2010-06-08 17:23:27| 分類(lèi)： 教學(xué)研究 |字號(hào) 訂閱
1.投針問(wèn)題
法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐先生（1707-1788）經(jīng)常搞點(diǎn)有趣的試驗(yàn)給朋友們解悶。1777年的一天，布豐先生又在家里為賓客們做一次有趣的試驗(yàn)，他先在一張白紙上畫(huà)滿(mǎn)了一條條距離相等的平行線。然后，他抓出一大把小針，每根小針的長(zhǎng)度都小于平行線之間距離。蒲豐說(shuō)：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根地往紙上隨便扔吧。”客人們好奇地把小針一根根地往紙上亂扔。最后布豐宣布結(jié)果：大家共投針2212次，其中與直線相交的就有704次。用704去除2212，得數(shù)3.142。他笑了笑說(shuō)：“這就是圓周率π的近似值?！边@時(shí)，眾賓客嘩然：“圓周率π?這根本和圓沾不上邊呀?” 布豐先生卻好像看透了眾人的心思，斬釘截鐵地說(shuō)：“諸位不用懷疑，這的確就是圓周率π的近似值。你們看，連圓規(guī)也不要，就可以求出π的值來(lái)。只要你有耐心，投擲的次數(shù)越多，求出的圓周率就越精確?！边@就是數(shù)學(xué)史上有名的“投針試驗(yàn)”。
1777年法國(guó)科學(xué)家布豐提出的一種計(jì)算圓周率的方法——隨機(jī)投針?lè)?，即著名的布豐投針問(wèn)題。這一方法的步驟是：
1) 取一張白紙，在上面畫(huà)上許多條間距為d的平行線。
2) 取一根長(zhǎng)度為l（l<d） 的針，隨機(jī)地向畫(huà)有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m
3）計(jì)算針與直線相交的概率．
18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐和勒可萊爾提出的“投針問(wèn)題”，記載于布豐1777年出版的著作中：“在平面上畫(huà)有一組間距為d的平行線，將一根長(zhǎng)度為l（l<d）的針任意擲在這個(gè)平面上，求此針與平行線中任一條相交的概率。”布豐本人證明了，這個(gè)概率是
p=2l/(πd) π為圓周率
利用這個(gè)公式可以用概率的方法得到圓周率的近似值。下面是一些資料
實(shí)驗(yàn)者 年代 投擲次數(shù) 相交次數(shù) 圓周率估計(jì)值
沃爾夫 1850 5000 2531 3.1596
史密斯 1855 3204 1219 3.1554
德摩根 1680 600 383 3.137
?？怂?1884 1030 489 3.1595
拉澤里尼 1901 3408 1808 3.1415929
賴(lài)納 1925 2520 859 3.1795
布豐投針實(shí)驗(yàn)是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問(wèn)題的例子，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用。
像投針實(shí)驗(yàn)一樣，用通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)所求的概率來(lái)估計(jì)我們感興趣的一個(gè)量，這樣的方法稱(chēng)為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間隨著計(jì)算機(jī)的誕生而興起和發(fā)展起來(lái)的。這種方法在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)域中得到廣泛利用。
法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐最早設(shè)計(jì)了投針試驗(yàn)。并于1777年給出了針與平行線相交的概率的計(jì)算公式P=2L/πd(其中L是針的長(zhǎng)度，d是平行線間的距離，π是圓周率)。
由于它與π有關(guān)，于是人們想到利用投針試驗(yàn)來(lái)估計(jì)圓周率的值。
此外，隨便說(shuō)出3個(gè)正數(shù)，以這3個(gè)正數(shù)為邊長(zhǎng)可以圍成一個(gè)鈍角三角形的概率P也與π有關(guān)。
值得注意的是這里采用的方法：設(shè)計(jì)一個(gè)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，它的概率與我們感興趣的一個(gè)量（如π）有關(guān)，然后利用試驗(yàn)結(jié)果來(lái)估計(jì)這個(gè)量，隨著計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，這一方法已經(jīng)發(fā)展為具有廣泛應(yīng)用性的蒙特卡羅方法。
投針試驗(yàn)——計(jì)算π的最為稀奇的方法之一
計(jì)算π的最為稀奇的方法之一，要數(shù)18世紀(jì)法國(guó)的博物學(xué)家C·布豐和他的投針實(shí)驗(yàn)：在一個(gè)平面上，用尺畫(huà)一組相距為d的平行線；一根長(zhǎng)度小于d的針，扔到畫(huà)了線的平面上；如果針與線相交，則該次扔出被認(rèn)為是有利的，否則則是不利的．
布豐驚奇地發(fā)現(xiàn)：有利的扔出與不利的扔出兩者次數(shù)的比，是一個(gè)包含π的表示式．如果針的長(zhǎng)度等于d，那么有利扔出的概率為2/π．扔的次數(shù)越多，由此能求出越為精確的π的值．
公元1901年，意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼作了3408次投針，給出π的值為3．1415929——準(zhǔn)確到小數(shù)后6位．不過(guò)，不管拉茲瑞尼是否實(shí)際上投過(guò)針，他的實(shí)驗(yàn)還是受到了美國(guó)猶他州奧格登的國(guó)立韋伯大學(xué)的L·巴杰的質(zhì)疑．通過(guò)幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發(fā)現(xiàn)π，這是著實(shí)令人驚訝的！
2.統(tǒng)計(jì)與生活
按語(yǔ)：這是我去年組織業(yè)務(wù)培訓(xùn)時(shí)講課稿的一部分。通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)基本常識(shí)與生活常識(shí)的結(jié)合，希望能對(duì)初學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)或者對(duì)統(tǒng)計(jì)有一定興趣的人士帶來(lái)一點(diǎn)新鮮的學(xué)習(xí)“空氣”。以下的知識(shí)，是本人平時(shí)工作經(jīng)驗(yàn)的累積，編輯匆忙，難免有一些訛誤，讀者可隨時(shí)批評(píng)指正。
一、兩個(gè)統(tǒng)計(jì)著名定理。小概率原理和摩斯科定理。
（一）定理小概率事件與小概率原理。讓我們先舉例談?wù)勑「怕适录o我們的啟示吧。
1、在世界上火車(chē)與汽車(chē)相撞的事件，時(shí)有發(fā)生。然而，卻幾乎沒(méi)有人，由于擔(dān)心火車(chē)與汽車(chē)相撞，不去乘火車(chē)、汽車(chē)而寧愿步行。這是為什么呢？原因是：在現(xiàn)實(shí)中，這種相撞的可能性實(shí)在是太小了。在世界上千千萬(wàn)萬(wàn)次的車(chē)禍中，能找到的也只是極少數(shù)幾例。
再舉例，人遭遇車(chē)禍，這種可能性通常要比火車(chē)與汽車(chē)相撞的可能性大不知多少倍。然而，在人們億萬(wàn)次的外出中，遭遇車(chē)禍畢竟還是占少數(shù)。這是為什么？
不過(guò)，小概率原理告訴我們的生活經(jīng)驗(yàn)，并不等于說(shuō)我們就應(yīng)該對(duì)小概率事件視而不見(jiàn)或忽視不理。這就是說(shuō)，你知道發(fā)生車(chē)禍的幾率極低，為什么你在汽車(chē)，特別是小轎車(chē)?yán)?，還要用上安全帶呢？
2、這里就順便告訴大家一個(gè)與小概率原理似乎相反的道理，“墨菲定律”，墨菲是美國(guó)的一名空軍上尉工程師，1949年的一天，他對(duì)一位倒霉透頂?shù)耐麻_(kāi)了個(gè)玩笑，說(shuō)：“如果一件事情有可能被弄糟，讓你去做就一定會(huì)弄糟”，沒(méi)想到，就是這句話(huà)，后來(lái)在商界廣為流傳，逐漸演變成著名的墨菲定律。其實(shí)我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中也常有這樣的體會(huì)：似乎買(mǎi)回來(lái)就沒(méi)用過(guò)的東西，我們總是不得不當(dāng)作垃圾或廢物處理掉，或者隨意丟棄在家里的某個(gè)角落，沒(méi)想到，過(guò)了不久，我們卻突然想起這個(gè)東西要派上大用場(chǎng)，卻尋它不著。
今天準(zhǔn)備培訓(xùn)課程的時(shí)候胡思亂想,忽然間想起來(lái)墨菲定律(Murphy's Law)這個(gè)有趣的話(huà)題. 西方文化中，有很多所謂的"定律", 墨菲定律應(yīng)該算是一則比較著名的"定律"了.什么是墨菲定律? 最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式是"有可能出錯(cuò)的事情，就會(huì)出錯(cuò)(Anything that can go wrong will go wrong)"。
愛(ài)德華·墨菲、約翰·保羅·斯特拉普和喬治·尼克斯憑這條定律居然還得到了搞笑諾貝爾獎(jiǎng)(IgNobel)獎(jiǎng)。而墨菲定律的一些衍生版本也的確有趣.比如"東西久久都派不上用場(chǎng)，就可以丟掉；東西一丟掉，往往就必須要用它",再比如"你出去買(mǎi)爆米花的時(shí)候，銀幕上偏偏就出現(xiàn)了精采鏡頭".
拋開(kāi) Murphy's Law 衍生出來(lái)如此多的版本不談，說(shuō)一下墨菲定律和 DBA 之間的關(guān)系。Anything that can go wrong will go wrong, 這句話(huà)對(duì) DBA 來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是引起注意的, 甚至作為金科玉律也不為過(guò),一般來(lái)說(shuō)，沒(méi)有哪一個(gè)人管理的數(shù)據(jù)庫(kù)是完美無(wú)缺的，但是如果你發(fā)現(xiàn)了數(shù)據(jù)庫(kù)的缺限置之不理，存在僥幸心理，那么最后往往會(huì)發(fā)生你最擔(dān)心的問(wèn)題。我就曾經(jīng)親生經(jīng)歷過(guò)幾起類(lèi)似的事件，事后總結(jié)的時(shí)候想 "如果我...如何做" 就好了. 但是已經(jīng)發(fā)生的事情就不允許假設(shè)了.
3、我們理解了小概率原理的定義。那么接下來(lái)讓我們了解一個(gè)有趣的小概率游戲吧。如果你到一個(gè)班級(jí)或者是大一點(diǎn)的部門(mén)，我們就以學(xué)校里的班級(jí)為例吧。如果你是一個(gè)班級(jí)里的新同學(xué)，班上連你共50個(gè)學(xué)生，那么你完全可以大言不慚地對(duì)你班上49名新伙伴，作一次驚人的宣布：“我們班級(jí)里一定有人生日是相同的！”我想大家聽(tīng)了，一定會(huì)驚訝不已！可能連你本人也會(huì)感到難以置信！為什么？首先，你對(duì)他們的生日一無(wú)所知，其次，一年有365天，而你班上只有50人，難道生日會(huì)重合嗎？
但是，事實(shí)上，通過(guò)統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，我可以告訴你，這是極可能獲得成功的。
這個(gè)游戲成功的道理是什么？原來(lái)，班上的第一位同學(xué)要與你生日不同。那么他的生日只能在一年365天中的另外364天，利用統(tǒng)計(jì)概率運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)知識(shí)，用計(jì)算器或?qū)?shù)表細(xì)心計(jì)算，我們可以得到全班50名同學(xué)生日都不同的概率為：P（全不相同）=0.0295。由于50人中有人生日相同和全不相同這兩件事，二者必居其一，所以
P（有相同）＋P（全不相同）＝1。因而
?。ǘ┠λ箍贫ɡ斫o我們的啟發(fā)。美國(guó)管理學(xué)家R.摩斯科提出了他的摩斯科定理：你得到的第一個(gè)回答，不一定是最好的回答。這一定理運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)中，可以總結(jié)出：我們得到的第一手?jǐn)?shù)據(jù)，不一定是最有用的數(shù)據(jù)。為什么？達(dá)成統(tǒng)計(jì)核心目標(biāo)的關(guān)鍵在于不斷修正實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程。有一位商界奇葩總結(jié)出一個(gè)觀點(diǎn)：一件事情100％的結(jié)果，決定于97％的修正過(guò)程。我們來(lái)看看他得出這一結(jié)論的依據(jù)吧。美國(guó)曾經(jīng)在上個(gè)世紀(jì)60年代送兩名宇航員到月球上去并獲得成功，常被人忽視的是在那次發(fā)射后的火箭運(yùn)行過(guò)程中，只有3％的時(shí)間火箭方向與正式軌道方向一致，其余時(shí)間都在修正航向?？梢?jiàn)，要實(shí)現(xiàn)一個(gè)根本目標(biāo)不是容易的，因?yàn)槟繕?biāo)在變動(dòng)，目標(biāo)和我們周?chē)沫h(huán)境在變化，我們具備的各項(xiàng)條件（有利因素、不利因素）也在變。只有不斷調(diào)整和尋找正確的目標(biāo)，不斷熟悉和適應(yīng)所處的環(huán)境，不斷利用好有利于達(dá)成目標(biāo)的條件，克服不利的因素，才能幫助實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。而這，需要的就是創(chuàng)新。
兩個(gè)定理我們就簡(jiǎn)單介紹給大家，接下來(lái)我們?cè)購(gòu)钠渌碚摵蜕顔⑹局姓J(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的常識(shí)吧。
二、統(tǒng)計(jì)的對(duì)象需要篩選。
我首先要告訴大家一個(gè)重要觀念：統(tǒng)計(jì)的價(jià)值在于對(duì)現(xiàn)象和本質(zhì)聯(lián)系的描述。讓我們用一則故事來(lái)闡述這一統(tǒng)計(jì)常識(shí)。
有兩個(gè)非常聰明的經(jīng)濟(jì)學(xué)天才青年，他們經(jīng)常為一些高深的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論爭(zhēng)辯不休。有一天呢，飯后他們一起去散步，為了某個(gè)數(shù)學(xué)模型的證明兩位杰出青年又爭(zhēng)了起來(lái)，正在難分高下的時(shí)候，突然發(fā)現(xiàn)前面的草地上有一堆狗屎。甲就對(duì)乙說(shuō)，如果你能把它吃下去，我愿意出五千萬(wàn)。五千萬(wàn)的誘惑可真不小，吃還是不吃呢？乙掏出紙筆，進(jìn)行了精確的數(shù)學(xué)計(jì)算，很快得出了經(jīng)濟(jì)學(xué)上的最優(yōu)解：吃！于是甲損失了五千萬(wàn)，當(dāng)然，乙的這頓加餐吃的也并不輕松。兩個(gè)人繼續(xù)散步，突然又發(fā)現(xiàn)一堆狗屎，這時(shí)候乙開(kāi)始劇烈的反胃，而甲也有點(diǎn)心疼剛才花掉的五千萬(wàn)了。于是乙說(shuō)，你把它吃下去，我也給你五千萬(wàn)。于是，不同的計(jì)算方法，相同的計(jì)算結(jié)果——吃！甲心滿(mǎn)意足的收回了五千萬(wàn)，而乙似乎也找到了一點(diǎn)心理平衡?？赏蝗?，天才們同時(shí)嚎啕大哭：鬧了半天我們什么也沒(méi)有得到，卻白白的吃了兩堆狗屎！他們?cè)趺匆蚕氩煌?，只好去?qǐng)他們的導(dǎo)師，一位著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)泰斗給出解釋。聽(tīng)了兩位高足的故事，沒(méi)想到泰斗也嚎啕大哭起來(lái)。好容易等情緒穩(wěn)定了一點(diǎn)，只見(jiàn)泰斗顫巍巍的舉起一根手指頭，無(wú)比激動(dòng)地說(shuō)：“1個(gè)億??！1個(gè)億啊！我親愛(ài)的同學(xué)，我代表祖國(guó)和人民感謝你們，你們僅僅吃了兩堆狗屎，就為國(guó)家的GDP貢獻(xiàn)了1個(gè)億的產(chǎn)值！”
也許在座各位當(dāng)中，已經(jīng)有不少人聽(tīng)過(guò)這個(gè)笑話(huà)。但是你是否想過(guò)，笑話(huà)所揭露的不僅僅是所謂國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值計(jì)算的誤區(qū)，而且還是我們從事統(tǒng)計(jì)工作同志應(yīng)該引以為警的生動(dòng)事例。那就是，統(tǒng)計(jì)的對(duì)象究竟應(yīng)該是什么，不應(yīng)該包括什么。你消費(fèi)的物品給你帶來(lái)的并不是正效用，甚至不是零效用，那么這樣的所謂消費(fèi)能作為經(jīng)濟(jì)總量計(jì)算對(duì)象嗎？如果這也可以的話(huà)，那么，我們干脆全國(guó)人民天天在家相互付費(fèi)買(mǎi)西北風(fēng)算了，不要生產(chǎn)什么產(chǎn)品，也能讓經(jīng)濟(jì)總量年年攀高。事實(shí)上，我們統(tǒng)計(jì)的對(duì)象應(yīng)當(dāng)是有意義和內(nèi)涵的事物及事物之間的聯(lián)系，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果必須反映事實(shí)，但更重要的是要反映事實(shí)之間的普遍聯(lián)系。剛才的這一笑話(huà)現(xiàn)象是什么？?jī)蓚€(gè)人吃狗屎和分別付出五千萬(wàn)的代價(jià)，反映的本質(zhì)和事物的聯(lián)系是什么？五千萬(wàn)買(mǎi)人吃狗屎，這有意義嗎？其實(shí)這則笑話(huà)還給了我們一個(gè)重要啟示，就是說(shuō)統(tǒng)計(jì)工作中要注意對(duì)搜集的資料數(shù)據(jù)去偽存真，剔輕留重，這一啟示我待會(huì)兒還會(huì)提到。
三、統(tǒng)計(jì)源于生活，服務(wù)于生活。
說(shuō)統(tǒng)計(jì)是一門(mén)源于實(shí)踐又必須服務(wù)實(shí)踐的工具，實(shí)際上我們沒(méi)有人會(huì)反對(duì)，我們?cè)谠S多工作中，自覺(jué)不自覺(jué)的也都在利用著統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)知識(shí)帶給我們的便利。許多科學(xué)家，特別是自然科學(xué)和經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)家，其實(shí)都具有深厚的統(tǒng)計(jì)學(xué)識(shí)。讓我們來(lái)體會(huì)一下吧。我這里介紹一次歷史著名試驗(yàn)的啟發(fā)。
公元1777年的一天，法國(guó)科學(xué)家D·布豐（D·buffon1707～1788）的家里賓客滿(mǎn)堂，原來(lái)他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)前來(lái)觀看一次奇特試驗(yàn)的。
試驗(yàn)開(kāi)始，但見(jiàn)年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來(lái)，紙上預(yù)先畫(huà)好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”
客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主意，一個(gè)個(gè)加入了試驗(yàn)的行列。一把小針扔完了，把它撿起來(lái)又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個(gè)鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f(shuō)到這里，布豐先生故意停了停，并對(duì)大家報(bào)以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說(shuō)：“先生們，這就是圓周率π的近似值！”
眾賓嘩然，一時(shí)議論紛紛，個(gè)個(gè)感到莫名其妙；“圓周率π？這可是與圓半點(diǎn)也不沾邊的呀！”
布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：“諸位，這里用的是概率的原理，如果大家有耐心的話(huà)，再增加投針的次數(shù)，還能得到π的更精確的近似值。不過(guò)，要想弄清其間的道理，只好請(qǐng)大家去看敝人的新作了。”隨著布豐先生揚(yáng)了揚(yáng)自己手上的一本《或然算術(shù)試驗(yàn)》的書(shū)。
這就是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家布豐為我們帶來(lái)的介紹圓周率的精彩的投針試驗(yàn)。布豐投針試驗(yàn)的驗(yàn)證其實(shí)并不復(fù)雜，限于今天培訓(xùn)的時(shí)間和條件，我也不打算證明給大家看。
π在這種紛紜雜亂的場(chǎng)合出現(xiàn)，實(shí)在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬(wàn)確的事實(shí)。由于投針試驗(yàn)的問(wèn)題，是布豐先生最先提出的，所以數(shù)學(xué)史上就稱(chēng)它為布豐問(wèn)題。布豐得出的一般結(jié)果是：如果紙上兩平行線間相距為d，小針長(zhǎng)為l，投針的次數(shù)為n，所投的針當(dāng)中與平行線相交的次數(shù)是m，那么當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)有：
在上面故事中，針長(zhǎng)l等于平行線距離d的一半，所以代入上面公式簡(jiǎn)化
我想，喜歡思考的讀者，一定想知道布豐先生投針試驗(yàn)的原理，下面就是一個(gè)簡(jiǎn)單而巧妙的證明。
找一根鐵絲彎成一個(gè)圓圈，使其直徑恰恰等于平行線間的距離d?？梢韵胂蟮玫?，對(duì)于這樣的圓圈來(lái)說(shuō)，不管怎么扔下，都將和平行線有兩個(gè)交點(diǎn)。因此，如果圓圈扔下的次數(shù)為n次，那么相交的交點(diǎn)總數(shù)必為2n。
現(xiàn)在設(shè)想把圓圈拉直，變成一條長(zhǎng)為πd的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時(shí)與平行線相交的情形要比圓圈復(fù)雜些，可能有4個(gè)交點(diǎn)，3個(gè)交點(diǎn)，2個(gè)交點(diǎn)，1個(gè)交點(diǎn)，甚至于都不相交。
由于圓圈和直線的長(zhǎng)度同為πd，根據(jù)機(jī)會(huì)均等的原理，當(dāng)它們投擲次數(shù)較多，且相等時(shí)，兩者與平行線組交點(diǎn)的總數(shù)可望是一樣的。這就是說(shuō)，當(dāng)長(zhǎng)為πd的鐵絲扔下n次時(shí)，與平行線相交的交點(diǎn)總數(shù)應(yīng)大致為2n。
現(xiàn)在再來(lái)討論鐵絲長(zhǎng)為l的情形。當(dāng)投擲次數(shù)n增大的時(shí)候，這種鐵絲跟平行線相交的交點(diǎn)總數(shù)m應(yīng)當(dāng)與長(zhǎng)度l成正比，因而有：
m＝kl
式中K是比例系數(shù)。
為了求出K來(lái)，只需注意到，對(duì)于l＝πd的特殊情形，有m＝2n。
這便是著名的布豐公式。
其實(shí)你認(rèn)為布豐是怎么想出來(lái)如此讓人出乎意料的試驗(yàn)的？我相信這里應(yīng)該既有布豐本人學(xué)術(shù)知識(shí)豐厚的原因，其實(shí)更重要的還應(yīng)該包括他對(duì)實(shí)際生活中各種現(xiàn)象的觀察和關(guān)注。
這就是告訴我們，生活與科學(xué)沒(méi)有什么必然的界限，作為歷史發(fā)展過(guò)程中始終與生活緊密聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)更應(yīng)如此。
本專(zhuān)題第二部分講到這里，實(shí)際上從剛才的許多事例中大家也都了解到統(tǒng)計(jì)的魅力，這一部分的最后呢，我可以告訴大家一個(gè)統(tǒng)計(jì)中最核心的理論知識(shí)點(diǎn)：
四、統(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理。什么是統(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理？我們從賭場(chǎng)的故事可以得出。
賭場(chǎng)為什么賺錢(qián)？沒(méi)有任何trick，統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。舉個(gè)例子。我有100塊錢(qián)，你有10塊錢(qián)，我們?nèi)佑矌?，頭算你贏1塊，字算我贏1塊。規(guī)則：賭到輸完才許結(jié)束。那么問(wèn)，各自的勝負(fù)概率多少？我贏到你的10塊錢(qián)的幾率大于90%！這個(gè)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理。（大數(shù)規(guī)則：只有通過(guò)較大量樣本的統(tǒng)計(jì)，我們才能得出真正本質(zhì)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)等的發(fā)展的本質(zhì)規(guī)律，如此而已）。
賭場(chǎng)。莊家資金大概是入場(chǎng)賭徒的資金的千倍或者萬(wàn)倍，如果扔硬幣，賭徒的勝率會(huì)有多少？自己算一下吧，0.00..01%。因此，莊家允許玩一些花樣，一方面提高賭徒的玩興，一方面允許莊家在每筆小賭中勝率略小于50%：沒(méi)關(guān)系，表面上你贏的多，最后都是我的，嘿嘿，這就是莊家。
具體莊家勝率能小到多少？跟怎樣的賭徒可以玩怎樣的勝率？這些是無(wú)數(shù)賭場(chǎng)百年來(lái)經(jīng)驗(yàn)積累，為什么不用統(tǒng)計(jì)學(xué)算一下呢？
當(dāng)然，你可以討論（argue）。
1，我干嗎賭完才走？我贏到滿(mǎn)意了就走。這種小賭徒有，但是不輸?shù)骄獠煌２攀钦嬲馁€徒，賭場(chǎng)主要生意面向真正的賭徒。小贏就跑的人畢竟不多，對(duì)賭場(chǎng)沒(méi)有大的損失，反而做了活廣告，——“瞧，這家賭場(chǎng)多好玩，還能賺錢(qián)，大家以后都去阿~~~”
2，雖然莊家勝率極高極高，但是莊家只有一個(gè)，賭徒多阿~~~ ‘人海戰(zhàn)術(shù)’打敗莊家。統(tǒng)計(jì)上說(shuō)，多次貝努利實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也是很容易算的。賭徒數(shù)線性增長(zhǎng)，賭場(chǎng)的勝率減弱卻是級(jí)數(shù)型。注意：級(jí)數(shù)增長(zhǎng)是很可怕的，但是級(jí)數(shù)減弱緩慢得讓人撓頭發(fā)火。人多到把賭場(chǎng)擠爆都不一定能扭轉(zhuǎn)局面，莊家此時(shí)已經(jīng)賺得笑不動(dòng)了。
因此，最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)——數(shù)學(xué)說(shuō)：你贏不了賭場(chǎng)；你每次下注贏回的期望值都是正的，但是你每次去賭場(chǎng)回家時(shí)口袋里的期望值是零；賭錢(qián)就是happy一下，千萬(wàn)別沉迷。
3.蒲豐投針試驗(yàn)思想
在1777年出小版的《或然性算術(shù)實(shí)驗(yàn)》一書(shū)中，蒲豐提出了用實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算 π 。這個(gè)實(shí)驗(yàn)方法的操作很簡(jiǎn)單：找一根粗細(xì)均勻，長(zhǎng)度為 d 的細(xì)針，并在一張白紙上畫(huà)上一組間距為 l 的平行線（方便起見(jiàn)，常取 l = d/2），然后一次又一次地將針任意投擲在白紙上。這樣反復(fù)地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)。于是就可以得到 π 的近似值。因?yàn)槠沿S本人證明了針與任意平行線相交的概率為 p = 2l/πd 。
18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐和勒可萊爾提出的“投針問(wèn)題”，記載于布豐1777年出版的著作中：“在平面上畫(huà)有一組間距為d的平行線，將一根長(zhǎng)度為l（l<d）的針任意擲在這個(gè)平面上，球此針與平行線中任一條相交的頻率?！辈钾S本人證明了，這個(gè)概率是
p=2l/(πd) π為圓周率
利用這個(gè)公式可以用概率的方法得到圓周率的近似值。下面是一些資料
實(shí)驗(yàn)者
沃爾夫
史密斯
德摩根
?？怂?nbsp;
拉澤里尼
賴(lài)納
布豐投針實(shí)驗(yàn)是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問(wèn)題的例子，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用。
像投針實(shí)驗(yàn)一樣，用通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)所求的概率來(lái)估計(jì)我們感興趣的一個(gè)量，這樣的方法稱(chēng)為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間隨著計(jì)算機(jī)的誕生而興起和發(fā)展起來(lái)的。這種方法在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)域中得到廣泛利用。
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