這是《機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》系列中的第10篇，也是微積分系列的第3篇。
我們經(jīng)常要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，煩惱于那些公式記不住，今天就讓我們用面積法來(lái)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。話(huà)不多說(shuō)，先來(lái)看第一個(gè)函數(shù)y=x2，怎么用面積來(lái)求導(dǎo)呢？
我們先畫(huà)一個(gè)正方形，它的邊長(zhǎng)是x，則正方形的面積就是x2，如下圖：
別忘了導(dǎo)數(shù)的定義，自變量x增加一個(gè)微小的量dx，看函數(shù)的變化率是多少，這里也就是看正方形面積的變化率是多少。我們?cè)佼?huà)一個(gè)圖來(lái)表示：
上圖中藍(lán)色線圍起來(lái)的面積就是正方形增加的面積dy，不難算出，dy=2xdx+(dx)2。當(dāng)dx取很小的值時(shí)，dy=2xdx。兩邊同時(shí)除以dx，得到dy/dx=2x。這就是我們要求的y=x2的導(dǎo)數(shù)。
好，看完上面簡(jiǎn)單的一個(gè)例子，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)函數(shù)：y=1/x。它的導(dǎo)數(shù)怎么用面積法來(lái)求呢？
看上去很復(fù)雜，但是別慌，我們先觀察y和x的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)x*y=x*(1/x)=1，也就是說(shuō)自變量x和因變量y的乘積永遠(yuǎn)等于1。那我們就可以構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方形，讓它的長(zhǎng)為x，寬為y，面積始終是1，如下圖：
現(xiàn)在我們給x增加一個(gè)微小的量dx，看看面積會(huì)發(fā)生什么變化：
如上圖，當(dāng)x增加了dx時(shí)，因?yàn)檎麄€(gè)長(zhǎng)方形的面積是1，寬必須被壓縮，也就是說(shuō)y是在減小的，我們要求的就是y的變換量，也就說(shuō)上圖中問(wèn)號(hào)的長(zhǎng)度。
怎么求呢？不難看出，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積始終是1，變化后的長(zhǎng)方形的寬為1/(x+dx)。因此，問(wèn)號(hào)處的長(zhǎng)度就是原來(lái)長(zhǎng)方形的寬1/x減去現(xiàn)在長(zhǎng)方形的寬1/(x+dx)，即
1/x-1/(x+dx)=dx/x(x+dx)。
別忘了導(dǎo)數(shù)的定義是變化率，我們用這個(gè)變化量除以dx，得到1/x(x+dx)。當(dāng)dx趨近于0時(shí)，可以認(rèn)為變化率就是1/x2。但是還有一點(diǎn)注意，當(dāng)x增加時(shí)，y是減小的，所以要在變化率前加一個(gè)負(fù)號(hào)，即-1/x2。因此，y=1/x的導(dǎo)數(shù)就是-1/x2。是不是感覺(jué)很酷呢？
讓我們繼續(xù)前行，看最后一個(gè)例子，y=sin(x)的導(dǎo)數(shù)又該怎么求呢？
穩(wěn)住，別慌。我們先畫(huà)一個(gè)單位圓：
如上圖，是一個(gè)半徑為1的單位圓。我們已知，在弧度制下，弧長(zhǎng)公式為l=r*x。其中r為圓的半徑，x是弧度。因此，函數(shù)y=sinx體現(xiàn)在單位圓中，自變量就是弧長(zhǎng)x，因變量y就是線段AB的長(zhǎng)度?，F(xiàn)在我們給x增加一個(gè)微小變量dx，看看y是如何變化的，如下圖：
如圖，我們給dx增加了一個(gè)微小量dx，也就是弧長(zhǎng)EF，那么y的變化就是垂直方向的線段ED。我們要求的導(dǎo)數(shù)，也就是dy/dx，也就是ED/EF。當(dāng)dx很小時(shí)，弧長(zhǎng)EF可以看成線段EF，而且有EF⊥OF。因此，不難看出∠FED就等于x（弧度），而ED/EF=cos∠FED。所以我們有dy/dx=cosx，也就是說(shuō)函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)就是cosx。
這就是今天的全部?jī)?nèi)容，你都明白了嗎？歡迎留言討論。
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