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6類基本初等函數之一:三角函數圖象與性質

三角函數是以角度(數學上最常用弧度制,下同)為自變量,角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用,也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中,三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們的取值擴展到任意實數值,甚至是復數值。

一、周期函數

1、周期函數的定義:

對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.T叫做這個函數的周期.

2、最小正周期:

如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.

典型例題1:

二、正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質

典型例題2:

值得注意:

1、求三角函數的單調區(qū)間時,應先把函數式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根據三角函數的單調區(qū)間,求出x所在的區(qū)間.應特別注意,考慮問題應在函數的定義域內.

2、周期性是函數的整體性質,要求對于函數整個定義域內的每一個x值都滿足f(x+T)=f(x),其中T是不為零的常數.如果只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一個x值不滿足f(x+T)=f(x),都不能說T是函數f(x)的周期.

3、求三角函數定義域實際上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.

4、求解涉及三角函數的值域(最值)的題目一般常用以下方法:

(1)、利用sin x、cos x的值域;

(2)、形式復雜的函數應化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據正弦函數單調性寫出函數的值域(如本例以題試法(2));

(3)、換元法:把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數在給定區(qū)間上的值域(最值)問題.

典型例題3:

三、求三角函數的單調區(qū)間時應注意以下幾點:

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