?“你站在橋上看風(fēng)景”
“看風(fēng)景的人在樓上看你”
“明月裝飾了你的窗子”
“你裝飾了別人的夢(mèng)”
上圖是被稱為矛盾空間的作品《畫(huà)廊》。從左下角順時(shí)針向右下角看：圖中是一個(gè)正在舉辦畫(huà)展的畫(huà)廊，在這個(gè)畫(huà)廊中，一位年輕人在仔細(xì)看一幅畫(huà)；畫(huà)中是一個(gè)港口，輪船后面是一排房子，在這排房子的右上方有個(gè)女士正在窗臺(tái)遠(yuǎn)眺海邊，而這位女士的樓下是正在舉辦一個(gè)畫(huà)展的畫(huà)廊，在這個(gè)畫(huà)廊中，站著一位年輕人，這位年輕人正在仔細(xì)地看一幅畫(huà)：畫(huà)中是一個(gè)港口……這個(gè)世界就在這幅圖中無(wú)限循環(huán)下去。
而在邏輯論證中不能出現(xiàn)循環(huán)論證，否則這個(gè)證明過(guò)程就會(huì)視為無(wú)效，而無(wú)限往往是出現(xiàn)bug的原因之一。今天我們就來(lái)講講數(shù)學(xué)中的悖論——無(wú)限悖論。
希帕索斯悖論
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)起因于“希帕索斯悖論”。
畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是有名的數(shù)學(xué)家，他的數(shù)學(xué)信仰是“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或分?jǐn)?shù)”，整數(shù)和分?jǐn)?shù)后來(lái)被稱為“有理數(shù)”。然而，在“勾股定理”被提出后，有人考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)，這一長(zhǎng)度不能用整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示，只能引用一個(gè)新數(shù)，后來(lái)被稱為無(wú)理數(shù)。據(jù)說(shuō)，希帕索斯后來(lái)還因?yàn)檫@個(gè)研究被發(fā)現(xiàn)被人扔進(jìn)大海淹死了……
這次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何量不能完全用整數(shù)及其比表示，而數(shù)卻可以用幾何量來(lái)表示。于是，整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)思想也因此經(jīng)歷一次革命。
伽利略悖論
通常我們認(rèn)為，整體大于部分，或者說(shuō)“整體在數(shù)量上多于部分”。舉例來(lái)說(shuō)，從直觀上看，自然數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于其平方數(shù)，假如給出一個(gè)很短的自然數(shù)數(shù)列：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
顯然，自然數(shù)的平方比自然數(shù)少得多，或者說(shuō)“稀”的多。不過(guò)，伽利略指出，假如自然數(shù)序列無(wú)限延伸，則會(huì)出現(xiàn)戲劇性的結(jié)果，自然數(shù)系列與其平方數(shù)的序列可建立一一對(duì)應(yīng)，這兩個(gè)序列一樣長(zhǎng)：對(duì)于任一自然數(shù)n，都有另一個(gè)平方數(shù)與其對(duì)應(yīng)，并且仍然是一個(gè)自然數(shù)……
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，……，n,……
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100，……，，……
伽利略意識(shí)到這是一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)，但是他不知道從中可以得出什么結(jié)論。實(shí)際上，他得出了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，即他認(rèn)為“大于”“等于”“小于”不能用于無(wú)窮量。
萊布里茨悖論
萊布里茨也發(fā)現(xiàn)了和伽利略悖論類似的結(jié)論，即“整體大于等于部分”，但他認(rèn)為這是不可能的，由此得出結(jié)論：無(wú)窮集不存在。
其理由如下：只要能夠在一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合中的元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則我們可以這兩個(gè)集合擁有一樣的數(shù)目的元素。
例如，如果我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)禮堂中沒(méi)有空座位也沒(méi)有站著的人，我們就可以認(rèn)為禮堂中的人數(shù)和座位數(shù)是相等的。
萊布里茨認(rèn)為，假如真的有無(wú)線數(shù)的話，我們就可以在兩個(gè)無(wú)窮數(shù)之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就有可能因此得出結(jié)論：自然數(shù)的數(shù)目與偶數(shù)的數(shù)目是相等的。但是這個(gè)結(jié)論明顯是讓人十分疑惑的，這怎么可能呢？自然數(shù)并非只有偶數(shù)還有奇數(shù)，后者的全體又可以組成一個(gè)無(wú)窮集。
最終他得出最后一個(gè)結(jié)論：所有自然數(shù)的數(shù)目這一概念是不一致的，談?wù)撘粋€(gè)無(wú)窮集的數(shù)目也是沒(méi)有意義的。
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