各位老師，為更加方便快捷地交流和探討高中數(shù)學(xué)（特別是高考數(shù)學(xué)）以及教育教學(xué)資源的共享，我建立了”好老師在線Q群(群號：314559613，人數(shù)已經(jīng)超過1500人)和“好老師高考數(shù)學(xué)研討微信群”，里面已有10G高中數(shù)學(xué)各類教育教學(xué)資源，全部由老師們不斷在更新和共享.兩個(gè)群內(nèi)均有大學(xué)教授、全國各地教研員、中科院研究員、數(shù)學(xué)特高級教師幾十名以及眾多熱愛學(xué)習(xí)的好老師，群內(nèi)教研氛圍濃厚，平等互利，討論數(shù)學(xué)問題熱烈，歡迎全國教育同仁實(shí)名制加入，欲加入者請關(guān)注后在公眾號后臺輸進(jìn)“入群”即可獲得入群方式.（兩個(gè)群為純粹公益性質(zhì)的教研群，做廣告的朋友請繞道） 投稿：52697898@qq.com,陳老師收.
作者：陳萬壽 佛山市順德區(qū)莘村中學(xué)
責(zé)編：常艷
審核：王常斌
本節(jié)課是順德區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考暨試卷講評課. 本節(jié)課是在學(xué)生已掌握基礎(chǔ)知識和基本方法的情況下，針對學(xué)生對求“非常規(guī)”遞推和含有二次遞推式求通項(xiàng)能力不足以及對數(shù)列首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)常出錯(cuò)的現(xiàn)狀，根據(jù)高考命題特點(diǎn)和考綱要求，以及參考了近期全國各地相關(guān)題型設(shè)計(jì)了這份教學(xué)設(shè)計(jì).
本節(jié)課的重心在于知識的生成過程化歸思想的滲透，解題方法的提煉和思想升華，以及培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌的品質(zhì)、良好的解題習(xí)慣、增強(qiáng)學(xué)生克服困難戰(zhàn)勝困難的信心.
一
教學(xué)內(nèi)容分析
在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解往往是解決數(shù)列難題的瓶頸．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的求解常用方法有：累加累乘法（定義法）、an與Sn消項(xiàng)法、構(gòu)造法（待定系數(shù)法）等. 求數(shù)列通項(xiàng)公式難在給定遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，題目往往給出“非常規(guī)”的遞推式，要求學(xué)生會利用四則運(yùn)算化簡處理、或者利用平方差等公式轉(zhuǎn)化成“常規(guī)”的遞推式，從而實(shí)現(xiàn)把非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)為特殊數(shù)列、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.
這一思維過程對學(xué)生觀察、分析、推理能力的要求較高，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.高考題中形如an+1=pan+q（其中p,q為常數(shù)，且pq(p-1）≠0）遞推式中的常數(shù)可利用待定系數(shù)法構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是一種重要的轉(zhuǎn)化思路和方法，不過從這幾年高考文科數(shù)學(xué)數(shù)列解答題命題來看，這一方法的能力要求已經(jīng)有所降低．
數(shù)列題高考題考察回歸核心基礎(chǔ)知識和技能，重點(diǎn)考察數(shù)列概念、數(shù)列基本量的運(yùn)算、已知遞推求通項(xiàng)公式.與此同時(shí)，數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，它具有函數(shù)特征，故也可能會與函數(shù)、方程、不等式等知識交匯命題考察.我在課后訓(xùn)練當(dāng)中設(shè)置了相關(guān)練習(xí),如第4題考查數(shù)列的周期性、第5題考查數(shù)列的單調(diào)性與最值等,以求達(dá)到課堂上突出重點(diǎn)和核心主干，課后又能全面復(fù)習(xí)鞏固之目的.
二
學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生剛經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)，打下了較好的基礎(chǔ)，比較熟練掌握了數(shù)列核心主干知識和基本解題技能.如：數(shù)列基本量的運(yùn)算、求數(shù)列通項(xiàng)公式基本方法（如定義法、an與Sn消項(xiàng)法、累乘累加法、構(gòu)造法）、數(shù)列求和常見的方法（如分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等）.
我所教的班級是高三（14）班，屬于我校文科快班，全班共有48人參與了燕博園考試，平均分3.98分，比區(qū)平均分2.67分高出1.31分.本題得分和答題情況如下表：
莘中部分班級燕博園統(tǒng)考數(shù)列解答題小題平均分情況
三12班 | 三14班 | 三16班 | 莘中 | 全區(qū) | |
17（1） | 2.53 | 2.73 | 3.22 | 1.94 | |
17（2） | 0.51 | 1.25 | 0.97 | 0.57 | |
17總分 | 3.04 | 3.98 | 4.19 | 2.51 | 2.67 |
莘中高三14班燕博園數(shù)列解答題知識點(diǎn)掌握情況分析表
（Ⅰ）計(jì)算出a2值且能檢驗(yàn) | 計(jì)算出值a2未檢驗(yàn)說明 | （Ⅱ）猜想 | 能識別an、Sn、Tn關(guān)系 | 第（Ⅱ）問空白 | 17題完全空白 | |
人數(shù) | 22 | 10 | 15（另有3人猜錯(cuò)） | 10（只有1人全對） | 19 | 4 |
從上表可以看出：學(xué)生數(shù)列的基礎(chǔ)知識還算比較扎實(shí)，但是學(xué)生對于“非常規(guī)”的遞推公式不懂得變換為“常規(guī)”的遞推公式，也就無法轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列來求解.這也反映出學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的意識或能力薄弱，導(dǎo)致本題第（Ⅱ）問思維受阻、無從下手.基于這個(gè)現(xiàn)狀，為了提升學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的意識，提高解題能力，開闊學(xué)生解題視野，特設(shè)計(jì)本教學(xué)設(shè)計(jì).
三
教學(xué)目標(biāo)分析
根據(jù)該類題型高考命題的特點(diǎn)和最新考綱的要求，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，制定如下的三維教學(xué)目標(biāo)：
（Ⅰ）知識與技能：
1.掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法;
2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題.
（Ⅱ）過程與方法：
通過課前基礎(chǔ)過關(guān)小結(jié)提煉求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法;緊跟著講解燕博園數(shù)列解答題中存在問題和解題策略，即通過公式變形及運(yùn)算、與消項(xiàng)法等將“非標(biāo)準(zhǔn)”遞推式轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)”的遞推關(guān)系，再由 “標(biāo)準(zhǔn)”的遞推公式求通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、抽象、概括的能力.最后通過變式訓(xùn)練1和變式訓(xùn)練2的強(qiáng)化練習(xí)，提高學(xué)生的解題能力和應(yīng)試技巧，滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
（Ⅲ）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：
通過本節(jié)課的解題訓(xùn)練和復(fù)習(xí)小結(jié)，提升學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想和意識，培養(yǎng)思考問題、分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志和細(xì)心的品質(zhì)，開拓學(xué)生的視野，讓學(xué)生在課堂上獲得成功體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生在高考中戰(zhàn)勝數(shù)列解答題的自信心.
四
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):
將“非標(biāo)準(zhǔn)”遞推式轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)”遞推式, 由遞推公式求通項(xiàng)公式.
教學(xué)難點(diǎn):
如何將“非標(biāo)準(zhǔn)”遞推式轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)”遞推式.
五
教學(xué)策略分析
本節(jié)課采用了講練結(jié)合的教學(xué)策略：學(xué)生課前基礎(chǔ)自測、師生歸納小結(jié)提煉→教師講解例題→教師點(diǎn)評，提煉思想→學(xué)生變式練習(xí)→師生互評、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)→學(xué)生歸納總結(jié)、深化思想→學(xué)生完成訓(xùn)練案.在解題的過程中分析引導(dǎo)學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)和解題思路進(jìn)行梳理，提煉解題能力，提高轉(zhuǎn)化與化歸的意識.精心設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維且比較新的高考題或高考模擬試題，使學(xué)生在掌握基本方法的同時(shí)，也能近距離感受高考的考法和套路.通過課后探究及訓(xùn)練案，進(jìn)一步鞏固知識和方法，并對能力要求上有所提升，力求使各層次的學(xué)生都學(xué)有所獲、有所提高.總之，這一節(jié)課要以學(xué)生為本，關(guān)注學(xué)生的思維疑難點(diǎn)，及時(shí)給予必要的幫助，鼓勵(lì)學(xué)生積極進(jìn)取，通過學(xué)生自主探究、解題總結(jié)增強(qiáng)學(xué)生克服數(shù)列難題的信心.
六
教學(xué)設(shè)計(jì)過程
（一）課前過關(guān)
設(shè)計(jì)意圖
溫故知新，從學(xué)生現(xiàn)有知識和方法入手，與學(xué)生一起歸納總結(jié)和提煉思想.引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科核心素養(yǎng)的高度重新審視求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和思想.
燕博園試題評講
圖為陳老師在課堂引導(dǎo)學(xué)生攻克思維沖突點(diǎn)
設(shè)計(jì)意圖
在解題過程中學(xué)生可能遇到的思維沖突點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生尋找思維受阻的原因，突破疑難點(diǎn).通過兩種思路和方法的選擇，讓學(xué)生體會兩種方法的優(yōu)劣之處.最后，師生一起提煉解題思想.
變式訓(xùn)練
上圖為課堂上學(xué)生積極自主探究展示、小組合作交流
設(shè)計(jì)意圖
通過變式訓(xùn)練，鞏固和提升學(xué)生本節(jié)課的核心素養(yǎng)，即自覺使用轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，提高解決問題的能力，提升學(xué)生戰(zhàn)勝困難的信心.通過歸納燕博園試題和兩個(gè)變式訓(xùn)練解題方法和思路，看透問題本質(zhì)，舉一反三、觸類旁通.
課外拓展
設(shè)計(jì)意圖
課外拓展第1題和變式訓(xùn)練2在三稿中本來是放在一起，屬于同一類型題，即利用公式變形后都是Sn與an的二次函數(shù)關(guān)系.經(jīng)過觀察，可以猜想出它們的關(guān)系，進(jìn)而猜想數(shù)列an是是等差數(shù)列：
這個(gè)題組設(shè)置的目的是想讓學(xué)生通過分析觀察、歸納猜想、推理論證，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力 ，開拓學(xué)生的解題視野.因?yàn)橄?xiàng)法并不是萬能的，在這次我編的訓(xùn)練案就有這樣的實(shí)例：
課外拓展第4題、第5題本來是課堂訓(xùn)練的題組Ⅳ，本意一是它們的通項(xiàng)公式都是分段的，二是第5題涉及到連續(xù)三項(xiàng)的遞推表達(dá)式，能夠開拓學(xué)生的解題視野.
貪多必定嚼不爛.如果這四個(gè)題組一起在一節(jié)課狂轟濫炸下，可能也能完成任務(wù)，“高效”的背后學(xué)生能沉淀下多少？這些都是我們做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須要考慮到的.所幸在大家集體討論下，四個(gè)題組八大金剛，狂轟濫炸的情景沒有出現(xiàn)在這節(jié)課，否則將徹底淪為表演課.那樣的課別說智慧靈活，可能連最基本的都丟失了，學(xué)生也可能對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭惡，得不償失.
七
教學(xué)反思
本教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)易其稿，從燕博園考試結(jié)束到講授這節(jié)課只有6天的時(shí)間，準(zhǔn)備時(shí)間不是很充足，主要是高三還有比較繁重的教學(xué)任務(wù)和其他工作,經(jīng)過科組同事們和順德教育發(fā)展中心王常斌老師的指導(dǎo)下，最終定稿的教學(xué)設(shè)計(jì)還算是比較令人滿意的，這是集體智慧的結(jié)晶.從海選初稿、磨稿、試課、磨課、再磨稿、再磨課、再磨稿，最后到正式上課，整個(gè)環(huán)節(jié)下來，雖然比較辛苦，但是自己對教育教學(xué)有了更多更深的認(rèn)識，對“以人為本”的教育理念也有更深的領(lǐng)悟.
作為老師很多時(shí)候我們可能都有過這樣的抱怨：這道題我明明講過甚至講了很多遍為什么學(xué)生還是不會做？作為一個(gè)區(qū)級的公開課，一開始我的設(shè)計(jì)理念是要有一定的高度和厚度，通過四個(gè)題組將高考中數(shù)列通項(xiàng)公式的各種求法以及變式等囊括其中.但在試課的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這種點(diǎn)到為止的方法論并不適合我們.所以我們在磨課的過程認(rèn)真分析學(xué)生的疑惑之處，研究知識生成的處理策略，將二稿、三稿的題目精選再精選，最后才敲定最有代表性的3道題目.這3題既不相同又有聯(lián)系，共同之處都是可以利用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想去解決這一類的問題.通過這一反復(fù)循環(huán)操作，對于段首的疑問，我恍然大悟.很多時(shí)候?qū)W生解不出這個(gè)類型題，并不是學(xué)生的問題，而恰恰是我們課堂教學(xué)設(shè)計(jì)存在很大問題.一節(jié)課我要解決什么問題？重點(diǎn)是什么？難點(diǎn)如何攻克？學(xué)生的認(rèn)知程度我知道嗎？學(xué)生知識形成的疑難點(diǎn)和沖突點(diǎn)在哪里？知識生成后，如何鞏固？易錯(cuò)點(diǎn)是什么？這些問題，我們在課前都要認(rèn)真思考
這節(jié)課個(gè)人認(rèn)為比較值得肯定的是：
（1）教學(xué)設(shè)計(jì)脈絡(luò)清晰，教學(xué)重點(diǎn)突出、難點(diǎn)突破.整節(jié)課都是圍繞著轉(zhuǎn)化與化歸的思想去分析問題、解決問題，帶領(lǐng)學(xué)生站在學(xué)科核心素養(yǎng)的高度重新審視求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和思想.
（2）尊重學(xué)生，相信學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生.尊重學(xué)生認(rèn)知沖突之處，敢于放手，給予學(xué)生充分自主學(xué)習(xí)交流和展示的時(shí)間，把精彩給學(xué)生，對學(xué)生出錯(cuò)之處的及時(shí)鼓勵(lì)和關(guān)懷.
當(dāng)然這節(jié)課還有很多不足，需要自己不斷努力、不斷總結(jié)提升.比如利用二次遞推式盡管老師一再強(qiáng)調(diào)是從第二項(xiàng)開始計(jì)算，但是最后學(xué)生展示還是搞錯(cuò)了項(xiàng)數(shù).在點(diǎn)評時(shí)沒有留意到學(xué)生這個(gè)不足之處，也就失去了一個(gè)就地取材教學(xué)方法傳授的良機(jī).而在變式訓(xùn)練3中，利用定義法時(shí)首項(xiàng)已經(jīng)包含在里面，故而無需再對首項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這個(gè)也沒有去強(qiáng)調(diào),留下課堂遺憾.
路漫漫，其修遠(yuǎn)兮！教育教研永遠(yuǎn)是一個(gè)聊不完的話題.一份好的教學(xué)設(shè)計(jì)就是一個(gè)教師的藝術(shù)品，基于“生情”、學(xué)生最近發(fā)展區(qū)來精心設(shè)計(jì)任務(wù)單或者導(dǎo)學(xué)案，目標(biāo)明確，任務(wù)驅(qū)動，回扣鞏固，提煉升華，每個(gè)環(huán)節(jié)就像一個(gè)個(gè)音樂篇章.相互獨(dú)立又相互聯(lián)系的一個(gè)整體.要演奏好這個(gè)數(shù)學(xué)的交響樂，我們只有不斷虛心學(xué)習(xí)、不斷積累、不斷反思、不斷改進(jìn)、奮勇前行，我們才能彈出數(shù)學(xué)最美音！
結(jié)語與感謝
這兩年追隨王常斌老師認(rèn)真從事教研工作，受益匪淺.王老師不但業(yè)務(wù)精湛，勤奮踏實(shí)，而且王老師人格魅力也是杠杠的！與他相處常常能感受到長者的風(fēng)范，如沐春風(fēng)，他總是不斷勉勵(lì)鞭策我們不斷追求進(jìn)步，不斷成長！在王老師的帶領(lǐng)下，我們順德數(shù)學(xué)總是能保持在佛山乃至全省領(lǐng)先的地位.在此對王老師辛勤的勞動和卓越的工作表示衷心的感謝！
本教學(xué)設(shè)計(jì)的完工離不開我校高中數(shù)學(xué)備課組的各位老師的支持與幫助。特別是余強(qiáng)、王劍清，孫益紅，張艷林、何凱欣、吳泳泳、張中行、陳藝等老師，還有我校溫校長、陳校長、莫主任、高主任等人的全力支持，在這里一并表示由衷的感謝.
也借此向各位同行呼吁，請大家不吝賜稿，將我們順德的數(shù)學(xué)教育推向一個(gè)新的高度.
圖為研討會后王常斌老師、莘中莫鴻主任與兩位上課老師等人的合影
