等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容、研究思路和研究方法上有很強的可類比性。
都是通過運算發(fā)現(xiàn)實例中數(shù)列的共同取值規(guī)律、獲得定義，根據(jù)定義歸納得到通項公式，通過與相應(yīng)函數(shù)類比探索性質(zhì)，通過運算、代數(shù)變換等思想方法推導(dǎo)前n項和公式（數(shù)列的特殊性質(zhì)）、解決相關(guān)問題等
一、教材分析
教材截圖
（考慮到研討時部分教師未帶有2019版課本，這里對教材截個圖）
教材分析：
1.等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)
本小節(jié)也用了一個有趣的故事情境來引人數(shù)列的求和問題,所不同的是,這個求國際象棋棋盤上所有麥?？傎|(zhì)量的情境只提供了一個求等比數(shù)列的問題背景,而沒有提供算法.
等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)有很多方法,教材采用的是“錯位相減法”.與推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的“倒序相加法”類似,“錯位相減法”也是一種帶有技巧性但很便捷的方法.但與“倒序相加法”不同的是,“錯位相減法”源于對等比數(shù)列前n項的和式的觀察和分析,利用了等比數(shù)列的定義,并沒有利用等比數(shù)列的其他性質(zhì),因此教材直接讓學(xué)生在的兩邊乘以q,得到,然后通過消去兩式中的相同項,就得到了等比數(shù)列的前n項和公式.在教學(xué)中,學(xué)生可能會提出疑問:是怎樣想到在
的兩邊乘以q的?教師可以讓學(xué)生獨立思考，提出合理的解釋.下面的思路提供了一種解釋:
從等比數(shù)列的定義可知,.于是，在
的兩邊同乘q,有
顯然,(2)式的第項分別與(1)式的第項相等.
2.對等比數(shù)列的前n項和公式的理解
由于等比數(shù)列的前n項和公式中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考,當(dāng)q=1時,等比數(shù)列的前n項和公式是怎樣的.
與等差數(shù)列類似,等比數(shù)列還有一個求和公式,即
教學(xué)中可以讓學(xué)生自己推出這個公式,并分析兩個公式各適用于什么情況.
3.關(guān)于例7～例9
本小節(jié)的例題也分成了兩部分，例7～例9是較為基本的應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式解決數(shù)學(xué)問題的題目,建議在教學(xué)中與等比數(shù)列的前n項和公式在同一課時完成.
例7與4.2節(jié)的例6類似，給出了等比數(shù)列的5個相關(guān)量中的3個,讓學(xué)生選擇等比數(shù)列的前n項和公式(1)或公式(2)求其他2個末知量.由于本例涉及的3個小題中的公比q都不等于1,所以不需要對q是否等于1分類討論.而第2小題雖然需要求公比q,但限定了q<0,所以只能得到一個結(jié)果.
例8與4.2節(jié)的例7類似,給出了等比數(shù)列的兩個相互獨立的條件.但這兩個條件都不包含公比q的信息,所以需要對q是否等于1分類討論.
例9在原來等比數(shù)列的基礎(chǔ)上,利用等比數(shù)列的前n項和,前2n項和與前3n項和構(gòu)造了一個新的數(shù)列,讓學(xué)生證明這個數(shù)列也是等比數(shù)列.事實上,這也是等比數(shù)列的一個性質(zhì).
由于條件中出現(xiàn)了等比數(shù)列的前n項和,所以本題與例8的解決過程類似,只要分公比q是否等于1兩種情況，分別利用等比數(shù)列的前n項和公式即可證明，教材給出的正是這樣的證明過程.考慮到新數(shù)列的特殊性,也可以不利用等比數(shù)列的前n項和公式,而是由數(shù)列的前n項和的定義,得,,這樣就避免了對q的分類討論.
教材“邊空”中的問題就是讓學(xué)生思考不用等比數(shù)列求和公式的證明方法.此外,題干中強調(diào)“公比”的原因是,當(dāng)q=-1時,可以發(fā)現(xiàn)使結(jié)論不成立的反例,如通項公式為的數(shù)列。
