質(zhì)數(shù)，也稱素數(shù)，指大于1的自然數(shù)中，除了1和本身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素數(shù)的分布規(guī)律至歐幾里德以來就是個迷。今天，我們來認(rèn)識下，素數(shù)的重要分布規(guī)律——素數(shù)定理。這是目前發(fā)現(xiàn)的，最重要的且被證明限制素數(shù)分布的定理之一。
歐幾里德
歐幾里德在大約公元前300年，就漂亮地證明了素數(shù)有無數(shù)個，從此人們開始了尋找素數(shù)公式的歷程。
大數(shù)學(xué)家歐拉在給丹尼爾·伯努利的一封信中寫道：'素數(shù)的計算公式，在我們這輩子可能找不到了。不過，我還是想用一個式子來表達(dá)它，但并不能表示出所有素數(shù)。n^2-n 41，n等于1到40'。
歐拉給出的這個多項式，在n=41時失效了，后來哥德巴赫給歐拉的信中提到：'一個整系數(shù)多項式，是不可能對所有整數(shù)取到素數(shù)的，但有些多項式可以得到很多素數(shù)。'
后來歐拉漂亮地證明了哥德巴赫的這個猜想，歐拉對數(shù)論的貢獻(xiàn)相當(dāng)多，數(shù)論四大定理之一就有個——歐拉定理，而歐拉的素數(shù)乘積式，是開啟黎曼猜想的金鑰匙。
歐拉和歐拉乘積式
對素數(shù)的研究，歐拉過后，直到高斯才有了進(jìn)展，大約在1792年，15歲的高斯就發(fā)現(xiàn)，素數(shù)在自然數(shù)中的分布密度，趨近于類似于對數(shù)積分的函數(shù)。
同時期的數(shù)學(xué)家勒讓德(A.M.Legendre)也提出了等價的猜想，但他們都無法對其證明，至此，這個問題成了數(shù)學(xué)界的頂級難題，甚至在數(shù)學(xué)界流傳著：如果誰證明了這個猜想，那么他將會得到永生。
證我者，得永生！
直到一百多后的1896年，這個猜想才被兩位年輕的數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊布桑獨立證明，他們的證明都是根據(jù)黎曼的思路走的，其中運用到了高深的整函數(shù)理論，至此，這個猜想正式升級為定理——素數(shù)定理（PNT）。
素數(shù)定理
值得一提的，他們兩人一個活了96歲，一個活了98歲。
素數(shù)定理還有個初等表達(dá)式：
素數(shù)定理初等表達(dá)式
該定理可以推出很多有趣的結(jié)論，比如：
N是素數(shù)的概率～1/lnN；
第N個素數(shù)～NlnN；
這兩個推論和PNT互為充要條件。
雖然我們有了PNT，但是PNT給出的絕對誤差實在是糟糕透了，比如第10000個素數(shù)104729，而PNT給出的是92103，這是數(shù)學(xué)家不能接受的，我們想要的是準(zhǔn)確的素數(shù)公式。
直到黎曼在1859年才給出了π(x)的準(zhǔn)確表達(dá)式：
黎曼關(guān)于素數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)的表達(dá)式
但是該表達(dá)式基于一個猜想為前提，即大名鼎鼎的黎曼猜想，至今乃是數(shù)學(xué)界待解決的重要猜想。想了解更多黎曼猜想的趣事，可以閱讀我之前的文章呢《若此數(shù)學(xué)猜想被破解，世界網(wǎng)絡(luò)將陷入癱瘓！—黎曼猜想》
