淺析第五公設(shè)的證明及其影響與意義
由于歐幾里德的 第五公設(shè)陳訴不夠自明，又更像一條定理，因而引起人們的極大關(guān)注。數(shù)學(xué)家試圖從歐幾里德的其他公設(shè)與公理中將其推導(dǎo)出來(lái)。這種嘗試，使數(shù)學(xué)家忙碌了兩千多年，雖然提出了這樣或那樣的證明，但最終發(fā)覺(jué)在每個(gè)證明中或早或遲都使用了等價(jià)第五公設(shè)的一條命題（即是這些證明逃脫不了循環(huán)論證的命運(yùn)）。盡管如此，在一些研究中還是孕育了積極的思想。
以下給出各時(shí)代有代表的數(shù)學(xué)家給出的第五公設(shè)證明過(guò)程。
首先歐幾里德第五公設(shè)：若一條直線與另外兩條直線相交，當(dāng)有一側(cè)的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角是，則這兩條直線就在這一側(cè)相交。
一、公元五世紀(jì)普羅克魯斯對(duì)第五公設(shè)的試證過(guò)程：設(shè)共面的兩條直線L1與L2被第三條直線L3所截，在直線L3的一側(cè)構(gòu)成同側(cè)內(nèi)角α和β，并且α＋β＜2d(d表示直角)，求證L1與L2兩直線必相交。
γ |
α |
H |
α1 |
L3 |
L |
L1 |
A |
圖1.1 |
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β |
C |
這樣就證明了兩條直線L1，L2必相交，并且交點(diǎn)在被第三條直線L3所截的同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角的一側(cè)（證畢）。
普羅克魯斯在這個(gè)證明中作了兩個(gè)假設(shè)。
（1） 當(dāng)C點(diǎn)沿直線無(wú)限遠(yuǎn)離B點(diǎn)時(shí)，距離H=CD，將無(wú)限增大。
（2） 兩條平行線之間的距離是有限的，并且處處相等。
事實(shí)上，（1）是對(duì)的，它可利用《幾何原本》中的公設(shè)4和公理5推導(dǎo)出；而（2）是錯(cuò)的，它是一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的命題。普羅克魯斯的“證明”顯然沒(méi)有達(dá)到目的。
二、意大利數(shù)學(xué)家薩開(kāi)里對(duì)第五公設(shè)的試證過(guò)程：薩開(kāi)里考慮底邊AB上兩底角都是直角，并且兩條側(cè)邊AD和BC相等的四邊形ABCD（圖1.2）。他首先證明AB和CD的中點(diǎn)連線EF與上下底邊垂直，并且兩個(gè)底角∠C=∠D，這時(shí)三種可能：
(1) ∠C和∠D都是鈍角（鈍角假設(shè)）
(2) ∠C和∠D都是直角（直角假設(shè)）
(3) ∠C和∠D都是銳角（銳角假設(shè)）
其中，鈍角假設(shè)易被否定，而直角假設(shè)可推導(dǎo)出第五公設(shè)成立，于是只要否定銳角假設(shè)即可。薩開(kāi)里企圖由銳角假設(shè)成立而引出矛盾。他推導(dǎo)三十多步都沒(méi)有找出矛盾，在深入展開(kāi)推論，則建立了復(fù)雜的幾何體系，其中有一部分結(jié)論于直覺(jué)不符，卻找不到在邏輯上的自相矛盾的地方。例如，他證明了，這兩條直線在它公垂線兩側(cè)相互無(wú)界的分離；或者沒(méi)有公共的垂線，這兩條直線在一個(gè)方向無(wú)限接近，而在另一方向則無(wú)界的分離。這些結(jié)論從邏輯上挑不出任何毛病，但他卻認(rèn)為這些結(jié)論不合情理，于是由此斷定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。這樣，他自認(rèn)為自己證明了第五公設(shè)。實(shí)際上，薩開(kāi)里得到的一系列異于直覺(jué)的推論正是屬于非歐幾何的可惜他自己并未察覺(jué)這一點(diǎn)而把他否定了。
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D |
A |
B |
C |
E |
F |
圖1.2 |
三、德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特也有類似的對(duì)第五公設(shè)的試證。他于1766年在其著作《平行線理論》中考慮有三個(gè)內(nèi)角都是直角的四邊形ABCD(圖1.3).他對(duì)第四個(gè)內(nèi)角的三種可能性分別做了分析：直角假設(shè)等價(jià)于第五公設(shè)；銳角假設(shè)不可能，他與公設(shè)4，公理5矛盾；對(duì)于從銳角假設(shè)推導(dǎo)出的結(jié)論，他猜想可能應(yīng)用于虛半徑球面的圖形上，蘭伯特的幾何觀點(diǎn)是比較先進(jìn)的，他認(rèn)為任何一組假設(shè)，如果不導(dǎo)致假設(shè)矛盾，那么一定提供一種可能的幾何。蘭伯特比他用時(shí)代的人走了更正確的途徑，他預(yù)感到第五公設(shè)問(wèn)題的真正的答案
|
D |
A |
B |
C |
圖1.3 |
。
數(shù)學(xué)的特殊成果，一般不會(huì)只是個(gè)人的工作。這種數(shù)學(xué)積累的發(fā)展，特別適用于創(chuàng)立非歐幾里德幾何的情形。前面已經(jīng)介紹的是非歐幾何的先行者。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者，應(yīng)屬于以下三個(gè)數(shù)學(xué)家——德國(guó)的高斯；匈牙利的波爾約；俄國(guó)的羅巴切夫斯基。
高斯在19世紀(jì)初也曾試圖證明第五公設(shè)。他在1817年的同信中即談到“所要證明的部分是不可能的……”1824年，在一封信上說(shuō)“三角形的三內(nèi)角之和小于180度這假定引導(dǎo)特殊的，與我們的幾何完全相異的幾何”。但是由于種種原因，高斯生前并未發(fā)表關(guān)于非歐幾何的任何研究成果。
波爾約在1823年已得到關(guān)于新的平行線理論的結(jié)果，1832年一附錄的形式在他父親的一本書(shū)后發(fā)表了他的研究成果《絕對(duì)空間的科學(xué)》，其中論述的“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何。由于他的工作得不到同時(shí)代的數(shù)學(xué)家的理解，特別是得不到高斯的理解，從此他放棄了數(shù)學(xué)研究。
圖1.4 |
C |
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D |
A |
B |
F |
C |
ω |
E |
G |
羅巴切夫斯基建立的非歐幾何在當(dāng)時(shí)沒(méi)有得到人們的承認(rèn)。在他去世后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米于1868年發(fā)表論文《關(guān)于非歐幾里德幾何的解釋》，其中給出了羅巴切夫斯基幾何的第一個(gè)模型——具有負(fù)常曲率的為球面，使得羅巴切夫斯基幾何有了現(xiàn)實(shí)的意義?？梢哉f(shuō)這時(shí)人們對(duì)羅氏幾何看法的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。此后又有克萊因和龐加萊關(guān)于羅巴切夫斯基幾何的解釋。使得羅氏幾何最終被人們所確立。
羅巴切夫斯基成功的建立了一種非歐幾何，解決了第五公設(shè)問(wèn)題，即它不可能用除它以外的歐幾里德的其余公理加以證明的。1899年，數(shù)學(xué)家希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中最終彌補(bǔ)了歐幾里德公理系統(tǒng)的不足之處，提供了一個(gè)完善的公理系統(tǒng)。
這樣，兩千多年來(lái)歐幾里德幾何作為反映現(xiàn)實(shí)世界的唯一正確的幾何空間的地位被動(dòng)搖，為創(chuàng)立不同的幾何學(xué)開(kāi)辟了道路。而第五公設(shè)的證明所帶來(lái)的影響也是深遠(yuǎn)的。
非歐幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)中導(dǎo)入了富有革命性的思想。一開(kāi)始被視為離經(jīng)叛道，為人所不容，后經(jīng)過(guò)一代又一代數(shù)學(xué)家的努力才使人們最終接受和理解。17世紀(jì)初期，生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步給數(shù)學(xué)不斷提出新的問(wèn)題。如在變速運(yùn)動(dòng)中如何解決速度，路程與時(shí)間的變化問(wèn)題等，解決這些問(wèn)題，必須使用——變量數(shù)學(xué)，作為非歐幾何的解析幾何因運(yùn)而生，他將代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來(lái)，使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)；微分幾何創(chuàng)立與18世紀(jì)，當(dāng)時(shí)研究?jī)?nèi)容只涉及用分析方法研究位于歐式空間中的曲線，曲面的性質(zhì)。1827年高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》，提出了內(nèi)蘊(yùn)曲面理論，為微分幾何的研究注入了新的思想，即將參數(shù)表示的曲面本身視為一個(gè)空間，它的特性不依賴與他的包容空間，開(kāi)創(chuàng)微分幾何的現(xiàn)代研究。1854年黎曼《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中，創(chuàng)立了黎曼幾何學(xué)。為物理與力學(xué)的研究提供了各種空間模式和數(shù)學(xué)工具，如愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論就是一黎曼幾何為數(shù)學(xué)工具的例證。
15－16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期，隨著繪畫(huà)和建筑藝術(shù)的發(fā)展，歐洲學(xué)者發(fā)現(xiàn)透視原理。1639年法國(guó)數(shù)學(xué)家G.Desargues,在其著作《試圖處理圓錐與平面相交情況初稿》，通過(guò)對(duì)透視的研究，提出了射影幾何的一些概念
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