你一定知道“哥德巴赫猜想”，

你一定知道它至今仍“未解”，

你一定不知道它可以“無解”。

哥德巴赫猜想——任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

哥德爾不完備性定理——任何含有初等數(shù)論的形式系統(tǒng)內(nèi)必然存在既不能證明也不能證偽的命題。

哥倆好：哥德巴赫&哥德爾

這“哥”倆一看就是命中注定。從某種意義上來說，“哥德巴赫猜想”很可能是“哥德爾不完備性定理”的產(chǎn)物，即自然數(shù)系統(tǒng)中不可證明亦不可證偽的命題。

這是近年來對(duì)科學(xué)所做的最偉大貢獻(xiàn)之一——愛因斯坦

哥德爾到底是誰？這么說吧，愛因斯坦為物理基礎(chǔ)開辟了一條新的道路，那么哥德爾就使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)生了劃時(shí)代的變化。哥德爾不完備性定理的地位如同廣義相對(duì)論中的等效原理、量子力學(xué)中的不確定性原理以及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域里的圖靈停機(jī)問題。

循規(guī)如物理，仍有不確定之物；嚴(yán)謹(jǐn)如數(shù)學(xué)，必存不可證之題。

如果人的心靈會(huì)被化簡(jiǎn)為幾條僵化的規(guī)則，那會(huì)是一件令人極度悲哀的憾事。幸運(yùn)的是，哥德爾證明了，情況不會(huì)是這樣。——霍夫斯塔特

哥德爾與愛因斯坦

歷史總是相似，命運(yùn)總是相惜。談到愛因斯坦，人們想到的或許是玻爾，而愛因斯坦本人想到的是哥德爾。1905年，愛因斯坦在《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》中提出狹義相對(duì)論，開創(chuàng)了物理學(xué)的新紀(jì)元；1931年，哥德爾在《論“數(shù)學(xué)原理”及相關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題》中提出不完備性定理，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新紀(jì)元。1951年愛因斯坦為哥德爾頒發(fā)了首屆“阿爾伯特·愛因斯坦獎(jiǎng)”，稱其工作是“近年來對(duì)科學(xué)所做的最偉大貢獻(xiàn)之一”。至于后來呢，倆人就在一起了。

當(dāng)然是在一起上下班，愛因斯坦曾說“去上班不過是為了和哥德爾一起走路回家”

愛因斯坦的相對(duì)論表明，所有的參考系中，物理規(guī)律都是等形式的，沒有一個(gè)參考系比其它的更特殊。哥德爾的不完備性定理則表明，數(shù)學(xué)系統(tǒng)中總存在一些不可證明亦不可證偽的命題，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)比其它的更優(yōu)越。由此看來，這一定理完全等價(jià)于數(shù)學(xué)中的“相對(duì)論”。

哥德爾與愛因斯坦談笑風(fēng)生

現(xiàn)在很少有人了解哥德爾不完備性定理，這不足為奇，因?yàn)楫?dāng)年哥德爾推翻數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的基本假設(shè)時(shí)，也很少有數(shù)學(xué)家能夠理解它的復(fù)雜證明。但正如愛因斯坦所說，這是科學(xué)偉大的貢獻(xiàn)，也是我們必然要正視的存在。

在接下來的多篇文章中，我們將一一展開哥德爾的數(shù)學(xué)證明。雖然不像物理那樣新奇，讓思維跳躍，但是數(shù)學(xué)的枯燥必使思想沉淀。

一致性問題

十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)的日益發(fā)展和抽象化引發(fā)了一個(gè)十分嚴(yán)肅的問題：作為一個(gè)理論體系基礎(chǔ)的一組公理是否是內(nèi)部一致性的，是否能確保不會(huì)推出相互矛盾的定理?

以上是數(shù)學(xué)基本概念，需要注意的是，有矛盾的公理體系可以推導(dǎo)出任意命題都成立。例如，假設(shè)1+1=2和1+1=3兩個(gè)矛盾的命題成立，則可以推出0=1，繼而0=1=2=3=n，即任意數(shù)。

那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)，同物理學(xué)一樣飛躍式發(fā)展，很多曾付出極大努力而無所收獲的基本問題得到了解決。例如，2000多年前希臘人提出的三大尺規(guī)作圖問題：三等分角、倍立方體及化圓為方，終于從邏輯上證明是不成立的。

尺規(guī)作圖與五種運(yùn)算的對(duì)應(yīng)：加減、乘除及開方。

三大尺規(guī)作圖問題的實(shí)質(zhì)在于特定方程的根的類型，這催生了伽羅瓦的群論，促進(jìn)了對(duì)數(shù)的性質(zhì)和連續(xù)統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究，為數(shù)學(xué)系統(tǒng)填補(bǔ)了新的邏輯基礎(chǔ)。

伽羅瓦理論：用群論的方法來研究代數(shù)方程的解。

千年之問的解決，讓希爾伯特意識(shí)到，數(shù)學(xué)理應(yīng)是一致性的，于是他提出了建立數(shù)學(xué)大廈的構(gòu)想：完善堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)公理體系，證明一切存在的命題。

你能通過純思維找到答案，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知?！柌?。

或許上帝是擲骰子的，歷史總喜歡開玩笑，因?yàn)樽璧K希爾伯特構(gòu)想進(jìn)程的同樣也是希臘人提出的另一個(gè)問題——平行公理到底能否從歐幾里得的其他的公理中推導(dǎo)出來？這一問題直接關(guān)系到了歐氏幾何的一致性和完備性。

歐氏幾何平行公理：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行。

最終這個(gè)問題由羅巴切夫斯基和黎曼創(chuàng)立的非歐幾何，證明了在歐氏幾何中從其他公理推導(dǎo)出平行公理是不能被證明也不能被證偽的。確切的說，平行公理其實(shí)是決定非歐幾何和歐氏幾何的公理基礎(chǔ)，是區(qū)分二者的分界線。

羅氏幾何平行公理：過直線外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與之平行。

黎曼橢圓幾何的一致性問題：通過建立橢圓幾何與平面幾何的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將橢圓幾何公理中的“平面”對(duì)應(yīng)為一個(gè)歐氏幾何球面，將“點(diǎn)”解釋為在球面上的頂點(diǎn)，而“直線”解釋為球面上的一個(gè)圓等等。每一條橢圓幾何的公理都變成了一條歐幾里得定理。因此，歐氏幾何的一致性可以保證橢圓幾何的一致性。

黎曼幾何平行公理：過直線外一點(diǎn)，沒有直線與之平行。

問題在于非歐幾何中是否仍存在像平行公理這樣不可證明或證偽的命題？歐氏幾何的一致性怎么證明？為了最終解決一致性問題，一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)邏輯可靠性的懷疑，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中建立了純粹演繹系統(tǒng)和元數(shù)學(xué)理論，這時(shí)候哥德爾卻告訴他，《幾何基礎(chǔ)》中最初的基礎(chǔ)是錯(cuò)的，希爾伯特的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌。

數(shù)學(xué)：人類歷史發(fā)展中不可替代的科學(xué)。

至此，什么是元數(shù)學(xué)理論？還有接下來哥德爾的重要工作，包括形式邏輯的編碼、元數(shù)學(xué)的算術(shù)化以及哥德爾論證等內(nèi)容，我們下篇再論。