?。ㄒ唬皵?shù)學現(xiàn)實”原則
弗賴登塔爾認為，數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實，而且每個學生有各自不同的“數(shù)學現(xiàn)實”。數(shù)學教師的任務之一是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實。因此，在教學過程中，教師應該充分利用學生的認知規(guī)律，已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學的實際。在運用“現(xiàn)實的數(shù)學” 進行教學時，必須明確認識以下幾點：
第一，數(shù)學教學內(nèi)容來自于現(xiàn)實世界．把那些最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)、現(xiàn)代社會生活需要的最基本、最核心的數(shù)學知識和技能作為數(shù)學教育的內(nèi)容．
第二，數(shù)學教育的內(nèi)容不能僅僅局限于數(shù)學內(nèi)部的內(nèi)在聯(lián)系，還應該研究數(shù)學與現(xiàn)實世界各種不同領域的外部關系和聯(lián)系。這樣才能使學生一方面獲得既豐富多彩而又錯綜復雜的“現(xiàn)實的數(shù)學”內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學體系．另一方面，學生也有可能把學到的數(shù)學知識應用于現(xiàn)實世界中去．
第三，數(shù)學教育應該為所有的人服務，應該滿足全社會各種領域的不同層次的人對數(shù)學的不同水平的需求。
?。ǘ皵?shù)學化”原則
弗賴登塔爾認為，數(shù)學教學必須通過數(shù)學化來進行。
現(xiàn)實數(shù)學教育所說的數(shù)學化有兩種形式：一是實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分做符號化處理；二是從符號到概念的數(shù)學化，即在數(shù)學范疇之內(nèi)對已經(jīng)符號化了的問題作進一步抽象化處理。
對于前者，基本流程是：
1、確定一個具體問題中包含的數(shù)學成分；
2、建立這些數(shù)學成分與學生已知的數(shù)學模型之間的聯(lián)系；
3、通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化、符號化和公式化；
4、找出蘊含其中的關系和規(guī)則；
5、考慮相同數(shù)學成分在其他數(shù)學知識領域方面的體現(xiàn)；
6、作出形式化的表述。
對于后者，基本流程是：
1、用數(shù)學公式表示關系；
2、對有關規(guī)則作出證明；
3、嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型；
4、對得出的數(shù)學模型進行調整和加工；
5、綜合不同數(shù)學模型的共性，形成功能更強的新模型；
6、用已知數(shù)學公式和語言盡量準確的描述得到的新概念和新方法；
7、作一般化的處理、推廣。
（三）“再創(chuàng)造”原則
弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學過程再現(xiàn)。學生“再創(chuàng)造”來學習數(shù)學的過程實際上就是一個“做數(shù)學”(doing mathematics)的過程，這也是目前數(shù)學教育的一個重要觀點。
需要特別注意的是，弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論不是“教育學+ 數(shù)學例子”式的論述， 而是抓住數(shù)學教育的特征，緊扣數(shù)學教育的特殊過程，因而有“數(shù)學現(xiàn)實”、“數(shù)學化”、“數(shù)學反思”、“思辯數(shù)學”等諸多特有的概念。他的著作多數(shù)根據(jù)自己研究數(shù)學的體會，以及觀察兒童學習數(shù)學的經(jīng)歷，思辯性的論述比較多。于是有人批評說弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論缺乏實踐背景和實驗數(shù)據(jù)。其實，他的許多研究成果尚未被大家仔細研究，有興趣的讀者不妨閱讀他的著作。
二、波利亞的解題理論
（一）波利亞對數(shù)學教育的基本看法
波利亞認為：中學數(shù)學教育的根本目的就是“教會年輕人思考”，這種思考既是有目的的思考，產(chǎn)生式的思考，也包括形式的和非形式的思維。數(shù)學教育中注重培養(yǎng)學生的興趣、好奇心、毅力、情感
體驗等非智力品質的重要性。
要成為一個好的解題者，如果“頭腦不活動起來,是很難學到什么東西的,也肯定學不到更多的東西”。“學東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”, 最富有成效的學習是學生自己去探索、去“發(fā)現(xiàn)”。
教學是一門藝術。教學過程本身應該遵循一些規(guī)律性的東西,并尤其強調興趣對學生學習數(shù)學的重要性。
（二）波利亞關于解題的研究
波利亞專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表的實際應用。書中各部分基本上是配合這張表，是對該表的進一步闡述和注釋。
《怎樣解題》表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四個階段。“弄清問題”是認識、并對問題進行表征的過程，應成為成功解決問題的一個必要前提；“擬定計劃”是關鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容；“實現(xiàn)計劃”較為容易，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置；“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來。其中，他對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。
他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃?！彼€把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。
三、 建構主義的數(shù)學教育理論
（一）建構主義概述
建構主義(constructivism)有時候也譯作結構主義，理論根源可追溯到2500多年前?，F(xiàn)代建構主義主要是吸收了杜威的經(jīng)驗主義和皮亞杰的結構主義與發(fā)生認識論等思想，并在總結60年代以來的各種教育改革方案的經(jīng)驗基礎上演變和發(fā)展起來的。
在教育領域中常常談論的建構主義具有認知理論和方法論的雙重身份。
1、數(shù)學知識是什么
·數(shù)學知識不是對現(xiàn)實的純粹客觀的反映，任何一種傳載知識的符號系統(tǒng)也不是絕對真實的表征，它只不過是人們對客觀世界的一種
解釋、假設或假說。它不是問題的最終答案，它必將隨著人們認識程度的深入而不斷地變革、升華和改寫，出現(xiàn)新的解釋和假設。
·數(shù)學知識不可能以實體的形式存在于個體之外，真正的理解只能是由學習者自身基于自己的經(jīng)驗背景而建構起來的，取決于特定情況下的學習活動過程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動的復制式的學習。
2、學生如何學習數(shù)學
·學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程。學生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構知識的意義，這種建構是無法由他人來代替的。
·學習不是被動接收信息刺激，而是主動地建構意義，是根據(jù)自己的經(jīng)驗背景,對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義。外部信息本身沒有什么意義，意義是學習者通過新舊知識經(jīng)驗間的反復的、雙向的相互作用過程而建構成的。因此，學習不是象行為主義所描述的“刺激—反應”那樣。
·學習意義的獲得，是每個學習者以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，建構自己的理解。在這一過程中，學習者原有的知識經(jīng)驗因為新知識經(jīng)驗的進入而發(fā)生調整和改變。
3、教師如何開展課堂教學
與傳統(tǒng)教學的三個假設相對應的是，建構主義指導下的課堂教學是基于如下三個基本假設：
·教師必須建立學生理解數(shù)學的模式。教師應該建立反映每個同學建構狀況的“卷宗”，以便判定每個學生建構能力的強弱；
·教學是師生、生生之間的互動；
·學生自己決定建構是否合理。
根據(jù)上述教學目的和假設，一個數(shù)學教師在建構主義的課堂上就需要做以下六件事：
·加強學生的自我管理和激勵他們?yōu)樽约旱膶W習負責；
·發(fā)展學生的反省思維；
·建立學生建構數(shù)學的“卷宗”；
·觀察與參與學生嘗試、辨認與選擇解題途徑的活動；
·反思與回顧解題途徑；
·明確活動、學習材料的目的。
需要強調的是：對于建構主義學說， 我們應當吸取精華，拒絕一些“極端的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我國的教育改革。
