現(xiàn)在很多書上引用的速度疊加公式是錯(cuò)誤的，因?yàn)椴捎昧艘蕴鲄⒄障?，雖然沒明確說明，但暗含著以太為參照物的速度概念即有絕對(duì)的快慢之分，不同慣性系互相看到的對(duì)方速度不對(duì)等，所以無(wú)法用相對(duì)論的理論來(lái)嚴(yán)格的證明。
現(xiàn)在分析了一些推導(dǎo)過程，發(fā)現(xiàn)里面引用了以太作參照物，所以結(jié)果（在相對(duì)論看來(lái)）一定是錯(cuò)誤的。
另外一個(gè)最顯然的錯(cuò)誤是速度公式中包含了距離參數(shù)，慣性系的定義是兩個(gè)慣性系之間的速度恒定不變，不可能因距離不同速度發(fā)生變化。
相對(duì)論中不存在以太這種絕對(duì)靜止的參照物，因此不存在（以太為參照系時(shí)的）速度的快與慢的問題。任何兩個(gè)慣性系都是對(duì)等的。A相對(duì)B的速度是v，B相對(duì)A的速度也一定是v，因此以A為參照系計(jì)算得到的速度一定等于以B為參照系得到的速度。
下面進(jìn)行正確的公式推導(dǎo)，這里要注意避免一切用以太作參照物的概念。不存在速度的快慢問慣性系之間完全對(duì)等。
推導(dǎo)前先預(yù)習(xí)一下洛倫茲變換的推導(dǎo)：
上面的圖中A是相對(duì)O以速度v運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，注意也可以說是O相對(duì)A以速度v運(yùn)動(dòng)，兩種說法等價(jià)。不要以為A的速度快，O是靜止，因?yàn)镺也許也是相對(duì)其他的參照物運(yùn)動(dòng)著的。
在A運(yùn)動(dòng)到與O重合位置的同時(shí)，一光子從A發(fā)出射向B。因?yàn)楣馑俨蛔儯贏上觀測(cè)到的光子路徑是ct'，在O上觀測(cè)到光子的路徑是ct，并且在t時(shí)間內(nèi)A相對(duì)O移動(dòng)了vt的距離（與向左還是向右的方向無(wú)關(guān)）。
三個(gè)長(zhǎng)度的關(guān)系是：(ct')2＋(vt)2＝(ct)2
解出 t' 得：t'＝t√(1-v2/c2)
這個(gè)公式一定要牢牢記住，因?yàn)楹竺娴乃俣券B加就要用到。
下面是速度疊加公式的推導(dǎo)：
與洛倫茲變換的推導(dǎo)過程相同，上圖中有三個(gè)系統(tǒng)O、A、C，C相對(duì)A以速度v2運(yùn)動(dòng)，A相對(duì)O以速度v1運(yùn)動(dòng)，C相對(duì)O以速度v運(yùn)動(dòng)。我們要得v與v1、v2之間的關(guān)系。
C相對(duì)A系統(tǒng)以速度v2運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲變換（這里不重復(fù)推導(dǎo)）時(shí)間關(guān)系是：
t''＝t'√(1-v22/c2)?、?；（參看ΔACD）
A相對(duì)O系統(tǒng)以速度v1運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲變換公式得到時(shí)間關(guān)系是：
t'＝t√(1-v12/c2)?、?；（參看ΔAOB）
與洛倫茲變換的推導(dǎo)過程一樣：在ΔCOD中有：
長(zhǎng)度關(guān)系式：(ct')2+(vt)2=(ct)2用①替換t'：(ct'√(1－v22/c2))2+(vt)2=(ct)2用②替換t'：(ct√((1－v22/c2) (1－v12/c2)))2+(vt)2=(ct)2平方開根號(hào)：(ct)2(1－v22/c2) (1－v12/c2)+(vt)2=(ct)2等式變換：(vt)2=(ct)2-(ct)2(1－v22/c2) (1－v12/c2)兩邊除以t2：v2=c2-c2(1－v22/c2) (1－v12/c2)
開方求速度：v=√(v12+ v22)√(1-v12v22/( v12+v22)/c2)
即得到速度疊加公式：（v與v1、v2之間的關(guān)系式）
這里的公式無(wú)論以O(shè)、A、C哪個(gè)慣性系作參照系，得到的結(jié)果都不會(huì)出現(xiàn)悖論，不會(huì)出現(xiàn)不對(duì)等的結(jié)果。任何慣性系上的計(jì)算結(jié)論是相等的。
愛因斯坦的相對(duì)論中速度相加的公式，愛因斯坦和洛倫茲都沒有給出過那個(gè)公式，那是后來(lái)的一些人推導(dǎo)的，他們?nèi)绻灰胍蕴鲄⒄瘴?，就無(wú)法證明。但相對(duì)論不承認(rèn)以太的存在。
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