教學(xué)目標(biāo)：
讓學(xué)生了解畢達(dá)哥拉斯與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)及其關(guān)系，了解第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的意義。讓學(xué)生明了科學(xué)道路的艱辛，為科學(xué)獻(xiàn)身的偉大和崇高。知道世界上不是什么都一帆風(fēng)順的。培養(yǎng)學(xué)生崇尚科學(xué)，客觀推演，不要主觀臆斷的好習(xí)慣
教學(xué)過程
一、畢達(dá)哥拉斯與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派
1、畢達(dá)哥拉斯約公元前580年，畢達(dá)哥拉斯出生在米里都附近的薩摩斯島(今希臘東部的小島)——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時(shí)群島正處于極盛時(shí)期，在經(jīng)濟(jì)、文化等各方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于希臘本土的各個(gè)城邦。
畢達(dá)哥拉斯的父親是一個(gè)富商，九歲時(shí)被父親送到提爾，在閃族敘利亞學(xué)者那里學(xué)習(xí)，在這里他接觸了東方的宗教和文化。以后他又多次隨父親作商務(wù)旅行到小亞細(xì)亞。公元前551年，畢達(dá)哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，并成為了他們的學(xué)生。在此之前，他已經(jīng)在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學(xué)習(xí)了詩歌和音樂。
公元前550年，30歲的畢達(dá)哥拉斯因宣傳理性神學(xué)，穿東方人服裝，蓄上頭發(fā)從而引起當(dāng)?shù)厝说姆锤?，從此薩摩斯人一直對畢達(dá)哥拉斯有成見，認(rèn)為他標(biāo)新立異，鼓吹邪說。畢達(dá)哥拉斯被迫于公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學(xué)習(xí)當(dāng)?shù)厣裨捄妥诮?，并在提爾一神廟中靜修。
抵達(dá)埃及后，國王阿馬西斯推薦他入神廟學(xué)習(xí)。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)習(xí)了象形文字和埃及神話歷史和宗教，并宣傳希臘哲學(xué)，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學(xué)。
畢達(dá)哥拉斯在49歲時(shí)返回家鄉(xiāng)薩摩斯，開始講學(xué)并開辦學(xué)校，但是沒有達(dá)到他預(yù)期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當(dāng)時(shí)君主的暴政，他與母親和唯一的一個(gè)門徒離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內(nèi)。在那里他廣收門徒，建立了一個(gè)宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的團(tuán)體----畢達(dá)哥拉斯學(xué)術(shù)團(tuán)體。
后來他們受到民主運(yùn)動(dòng)的沖擊，社團(tuán)在克羅托內(nèi)的活動(dòng)場所遭到了嚴(yán)重的破壞。畢達(dá)哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔蘭托)，并于公元前500年被暗殺去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據(jù)點(diǎn)，另一些人到了塔蘭托，繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)哲學(xué)研究，以及政治方面的活動(dòng)，直到公元前4世紀(jì)中葉。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派持續(xù)繁榮了兩個(gè)世紀(jì)之久。
2、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)
畢達(dá)哥拉斯建立的這個(gè)宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的團(tuán)體形成了以后的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。后又叫南意大利學(xué)派。
這個(gè)社團(tuán)里有男有女，地位一律平等，一切財(cái)產(chǎn)都?xì)w公有。社團(tuán)的組織紀(jì)律很嚴(yán)密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個(gè)學(xué)員都要在學(xué)術(shù)上達(dá)到一定的水平，加入組織還要經(jīng)歷一系列神秘的儀式，以求達(dá)到“心靈的凈化”。
他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會(huì)的人士來參加演講會(huì)。按當(dāng)時(shí)的風(fēng)俗，婦女是被禁止出席公開的會(huì)議的，畢達(dá)哥拉斯打破了這個(gè)成規(guī)，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他后來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經(jīng)失傳了。
他們要接受長期的訓(xùn)練和考核，遵守很多的規(guī)范和戒律，并且宣誓永不泄露學(xué)派的秘密和學(xué)說。他們相信依靠數(shù)學(xué)可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數(shù)，甚至萬物都是數(shù)（萬物皆數(shù)），上帝通過數(shù)來統(tǒng)治宇宙（數(shù)統(tǒng)治宇宙）。這是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和其他教派的主要區(qū)別。
學(xué)派的成員有著共同的哲學(xué)信仰和政治理想（據(jù)說“哲學(xué)”這個(gè)詞就是畢達(dá)哥拉斯造出來的），他們吃著簡單的食物，進(jìn)行著嚴(yán)格的訓(xùn)練。學(xué)派的教義鼓勵(lì)人們自制、節(jié)欲、純潔、服從。他們開始在大希臘(今意大利南部一帶)贏得了很高的聲譽(yù)，產(chǎn)生過相當(dāng)大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想主要有兩部分，一是宣稱靈魂不死和轉(zhuǎn)世輪回的宗教神秘主義，另一部分是認(rèn)為數(shù)是萬物本源的數(shù)本思想。
有人畫漫畫調(diào)侃畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派：
3、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)觀---萬物皆數(shù)
達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為從數(shù)量上看，夏天是熱占優(yōu)勢，冬天是冷占優(yōu)勢，春天是干占優(yōu)勢，秋天是濕占優(yōu)勢，最美好的季節(jié)則是冷、熱、干、濕等元素在數(shù)量上和諧的均衡分布。
最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。他們很重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來解釋一切。宣稱數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個(gè)蘋果、五個(gè)手指等事物中抽象出了五這個(gè)數(shù)。
這在今天看來很平常的事，但在當(dāng)時(shí)的哲學(xué)和實(shí)用數(shù)學(xué)界，這算是一個(gè)巨大的進(jìn)步。在實(shí)用數(shù)學(xué)方面，它使得算術(shù)成為可能。在哲學(xué)方面，這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構(gòu)成實(shí)物世界的基礎(chǔ)。
在畢達(dá)哥拉斯派看來，數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個(gè)意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。
因?yàn)橛辛藬?shù)，才有幾何學(xué)上的點(diǎn)，有了點(diǎn)才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。
所以，他們將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角形數(shù)和五角形數(shù)等。認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，“數(shù)統(tǒng)治宇宙”。
只不過，畢氏的數(shù)是整數(shù)。
他們堅(jiān)持的信條是：“宇宙間的一切現(xiàn)象都可以歸于整數(shù)與整數(shù)之比（整數(shù)與整數(shù)之比即現(xiàn)在所說的有理數(shù)）?！奔匆磺鞋F(xiàn)象都可以用有理數(shù)來描述。他們認(rèn)為“任何兩條線段，總有一個(gè)最大公度線段?！?/p>
公度和公約
對任何兩條線段a,b，總能找到第三條線段c，使得這兩條線段都可以分成c的整數(shù)倍，這時(shí)我們就說，c是a、b的度量單位，并說a、b是可公約的或可公度的
二、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
整數(shù)是在進(jìn)行計(jì)算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時(shí)間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點(diǎn)的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。
古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，大約在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，即沒有最大公度線段。新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”——即有理數(shù)在學(xué)派內(nèi)部形成了對立，所以被稱作了無理數(shù)。
直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個(gè)簡單的數(shù)學(xué)事實(shí)的發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達(dá)哥拉斯派的信條，而且沖擊著當(dāng)時(shí)希臘人持有的“一切量都可以用有理數(shù)表示”的信仰。
這就形成了悖論，人們稱為畢達(dá)哥拉斯悖論，也叫希帕索斯悖論。這次悖論直接導(dǎo)致了認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
據(jù)說，希帕索斯由于發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，從而遭到了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的追殺。他雖逃到了埃及，但幾年之后，在回國途中，還是被人扔到海里淹死了。
200年后約在公元前370年，柏拉圖的學(xué)生歐多克斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關(guān)于無理數(shù)的問題。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說法，回避了無理數(shù)的實(shí)質(zhì)，用幾何的方法去處理不可公度比。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。
歐多克斯在幾何學(xué)、天文學(xué)和醫(yī)學(xué)等方面都有突出的貢獻(xiàn)。他曾提出這樣奇妙的構(gòu)想：能不能把一條線段分為不相等的兩部分，使較長部分為原線段和較短部分的比例中項(xiàng)？這個(gè)問題就是黃金分割問題。千百年來，黃金分割問題被廣泛運(yùn)用于幾何學(xué)、建筑設(shè)計(jì)、繪畫藝術(shù)、舞臺(tái)藝術(shù)、音樂藝術(shù)等方面，甚至也存在于自然界中。17世紀(jì)歐洲著名科學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)有兩個(gè)寶藏，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分割?！?/p>
三、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的意義
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。
同時(shí)也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。
回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是算，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測日食、利用影子計(jì)算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。
至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機(jī)和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。
而由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn)。
歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，前325年—前 265年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時(shí)期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提出五大公設(shè)，《幾何原本》被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。
這次的的危機(jī)的影響是很大的。算術(shù)基礎(chǔ)動(dòng)搖了，幾何的地位上升了。一方面，根2的發(fā)現(xiàn)促進(jìn)人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和理解無理數(shù)，另一方面，導(dǎo)致了公理幾何和古典邏輯的誕生，并最終導(dǎo)致了近代科學(xué)的誕生。
一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在的人才多起來。但第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的最后消除還要?dú)w功于19世紀(jì)戴德金實(shí)數(shù)理論的建立。在實(shí)數(shù)理論中，無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限，而且所有實(shí)數(shù)填滿了直線，直線上再?zèng)]有空隙，又恢復(fù)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”的思想。
利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。戴德金還是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。
附
順便說一下，有理數(shù)和無理數(shù)中的“理”并不是指“有道理”或“講道理”的意思，這兩個(gè)詞的出現(xiàn)是翻譯的問題。在英文中有理數(shù)和無理數(shù)分別是rational numble和irrational numble，而rational是一個(gè)多義詞，含有“有理的”、“比的”兩種意思。rational numble本意是指“可比數(shù)”，即可以寫成兩個(gè)整數(shù)的比的數(shù)。在東方，最早把rational numble翻譯過來的是一個(gè)日本人?？赡苣莻€(gè)日本人的英語不好，數(shù)學(xué)又不精通，就把它翻譯成“有理數(shù)”。而中國當(dāng)時(shí)是從日本那里接觸西方文化的，日本字又與漢字形似，于是中國人把這三個(gè)字照搬過來，形成習(xí)慣，已經(jīng)積重難返了。
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