這章開始我們開始介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。概率論是研究的工具，那么數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究的方法。大學(xué)里面概率論和統(tǒng)計(jì)是一門課，當(dāng)時(shí)其實(shí)根本沒有學(xué)明白，稀里糊涂?，F(xiàn)在來理解就是研究的工具和方法的關(guān)系，而研究的對象隨機(jī)現(xiàn)象。在概率論中，我們都假設(shè)某個(gè)隨機(jī)變量的分布是已知的，告知了我們一些性質(zhì)。而數(shù)理統(tǒng)計(jì)將帶來更多的未知，要解決概率論中那些個(gè)前提假設(shè)如何來的問題，教會(huì)我們?nèi)绾螐拇罅康臄?shù)據(jù)中找到規(guī)律、做出推斷，是更有用的部分。比如，我們從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)可能一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來描述，那么這種感覺或者判斷在我們不了解全部信息的情況下是否正確呢？這就需要用到統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，求得模型的參數(shù)、為判斷提供依據(jù)，告訴我們?nèi)绾螐挠^察中得到規(guī)律！個(gè)人覺得學(xué)習(xí)知識(shí)脈絡(luò)是最重要的，理清楚脈絡(luò)才能融會(huì)貫通，運(yùn)用自如。
我們先梳理一下統(tǒng)計(jì)的基本概念：
1、總體：試驗(yàn)的全部可能的觀察值；（是不是樣本空間呢？）
2、個(gè)體：每一個(gè)可能的觀察值；（是不是樣本點(diǎn)？）
3、容量：總體中包含的個(gè)體個(gè)數(shù)；容量有限的稱為有限容量總體，無限容量的稱為無限總體。例如投擲硬幣，就是一個(gè)有限總體，而測量湖水深度就是一個(gè)無限總體。（連續(xù)隨機(jī)變量是有限總體么？）擔(dān)但這個(gè)劃分也不是絕對的，如果一個(gè)很大的量我們也可以將其近似看成無限的，比如測量全國人民身高14億人就可以近似看成無限總體。
通過上述定義就可以將現(xiàn)實(shí)中的樣本與概率中的概念聯(lián)系起來了?？傮w對應(yīng)著就是我們的樣本空間，個(gè)體的觀察值（每一次試驗(yàn)結(jié)果)對應(yīng)樣本空間的樣本點(diǎn)，我們可以用一個(gè)隨機(jī)變量來對應(yīng)這個(gè)樣本空間，通過研究隨機(jī)變量的分布函數(shù)和數(shù)字特征來研究總體的特點(diǎn)和規(guī)律。是不是很順啊！通過幾個(gè)定義，從概率論的概念對應(yīng)到了實(shí)際問題。這個(gè)就叫建模！把身邊的事情用數(shù)學(xué)模型來描述，是很爽的一件事，如果模型建對了你就可以解釋現(xiàn)象、預(yù)測未來了，哈哈哈哈。
舉個(gè)例子吧，比如我們生產(chǎn)了一批零件，這批零件就是一個(gè)總體，有合格的也有不合格的。如果我要了解這批零件的合格率但又不能全部每一個(gè)都測量一遍，我們就可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來對應(yīng)（X代表這個(gè)零件的合格率），模型就建完了。接下來我們可以研究X的分布函數(shù)、數(shù)字特征了。如何研究呢？不知大家有沒有想起大數(shù)定律，如果有那么說明你前面的內(nèi)容掌握的不錯(cuò)了。我們可以采用抽樣幾批求平均的方法，通過小樣本的研究來近似總體的特征。這個(gè)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法了。
因?yàn)榭傮w的分布通常是未知的，一般都是通過抽樣的方法來獲得總體特征進(jìn)行推斷。所以抽樣概念及方法自然而然就需要提煉出來了。
4、樣本：從總體抽取一部分?jǐn)?shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷，被抽出的部分個(gè)體叫做樣本；
5、簡單隨機(jī)樣本：在相同條件在對總體進(jìn)行n次抽樣并記錄觀察值，每一次觀察值都是獨(dú)立的，而且與總體有相同的分布函數(shù)，則稱為容量為n的簡單隨機(jī)樣本。也就是一個(gè)簡單隨機(jī)樣本包括了n個(gè)觀察值。比如我想考察北京市的人均收入，那簡單隨機(jī)樣本應(yīng)該怎么選呢？我就不能過多的考慮差異，按地區(qū)抽樣是比較合理的，因?yàn)椴煌藗兊牡赜蚍植伎梢约僭O(shè)是均勻的，高低收入人群的分是類似的。（可能例子不是太恰當(dāng)，但是大家理解意思就好了），就是要求抽樣的前提一致，樣本之間無關(guān)聯(lián)。這樣我們就可以簡單求得總體分布（X1,X2,X3)=F(X1)*F(X2)...F(Xn)-假設(shè)樣本無關(guān)，所以從獨(dú)立性的定義出發(fā)聯(lián)合分布的概率等于概率之積，即從樣本的分布得到了總體的分布。這是從部分感知總體的方法，但是約束也是很清晰的就是部分之間沒有聯(lián)系！
6、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的圖形表示：直方圖、箱線圖。直方圖就不解釋了，就是將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用曲線的形式表示出來，有很多例子比如圖像處理中的灰度圖就是典型的直方圖，橫坐標(biāo)是灰度縱坐標(biāo)是點(diǎn)數(shù)，這種直方圖外部輪廓線從大數(shù)定律的角度出發(fā)接近于總體的概率密度函數(shù)。另外一種圖要多說兩句，叫箱線圖。箱線圖就是把數(shù)據(jù)分布表示在圖上的一種方法，非常有利于比較不同組數(shù)據(jù)之間的差異。分位點(diǎn)就是數(shù)據(jù)集的劃分，通常有第一分位點(diǎn)、第三分位點(diǎn)，通俗理解就是將數(shù)據(jù)排序后得到的最大、最小、1/4大、1/2大、3/4大以及每個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)用圖像表示出來。這樣不光可以看到數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，還可以知道數(shù)據(jù)按一個(gè)直觀分布情況。同時(shí)箱線圖還可以排除測試中的異常數(shù)值。箱線圖特別適合用于不同組之間的數(shù)據(jù)比較。如下圖，中間的黑線就是中位數(shù)，我們可以看到這些房價(jià)的總體是平穩(wěn)的，99年的房價(jià)5萬元以下的比較集中，而2003年的房價(jià)6-10萬這個(gè)區(qū)間分布比較集中（此例為示意，勿當(dāng)真）。大家可以感受一下，箱線圖中表達(dá)的信息還是非常豐富的。
