康托
現(xiàn)代意義上的集合概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(G．Cantor，1845～1918)給出的，他在研究三角級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果對(duì)于一個(gè)給定區(qū)間[a，b]中的任何一點(diǎn)x，當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)中的一般項(xiàng)
ansin(nx)+bn cos(nx)
都趨向于0，則系數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列{an}和{bn}就必須都趨向于0?？墒牵绻€有其他的系數(shù)的數(shù)列，比如說(shuō){cn}和{dn}也滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)，那么，這些系數(shù)的數(shù)列之間將具有什么關(guān)系呢？為了討論問(wèn)題的方便，分別用A，B，C和D表示這四個(gè)系數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，那么用現(xiàn)在的語(yǔ)言說(shuō)，這就形成了四個(gè)“點(diǎn)集”。按照康托后來(lái)的定義，這四個(gè)集合代表的數(shù)列是等價(jià)的，我們將在這一講的《無(wú)窮的度量與連續(xù)統(tǒng)》中詳細(xì)地討論這個(gè)問(wèn)題。
第一個(gè)集合論公理系統(tǒng)是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅(E．Zermelo，1871～1953)于1908年給出的，他的著名論文《關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究》是這樣開(kāi)始的：
“集合論是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的任務(wù)就是從數(shù)學(xué)上以最為簡(jiǎn)單的方式來(lái)研究數(shù)、序和函數(shù)等基本概念，并借此建立整個(gè)算術(shù)和分析的邏輯基礎(chǔ)，因此構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的必不可少的組成部分，但是在當(dāng)前這門(mén)學(xué)科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似乎是從它的根本原理導(dǎo)出來(lái)的，而且一直到現(xiàn)在，還沒(méi)有找到適當(dāng)?shù)慕鉀Q辦法。面對(duì)著羅素關(guān)于‘所有不包含以自己為元素的集合的集合’的悖論，事實(shí)上，它今天似乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念‘集合’或‘類(lèi)’為其外延。按照康托原來(lái)的關(guān)于集合的定義，把我們直觀(guān)或者我們思考所確定的不同的對(duì)象作為一個(gè)總體，現(xiàn)在看來(lái)，這個(gè)定義肯定要求加上某種限制，雖然到現(xiàn)在為止還沒(méi)有成功地用另外同樣簡(jiǎn)單的定義代替它，而不引起任何疑慮。在這種情況下，我們沒(méi)有別的辦法，而只能?chē)L試反其道而行之。也就是從歷史上存在的集合論出發(fā)，來(lái)得出一些原理，而這些原理是作為這門(mén)數(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)所要求的。這個(gè)問(wèn)題必須這樣解決，使得這些原理足夠的狹窄，足以排除掉所有的矛盾。同時(shí)，要足夠的寬廣，能夠保留這個(gè)理論所有有價(jià)值東西?！?/p>
策梅羅
我們知道，集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，可是，從上面的論述中可以發(fā)現(xiàn)，作為科學(xué)典范的數(shù)學(xué)的論證基礎(chǔ)，從誕生的那個(gè)時(shí)刻開(kāi)始就不平靜，各種猜疑、非議，甚至悖論、批評(píng)相繼出現(xiàn)。我想，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行的研究，至少對(duì)數(shù)學(xué)教育，認(rèn)真分析這些爭(zhēng)論的核心問(wèn)題是有必要的，因?yàn)檫@對(duì)把握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的論證思路和推理模式是有益處的。策梅羅在上文中所說(shuō)的羅素的悖論和康托原來(lái)的定義都是最為核心的問(wèn)題，我們將詳細(xì)地討論這兩個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的討論來(lái)探討如何給出集合的定義，從而分析集合論公理化系統(tǒng)的本質(zhì)。
在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多名詞經(jīng)常使用，人們對(duì)這些名詞似乎有了約定俗成的理解，借助這些理解人們就能夠進(jìn)行很好的交流，甚至可以作出很好的研究，但要給出這些名詞確切的定義非常困難，“集合”這個(gè)名詞就是如此。在前幾講中，我們?cè)?jīng)反復(fù)地使用了集合的概念，并且借助元素與集合之間、集合與集合之間的包含關(guān)系很好地分析了推理的過(guò)程，構(gòu)建了一些推理的模式?？墒?，如何給出“集合”一個(gè)確切的定義呢？
在我們使用集合這個(gè)概念的時(shí)候，頭腦中認(rèn)定的集合大概是：所要研究問(wèn)題對(duì)象的全體。但在許多場(chǎng)合這個(gè)概念是模糊的，比如我們?cè)?jīng)舉例提到過(guò)的“北方人”、“辣的菜”、“費(fèi)時(shí)的工作”等等。因此，在上述對(duì)于集合認(rèn)定的基礎(chǔ)上至少還要加上一個(gè)限定詞：可分辨的。于是大概可以認(rèn)定集合是：可分辨的、所要研究問(wèn)題對(duì)象的全體。也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)所要研究問(wèn)題的對(duì)象x，我們能夠明確地知道這個(gè)對(duì)象x是否屬于這個(gè)集合。這又似乎變成了性質(zhì)而不是定義了。
進(jìn)一步用符號(hào)表示。所謂“可分辨的”應(yīng)當(dāng)指：討論問(wèn)題對(duì)象所具有的某種特性。我們用P表示這種特性，那么可以規(guī)定：如果x具有特性P則認(rèn)為x屬于集合。從上述策梅羅的文章的述說(shuō)中可以看到，這個(gè)規(guī)定已經(jīng)非常接近康托最初的定義了。但是這個(gè)定義引發(fā)了許多悖論。首先是羅素于1902年給出的一個(gè)悖論，因?yàn)閳D書(shū)的目錄也可以裝訂成書(shū)，因此對(duì)于有些圖書(shū)館，“圖書(shū)館圖書(shū)的目錄”這個(gè)集合可以包括圖書(shū)目錄本身，于是羅素認(rèn)為：
“集合可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)是構(gòu)建集合的特性包含了集合本身，比如圖書(shū)目錄，稱(chēng)為R集，還有一類(lèi)是構(gòu)建集合的特性不包含集合，稱(chēng)為非R集。我們把所有非R集的集合總括為一個(gè)新的集合，用M表示，現(xiàn)在的問(wèn)題是：M屬于R集還是屬于非R集？如果屬于R集，不符合M的定義；如果屬于非R集，那么按照R集的定義，M又應(yīng)當(dāng)屬于R集。于是就出現(xiàn)了矛盾”
20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，這個(gè)悖論對(duì)數(shù)學(xué)界具有災(zāi)難性的后果。德國(guó)邏輯學(xué)家弗雷格(G．Frege，1848 - 1925)正準(zhǔn)備把他的著作《基本法則》的第二卷交付印刷時(shí)收到了羅素的來(lái)信，信中提及上述悖淪。弗雷格在那本準(zhǔn)備交付印刷的著作中，把整個(gè)算術(shù)重新建立在集合淪的基礎(chǔ)上，而他認(rèn)為的集合就是康托所描述的那樣的集合，當(dāng)他收到羅素的有關(guān)悖論的信之后非常緊張，馬上重新審閱了書(shū)稿，他在最終出版廠(chǎng)的這部著作的附言中，詳細(xì)地述說(shuō)了當(dāng)時(shí)的心情：
“在一項(xiàng)研究接近尾聲時(shí)，其基礎(chǔ)突然坍塌，對(duì)于一個(gè)科學(xué)家，再也沒(méi)有比這更令人沮喪的了。這本書(shū)在交付印刷時(shí)羅素先生的信就使我陷入了這樣的境地。”
羅素
1918年，羅素把這個(gè)悖論表述得更加通俗，就是廣為人知的“理發(fā)師悖論”：
“一個(gè)喜歡自夸的鄉(xiāng)村理發(fā)師宣稱(chēng)，他不給村里自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉。后來(lái)他遇到了尷尬，他是否應(yīng)當(dāng)給自己刮臉呢？如果他給自己刮臉，那么按照他宣稱(chēng)的前一半，就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么按照他宣稱(chēng)的后一半，就應(yīng)當(dāng)給自己刮臉。理發(fā)師陷入了邏輯兩難的困境。”
包括羅素本人在內(nèi)的大部分邏輯學(xué)家認(rèn)為，上面所說(shuō)的兩個(gè)悖論是一致的，是沒(méi)有本質(zhì)差異的。但我認(rèn)為，這兩個(gè)悖論是有本質(zhì)差異的：第一個(gè)悖論是與集合論公理體系有關(guān)的；第二個(gè)悖論涉及的并不是集合論本身的問(wèn)題，而涉及的是論證的哲學(xué)原理。我們來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。
第一個(gè)悖論是由“圖書(shū)目錄的目錄仍然是目錄”所引發(fā)的，提出的是“集合是否可以包含集合本身”這樣的問(wèn)題。因此只要規(guī)定：集合A不包含集合A本身，就像我們將要在下一節(jié)討論集合論公理體系中所規(guī)定的那樣，就可以化解這個(gè)問(wèn)題。事實(shí)上，在現(xiàn)在測(cè)度論的教科書(shū)中，已經(jīng)把由集合的子集（包括集合本身）組成的類(lèi)稱(chēng)為“域”或者“代數(shù)”，后來(lái)康托證明了就無(wú)窮多個(gè)元素而言，“域”所含元素的個(gè)數(shù)比原來(lái)集合所含元素的個(gè)數(shù)多一個(gè)數(shù)量級(jí)。
第二個(gè)悖論是由“理發(fā)師的工作特征與自己的述說(shuō)之間的矛盾“所引發(fā)的，提出的是“判斷者是否可以進(jìn)入判斷系統(tǒng)”的問(wèn)題。這是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，這樣的問(wèn)題在西方哲學(xué)中是少見(jiàn)的，因此稱(chēng)其為悖論，但這樣的問(wèn)題在東方哲學(xué)特別是中國(guó)古代哲學(xué)中卻是常見(jiàn)的。事實(shí)上，我想，我們?cè)凇锻评淼膶?duì)象：命題》和《命題的基礎(chǔ)：定義》中曾經(jīng)討論過(guò)的，哥德?tīng)栒撟C的“一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性不能通過(guò)該系統(tǒng)論證”這個(gè)命題的哲學(xué)原理也正在于此：通過(guò)系統(tǒng)自身的邏輯體系來(lái)評(píng)價(jià)這個(gè)體系的全貌是不可能的。
如果康托關(guān)于集合的定義或者說(shuō)關(guān)于集合的描述是不可行的，是可以出現(xiàn)悖論的，那么，到底應(yīng)當(dāng)如何定義集合呢？
回想我們?cè)凇秷D形與圖形關(guān)系德抽象》中關(guān)于平面幾何中基本概念的討論，比如對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)、面的討論。最初是古希臘學(xué)者泰勒斯（Thales，約前624～前546）直觀(guān)地研究了這些概念，并且給出了最初的平面幾何的定理。后來(lái)，歐幾里得抽象出了幾何學(xué)所要研究對(duì)象的定義：點(diǎn)是沒(méi)有部分的，線(xiàn)只有長(zhǎng)度沒(méi)有寬度，面只有長(zhǎng)度和寬度?？梢钥吹剑瑲W幾里得的定義并沒(méi)有完全擺脫經(jīng)驗(yàn)層面的東西，我們?cè)?jīng)稱(chēng)這種定義為第一步抽象。隨著研究的逐漸深入，特別是非歐幾何的出現(xiàn)，人們發(fā)現(xiàn)了歐幾里得定義的缺陷，于是又有了希爾伯特的關(guān)于定義的第二次抽象，那就是符號(hào)化：用大寫(xiě)字母A，B，C表示點(diǎn)，小寫(xiě)字母a，b，c表示線(xiàn)，希臘字母α，β，γ表示平面。然后，希爾伯特通過(guò)構(gòu)建幾何公理化體系來(lái)確定點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系。我們?cè)?jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)概念第二次抽象的特點(diǎn)是：數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)化和數(shù)學(xué)論證的形式化；并且我們說(shuō)過(guò)，盡管第二次抽象在形式上是美妙的，但就功能而言，第一次抽象發(fā)現(xiàn)了新的知識(shí)，第二次抽象合理地解釋了新的知識(shí)。
同樣，如果我們把康托關(guān)于集合的定義和論證看做第一次抽象的話(huà)，那么，關(guān)于集合的第二次抽象是什么呢？后續(xù)我們將接著討論這個(gè)問(wèn)題。
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