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解析函數(shù)的泰勒展開

cosmos2062 >《待分類》

2022.07.14 廣東

在物理學的研究中，在工程技術(shù)的應用計算中，常常需要把一個解析函數(shù)展開成無窮級數(shù)。無窮級數(shù)的通項多為三角函數(shù)或冪函數(shù)，分別被稱為傅里葉級數(shù)和冪級數(shù)。冪級數(shù)是我們認識級數(shù)的基礎(chǔ)。

大家知道，一個冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)代表了一個解析函數(shù)，反過來，一個解析函數(shù)也可以在某點附近展開成冪級數(shù)。

設(shè)想在復平面上有一個以 a 點為圓心的圓周 C ，考察一個解析函數(shù) f(z)，它在這個圓周所圍的區(qū)域(包括 a 點)以及邊界上解析。在這個區(qū)域內(nèi)的任意一點上應用柯西積分公式：

把被積函數(shù)中做分母的那個因子做簡單的處理，改寫成如下的樣子：

由于積分變量 ζ 位于圓周上，因此，對于圓周內(nèi)的任意點 z，(z-a)/(ζ-a) 這個數(shù)的模小于 1。借用實變級數(shù)理論中 1/(1-x) 這個函數(shù)的展開式，把剛剛改寫的那個分母因子展開成冪級數(shù)：

顯然，這個冪級數(shù)在圓周內(nèi)一致收斂，可以逐項求積分。于是，

這個結(jié)果被稱為解析函數(shù)的泰勒展開。還記得解析函數(shù)的 n 階導數(shù)公式：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，泰勒展開中的展開系數(shù) a? 正是函數(shù) f(z) 的 n 階導數(shù)在 a 點的值：

一個解析函數(shù)按照以上方式展開成冪級數(shù)，其收斂范圍完全由該解析函數(shù)的性質(zhì)決定。如果這個解析函數(shù)在全平面內(nèi)解析，那么，展開級數(shù)一定在全平面內(nèi)收斂。

如果 b 是離 a 最近的奇點，那么，展開級數(shù)的收斂半徑

這就是說，一個解析函數(shù)的奇點的分布特征完全決定了它的泰勒展開的收斂半徑。

利用這個性質(zhì)，我們可以在把一個解析函數(shù)展開成冪級數(shù)之前預先把這個冪級數(shù)的收斂半徑求出來。比如說下面這個函數(shù)：

不難求出它的兩個奇點：

顯然，這兩個奇點離開原點的距離是一樣的。于是，當把這個解析函數(shù)在原點的鄰域展開成冪級數(shù)時，展開級數(shù)的收斂半徑

一個解析函數(shù)在某一點的鄰域的冪級數(shù)展開是唯一的。這就是說，如果有兩個在同一點上展開的冪級數(shù)相等，那么，它們的展開系數(shù)必定相等。這個性質(zhì)被稱為泰勒展開的唯一性定理。由于有唯一性定理做保證，當我們對一個解析函數(shù)做泰勒展開時，不一定要用求導數(shù)的方法來求系數(shù)，能夠通過用已知的結(jié)果拼湊出我們所需要的級數(shù)就更好。

復變函數(shù)的泰勒展開與實變函數(shù)的形式相同。以下用最基本的幾個初等函數(shù)做示例，借以說明其展開式與相應的實變函數(shù)的展開式在形式上完全相同。

在科學研究中經(jīng)常用到的一個初等函數(shù)是指數(shù)函數(shù)：

。對指數(shù)函數(shù)求 n 階導數(shù)得到：

由此得到指數(shù)函數(shù)的泰勒展開：

由于指數(shù)函數(shù)在全平面內(nèi)解析，因此，上述泰勒展開的收斂范圍是

。

還有一個函數(shù)比較常見：

這個函數(shù)的 n 階導數(shù)為

于是，這個函數(shù)的冪級數(shù)展開為

由于 z?=1 是這個函數(shù)的唯一的奇點，因此，上述冪級數(shù)展開的收斂范圍是

。

三角函數(shù)也許是在科學研究中最經(jīng)常遇到的初等函數(shù)。對這個函數(shù)，我們可以根據(jù)它的定義式直接利用指數(shù)函數(shù)的泰勒展開把它的泰勒展開拼湊出來：