本文的目的是介紹廣義相對論的數(shù)學(xué)背景以及關(guān)于數(shù)學(xué)家們對黑洞形成機(jī)制研究的歷史。
愛因斯坦
1915年11月25日,愛因斯坦向普魯士科學(xué)院提交了廣義相對論的論文。而在五天前，希爾伯特也向普魯士科學(xué)院遞上了一份關(guān)于引力學(xué)的手稿。長久以來，人們總是熱衷于討論究竟誰才是第一個提出廣義相對論的人。然而這卻并不是我們想要討論的問題，我們關(guān)心的是這兩份手稿里共同包含的一個方程，這個方程現(xiàn)在普遍被稱為愛因斯坦引力場方程。
首先讓我們嘗試在不寫下精確的表達(dá)式的情況下來粗略地理解引力場方程。愛因斯坦認(rèn)為，引力場或者物質(zhì)的存在導(dǎo)致了時空的彎曲，而時空的彎曲恰恰體現(xiàn)了引力本身。引力場方程本身詮釋這個想法。方程的右邊是能量-動量張量，這個張量描述了時空中物質(zhì)的分布；方程的左邊可以被認(rèn)為是時空本身的Ricci曲率張量，恰如其名，這個張量描述了時空本身的彎曲。
從數(shù)學(xué)上來看，這個方程本身包含了10個變量和10個相互獨(dú)立的子方程，并且是一個非線性的二階雙曲型非線性方程，僅僅寫下這個方程就需要莫大的勇氣和智能，更不要說是找到它的解了。(博主注：事實(shí)上，由Bianchi恒等式知這10個方程只有6個方程是獨(dú)立的。如何處理這個問題呢，由于愛因斯坦場方程是一個張量方程，從而在求解度規(guī)張量時必須添加4個坐標(biāo)條件， 僅此而已。這一點(diǎn)實(shí)際上是與廣義協(xié)變性一脈相承的， 因?yàn)楹笳咭馕吨龇匠碳捌浣庠试S對 4 個時空坐標(biāo)作任意變換， 從而只有在添加 4 個坐標(biāo)條件后才能得到確定的解。) 實(shí)際上，關(guān)于愛因斯坦和希爾伯特對于廣義相對論的優(yōu)先權(quán)之爭就是圍繞著誰先寫下了這個方程。據(jù)說，1915年初期愛因斯坦對于如何把引力數(shù)學(xué)化的想法已經(jīng)相當(dāng)?shù)某墒欤ㄒ坏娜焙毒褪俏凑业矫枋鲆Ψ植嫉膱龇匠?。是年七月，他?yīng)希爾伯特的邀請去哥廷根大學(xué)作了一系列毫無保留的演講。恰如這個眾所周知的調(diào)侃之言，“哥廷根馬路上一個孩子，都可以比愛因斯坦更懂得四維幾何”，希爾伯特由于比哥廷根馬路上一個孩子懂得更多的四維幾何，很快地得到了引力場方程的表達(dá)式，當(dāng)然這絲毫不影響愛因斯坦的偉大，因?yàn)橄柌乇救硕颊f過，“發(fā)現(xiàn)相對論的，是作為物理學(xué)家的愛因斯坦，而不是數(shù)學(xué)家”。
言歸正傳，讓我們致力于了解引力場方程的解。需要澄清的一點(diǎn)是，這個方程的解，不僅僅是一些經(jīng)典意義下的場，除卻這些描述物質(zhì)分布的場以外，解方程還意味著來構(gòu)造時空本身。換句話說，每一個解都對應(yīng)著一個可能存在的宇宙。在這個方程剛剛誕生的時刻，關(guān)于愛因斯坦本人到底知道多少個解我們很難知道，但是無論如何，我們都可以斷言他至少知道一個解，也就是現(xiàn)在被稱為閔可夫斯基空間的解。這個斷言的邏輯不是基于閔可夫斯基曾經(jīng)是愛因斯坦在大學(xué)時期的數(shù)學(xué)教授這一個事實(shí)，而是因?yàn)殚h可夫斯基空間是平坦而無彎曲的，它的曲率是零。這是一個最最簡單的例子，在每一本關(guān)于四維幾何的書上，這個例子一定是第一個出現(xiàn)的。而且整套的廣義相對論在這個特殊的時空上退化為狹義相對論。我們提到過，場方程的左邊被Ricci曲率所決定。按照定義，Ricci曲率是時空的曲率的某一些特殊的分量，所以對于閔可夫斯基空間而言，場方程的左邊是零。毋庸置疑，右邊也必須消失。而我們又知道，方程的右邊描述了物質(zhì)的分布，所以對于閔可夫斯基空間而言，是沒有任何物質(zhì)的，也就是說這是場方程的一個真空解。
我們能不能找到其它的解呢？
同樣是在1915年，這一年的圣誕節(jié)之前的一天，四十二歲的德國人卡爾·史瓦西(Karl Schwarzschild)從德軍在俄國方面的前線給愛因斯坦寫了一封與戰(zhàn)爭毫無瓜葛的信，他提到：“就像你讀到的一樣，這場戰(zhàn)爭對我還算不錯，盡管硝煙彌漫，但是我還是能甩掉他們而隨心所欲地沉浸在你的理論（廣義相對論）之中”。隨后，他附上重力場方程的第二個解，這個在一戰(zhàn)戰(zhàn)壕中誕生的宇宙現(xiàn)在被我們稱為史瓦西解。史瓦西在第二年的三月去世，他的工作卻表現(xiàn)出了令人驚訝的活力，越來越多的研究工作在史瓦西時空上展開，尤其是Kruskal后來的工作最大程度上推動了我們對史瓦西時空的理解。讓我們簡單地描述一下史瓦西解，它是一個球?qū)ΨQ的精確解，描述的同樣是真空。很多物理模型都可以構(gòu)架在這個時空之上，比如說一個球狀星球以外的時空。在這個模型下，通過計(jì)算，我們可以容易地檢驗(yàn)光在引力作用下的彎曲，近星點(diǎn)的進(jìn)動和引力紅移等現(xiàn)象。然而，這些都不是重點(diǎn)，史瓦西解最讓人振奮讓人激動的一面是：它預(yù)言了黑洞。
黑洞，現(xiàn)在已是婦孺皆知的名詞，用婦孺皆知的說法，是說一個星體的密度大到一定的程度，其引力使得附近的光都無法逃逸，那么既然我們看不到有光線從這個星體發(fā)出，“黑”的由來也就理所當(dāng)然了。我們并不關(guān)心黑洞的精確定義而把精力放在史瓦西時空（在Kruskal工作的意義下）的一個特定的區(qū)域上。在這個區(qū)域里，我們通過計(jì)算類光的測地線，可以發(fā)現(xiàn)光線永無逃逸的可能性，也就是說，這真的是黑洞的內(nèi)部（在正確的定義下，這也是黑洞）。
自從黑洞被史瓦西解所預(yù)言的那一刻開始，它就成為了廣義相對論的核心論題。專家們對它既愛且恨，直到今日，盡管我們對黑洞的理解有了長足的進(jìn)步，但是諸如黑洞的基本性質(zhì)和黑洞的形成等很多基本問題仍然需要進(jìn)一步的理解。在史瓦西時空里面，如果一個勇敢的觀測者生活在黑洞的內(nèi)部，那么他會發(fā)現(xiàn)對于一個二維的球面而言，如果我們由里向外沿著光線傳播的方向?qū)⑺鼡未笠稽c(diǎn)點(diǎn)的話，它的面積非但沒有像我們想象的那樣理所當(dāng)然的增加，反而減少。牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅杰·彭羅斯(Roger Penrose)是第一個體會到這個簡單現(xiàn)象背后的深刻意義的人，他把這種球面稱為捕獲曲面，其意義不言而喻：由于沿著光線傳播的方向球面的面積越變越小，最后會坍塌為一個點(diǎn)，這樣子光好象被這個曲面所捕獲而在曲面坍塌的時刻最后也消失。彭羅斯著名的奇點(diǎn)定理說，在合理的物理假設(shè)下，如果時空當(dāng)中存在一個捕獲曲面的話，那么經(jīng)過一個特定的時間之后，任何光不能被延伸，也就是說在未來有一個奇點(diǎn)，一切光都會消亡。直白的說，這個定理傳達(dá)了一個駭人聽聞的消息，一段時間之后，整個宇宙都會在引力的作用下而毀滅。值得慶幸的是，這個“一段時間之后”是相當(dāng)長的一段時間。這里需要一提的是，霍金有一個相當(dāng)類似的定理，說如果我們向過去做時間旅行的話，我們會最終到達(dá)一個起點(diǎn)而不能夠進(jìn)一步的倒退到更加古老的過去，這個起點(diǎn)現(xiàn)在被稱為“大爆炸”。那么，彭羅斯的定理和黑洞又有什么關(guān)系呢？根據(jù)彭羅斯的一個猜想，物理學(xué)家認(rèn)為所有的在未來的奇點(diǎn)都藏在黑洞里面。這樣子，在這個猜想成立的情況下，有奇點(diǎn)就必有它的藏身之處——黑洞。另一方面，彭羅斯的定理又說有捕獲曲面就有奇點(diǎn)。這樣子，是否存在捕獲曲面就成為判別是否存在黑洞的重要依據(jù)。
我們再次回到愛因斯坦的重力場方程，從它簡潔又不失華麗的外表，恐怕沒有人能看到場方程竟然預(yù)言了黑洞的存在。近一個世紀(jì)后的今天，對于現(xiàn)實(shí)世界的人們來說，我們關(guān)心如何透過場方程讀出未來的劫數(shù)；在數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家眼中，這意味著能否把重力場方程當(dāng)成一個發(fā)展性的方程來求解。Choquet-Bruhat女士是這個方面的先驅(qū)，通過引進(jìn)近代的偏微分方程的技術(shù)，她證明了至少對很短時間內(nèi)要發(fā)生的事情，我們還是相當(dāng)有把握預(yù)測的。由于她的工作運(yùn)用了極為繁瑣的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家們歡欣鼓舞，他們再次找到了一個借口可以插手物理學(xué)家的事務(wù)。當(dāng)然，這里的問題仍然相當(dāng)?shù)募?，一些貌似簡單的問題令他們一籌莫展。我們舉一個具有劃時代意義的猜想，叫做正質(zhì)量猜想。在廣義相對論中，質(zhì)量的概念還是存在，但是質(zhì)量是否是正的卻變得不清楚了。直到上個世紀(jì)八十年代，這個猜想才第一次被理查德·舍恩(Richard Schoen)和丘成桐所證明，之后不久威騰(Witten)又給了另一個證明。正質(zhì)量猜想不僅僅在廣義相對論中，就是在微分幾何當(dāng)中也有著眾多的應(yīng)用。
由于閔可夫斯基空間的質(zhì)量是零，根據(jù)正質(zhì)量猜想它是具有最小的質(zhì)量的時空，大家都猜想他應(yīng)該是“穩(wěn)定的”。這個穩(wěn)定的意思是什么呢？簡單來說，如果我們知道另外一個時空和閔可夫斯基空間在一個時刻相差無幾的的時候，那么對于無論多么遙遠(yuǎn)的未來，我們都可以說明這兩個時空仍然非常近似。赫里斯托祖(Christodoulou)和Klainerman證實(shí)了這個猜想的正確性，他們在長達(dá)600頁的論證中，通過發(fā)展了對重力場方程做能量估計(jì)的技術(shù)來理解引力波的衰減機(jī)制，并最終說明閔可夫斯基空間的穩(wěn)定性。由于閔可夫斯基空間不含有黑洞，在這套理論開始發(fā)展的幾年里面，沒有人認(rèn)為它對于理解黑洞有什么幫助。赫里斯托祖自有遠(yuǎn)見，他觀察到在重力場方程中，不同的分量在引力波的傳播的機(jī)制中扮演著不同的角色，這個觀察早在他與Klainerman的證明中已彰顯出其無可替代的重要性。如果要理解黑洞的形成，直觀告訴我們，時空的某一個部分要相當(dāng)?shù)呐で@恰恰對應(yīng)了赫里斯托祖發(fā)現(xiàn)的短脈沖初始值。他論證道，如果給一個合適的短脈沖初始值，在一段時間之后，仍然基于引力波的衰減機(jī)制，一個捕獲曲面就可以產(chǎn)生。這應(yīng)該是迄今為止，通過愛因斯坦的重力場方程對黑洞形成的數(shù)學(xué)機(jī)制最有意義的一個嘗試。
在今后的研究中，關(guān)于黑洞和我們的宇宙，愛因斯坦的重力場方程還會說些什么呢？讓我們拭目以待。
