)格地推導(dǎo)出來，從而使數(shù)學(xué)建立在邏輯基礎(chǔ)之上。
但是希爾伯特不認(rèn)同這樣的觀點(diǎn)，希爾伯特指出：“如果我們深入考察那就會(huì)承認(rèn)，在我們敘述傳統(tǒng)的邏輯定理時(shí)，即已用到某些基本的算術(shù)概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數(shù)的概念,于是我們發(fā)現(xiàn)自己陷入了某種循環(huán)。
希爾伯特認(rèn)為“數(shù)學(xué)即形式”，皮亞諾斷言一切數(shù)學(xué)都可以用符號(hào)加以形式地表述,而希爾伯特則進(jìn)一步發(fā)展了這樣的觀念，他認(rèn)為所有數(shù)學(xué)應(yīng)該用一種統(tǒng)一的嚴(yán)格形式化的語言，并且按照一套嚴(yán)格的規(guī)則來使用。
在希爾伯特看來，每一門數(shù)學(xué)都可以看成基于它的公理的一個(gè)演繹系統(tǒng)，它們是根本不會(huì)產(chǎn)生邏輯矛盾的，亦即是協(xié)調(diào)的。數(shù)學(xué)的可靠性就在于它的協(xié)調(diào)性。從一組公理推導(dǎo)出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統(tǒng)
希爾伯特受到“非構(gòu)造性證明”和“排中律”的啟發(fā)，根據(jù)1900年自己關(guān)于證明算術(shù)公理的相容性思想，力圖通過形式化方法把具有直覺內(nèi)容的公理系統(tǒng)變成沒有內(nèi)容的形式系統(tǒng)，然后應(yīng)用有窮方法直接研究形式系統(tǒng)的相容性，從而保證它的模型—原先的數(shù)學(xué)理論的相容性.從而誕生了著名的希爾伯特計(jì)劃。
“非構(gòu)造性證明”：一個(gè)教室里有100個(gè)座位，但只坐99名學(xué)生。可以斷定的是，一定還有一個(gè)空位，但是我們卻無法確定那個(gè)空位具體在哪個(gè)地方。
而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。
希爾伯特計(jì)劃就是指建立一組公理體系，使一切數(shù)學(xué)命題原則上都可由此經(jīng)有限步推定真?zhèn)?，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨(dú)立性”（即所有公理都是互相獨(dú)立的，使公理系統(tǒng)盡可能的簡(jiǎn)潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統(tǒng)導(dǎo)出矛盾）。
希爾伯特計(jì)劃有兩大原則其一為徹底地形式化；其二為有窮主義。無前者則一門古典數(shù)學(xué)理論及其所用的邏輯將無從得到精確表達(dá)，因而不能成為確定的研究對(duì)象；無后者則難以保證所用工具不超過系統(tǒng)TF內(nèi)所有的工具，無法避免循環(huán)論證。
簡(jiǎn)單來說，“希爾伯特計(jì)劃”有點(diǎn)類似于程序員編碼時(shí)使用的編程語言，欲把所有數(shù)學(xué)形式化——所有數(shù)學(xué)表述都應(yīng)該用一套具有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言，并且按照一套嚴(yán)格的規(guī)則來使用。
那么到時(shí)候無論多深?yuàn)W、多復(fù)雜的數(shù)學(xué)猜想，只要我們按照這個(gè)方法來做，“真相大白”只是時(shí)間問題而已。
之所以會(huì)這樣做是因?yàn)橄柌厥羌償?shù)學(xué)的捍衛(wèi)者，他是要在有窮主義中保存實(shí)無限觀點(diǎn)下的古典數(shù)學(xué)，而把全部數(shù)學(xué)劃分為具有真實(shí)意義的“真實(shí)數(shù)學(xué)”和不具有真實(shí)意義的“理想數(shù)學(xué)”，并希望通過有窮主義的構(gòu)造性方法去證明理想數(shù)學(xué)的相容性，以使實(shí)無限性的理想成分在應(yīng)用上的有效性與上述有窮主義立場(chǎng)獲致統(tǒng)一。
希爾伯特和羅素斗地正歡，有些吃瓜數(shù)學(xué)家覺得兩者都講的不對(duì)，代表人物就是布勞威爾，1908年，布勞威爾寫出了一篇名為《關(guān)于邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認(rèn)為運(yùn)用排中律的數(shù)學(xué)證明是不合理的。矛頭直指希爾伯特。布勞威爾后來一直揪著排中律不放，聲稱“將排中律用作數(shù)學(xué)證明的一部分，是不允許的......它只具有學(xué)理和啟發(fā)的價(jià)值，因此那些在證明中不可避免使用這個(gè)定律是缺乏數(shù)學(xué)內(nèi)涵的。”
1917年至1920年，他提出并進(jìn)一步發(fā)展了直覺主義，認(rèn)為直覺主義,或者新直覺主義 (對(duì)應(yīng)于前直覺主義),是用人類的構(gòu)造性思維活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方法。
任何數(shù)學(xué)對(duì)象被視為思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個(gè)對(duì)象的存在性等價(jià)于它的構(gòu)造的可能性。這和經(jīng)典的方法不同，因?yàn)榻?jīng)典方法說一個(gè)實(shí)體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對(duì)于直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構(gòu)造證明。正因?yàn)槿绱?，直覺主義是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數(shù)學(xué)命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數(shù)學(xué)對(duì)象純粹是精神上的構(gòu)造還有什么其它法則可以用作真實(shí)性的檢驗(yàn)?zāi)?如同直覺主義者會(huì)爭(zhēng)論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經(jīng)典的數(shù)學(xué)家對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對(duì)于一個(gè)直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因?yàn)椴荒芗僭O(shè)人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)
直覺主義也拒絕實(shí)際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數(shù)的集合或任意有理數(shù)的序列無窮這樣的無窮實(shí)體作為給定對(duì)象。這要求將集合論和微積分的基礎(chǔ)分別重新構(gòu)造為構(gòu)造主義集合論和構(gòu)造主義分析。
這一下整個(gè)數(shù)學(xué)界就炸成了一鍋粥，陷入了三方混戰(zhàn)的狀態(tài)，誰都不服誰，比如面對(duì)直覺主義者對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可靠性的尖銳批評(píng)，希爾伯特認(rèn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)，以及在集合論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新數(shù)學(xué)，都是人類最有價(jià)值的精神財(cái)富，是不能丟棄的,他說：“禁止數(shù)學(xué)家使用排中原則，就像禁止天文學(xué)家使用望遠(yuǎn)鏡和拳擊家使用拳頭一樣”。
到了后期，羅素反而有點(diǎn)像吃瓜群眾，布勞威爾和希爾伯特斗地那是一個(gè)轟轟烈烈，雙方論戰(zhàn)數(shù)次，然而因?yàn)椴紕谕柕男愿駟栴}，直接得罪了《數(shù)學(xué)年鑒》主編之首克萊因，導(dǎo)致后來希爾伯特接手《數(shù)學(xué)年鑒》，兩個(gè)人之間的論爭(zhēng)從數(shù)學(xué)也延伸到了生活工作之中。
布勞威爾想獲得愛因斯坦的支持，然而之前就和希爾伯特battle過的愛因斯坦卻表示惹不起：“很遺憾，我像一只無知的羔羊甩入了數(shù)學(xué)的“狼群”......因此，請(qǐng)?jiān)试S我保持我的“既不噓又不呸”的態(tài)度，也請(qǐng)?jiān)试S我扮演一個(gè)對(duì)他們的行為感到不可思議的角色”。
三方的爭(zhēng)論并沒有和愛因斯坦和哥本哈根學(xué)派之間的論戰(zhàn)一樣，至今沒有結(jié)論，哥德爾的橫空出世直接終止了這場(chǎng)持續(xù)30年的論戰(zhàn)。
哥德爾一開始是站在希爾伯特形式主義這邊，1930年哥德爾開始考慮數(shù)學(xué)分析的一致性問題，但是在不斷深入研究之后，他對(duì)希爾伯特計(jì)劃表示了質(zhì)疑， 哥德爾提出：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個(gè)不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時(shí)滿足的！這便是聞名于世的哥德爾不完全性定理。
這一理論使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究發(fā)生了劃時(shí)代的變化，更是現(xiàn)代邏輯史上很重要的一座里程碑。他總共包含兩大定理：第一定理即任意一個(gè)包含一階謂詞邏輯與初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，都存在一個(gè)命題，它在這個(gè)系統(tǒng)中既不能被證明為真，也不能被證明為否；第二定理即如果系統(tǒng)S含有初等數(shù)論，當(dāng)S無矛盾時(shí)，它的無矛盾性不可能在S內(nèi)證明。
哥德爾的本意是要實(shí)現(xiàn)希爾伯特規(guī)劃。他試圖首先證明算術(shù)理論的一致性，然后建立分析“實(shí)數(shù)的”理論的一致性?？墒菂s粉碎了希爾伯特的夢(mèng)想。并且直接為數(shù)學(xué)界想要就“數(shù)學(xué)是什么”這一基礎(chǔ)型問題得出答案的宏偉目標(biāo)劃上了一把叉！
哥德爾定理的重要意義在于向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質(zhì)區(qū)別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據(jù)哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個(gè)不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個(gè)不可判定命題作為公理加入，又將出現(xiàn)新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數(shù)學(xué)真理之間將始終隔著無窮遠(yuǎn)的距離！
哥德爾愛因斯坦
他說：“數(shù)學(xué)不僅是不完全的，還是不可完全的”。大概意思就是說你越想要知道“數(shù)學(xué)是什么”，就越難得到這個(gè)答案，追求絕對(duì)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是一場(chǎng)幻想。（不少人則因?yàn)楦绲聽柌煌耆远ɡ磙D(zhuǎn)投了直覺主義）
這和哥本哈根學(xué)派的測(cè)不準(zhǔn)定理到有些相似，本哈根學(xué)派認(rèn)為微觀世界物質(zhì)具有概率波等存在不確定性，不過其依然具有穩(wěn)定的客觀規(guī)律，不以人的意志為轉(zhuǎn)移，所以人類并不能獲得實(shí)在世界的確定的結(jié)果。
雖然他們的主張被宣告破產(chǎn)，卻直接影響了未來數(shù)學(xué)的發(fā)展方向，邏輯主義發(fā)展出來的邏輯被稱為“數(shù)理邏輯”，開創(chuàng)了邏輯學(xué)史上繼古希臘邏輯、歐洲中世紀(jì)邏輯之后的第三個(gè)高峰，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)、哲學(xué)、語言學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展均產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響。
而直覺主義讓構(gòu)造性數(shù)學(xué)成為與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)密切相關(guān)的重要學(xué)科，希爾伯特從公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)研究出發(fā),建立了近代公理化思想體系,創(chuàng)立的證明論卻開辟了一個(gè)數(shù)理邏輯的新領(lǐng)域。
數(shù)學(xué)就是一場(chǎng)場(chǎng)論爭(zhēng)中不斷完善發(fā)展，從而推動(dòng)整個(gè)社會(huì)的進(jìn)步發(fā)展，促進(jìn)人類文明走向更高的層次。
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