我搞數(shù)學競賽的一些心得。第一，只是個人想法，還很不成熟。第二，某些說法也許不好理解，但所謂學習方法，本來就是只能大致說說的。我希望對數(shù)學有自己的思考的同學看了這些文字之后能受到一些啟發(fā)。
幾 何
1．平面幾何
?、?nbsp;基本歐氏幾何知識結構
基本的輔助線，點，圓，相似形的應用。
推薦：《奧數(shù)教程》（初三）、各地中考題及模擬題
?、?nbsp;對幾何結構的把握，對稱性，各種近代歐氏幾何框架，幾何變換。
推薦：《近代歐氏幾何學》，建議使用軟件幾何畫板并參與與之相關的網(wǎng)上討論。缺少一本習題集，可使用《幾何變換》，及葉中豪的習題，《數(shù)學競賽中的平面幾何問題》（一本俄羅斯的書，此書組合幾何部分也很好）中幾何變換及反演射影幾何。
2．解析幾何
?、?nbsp;基本知識：已知與未知的互化，元的設置，設計計算路線。
② 每一步計算的幾何意義，計算中的對稱性，代數(shù)結構。
以下基本觀點：
幾何中關系到達一定的復雜度后，代數(shù)的使用是自然而且必須的。不應一味地強調(diào)使用解析法盲目運算（解析法能解決問題，但不能很好地揭示問題的內(nèi)部結構），也不應一味地強調(diào)使用純平幾。這兩者都易忽略問題的實質(zhì)，一切以自然為上。
我們熟知的幾何計算方法大體有：
?、?nbsp;歐氏幾何公理中直接使用未知量計算?、?nbsp;解析法?、?nbsp;復數(shù)法 ④ 向量法?、?nbsp;利用定理AC⊥BD，AB2+CD2=AD2+BC2?、?nbsp;三角法
但實際上每道題都有自己的結構，也有一套獨特的最簡潔的代數(shù)表示，它是一題一法。以上六種方法的使用也是因題而異，使用的過程中有諸多技巧，絕不可盲目計算。
推薦：《解析幾何的方法與技巧》、《圓錐曲線的幾何性質(zhì)》、《三角與幾何》
3．立體幾何
推薦：《奧林匹克數(shù)學研究教程》立體幾何部分、《奧數(shù)教程》系列中向量部分、《幾何不等式》
代 數(shù)
基本觀點：元的理解和使用（代數(shù)變形），注意對稱。
1．多項式：理解“不定元”
三個基本視角：系數(shù)，根，值
推薦：《奧數(shù)教程》（高三）
2．函數(shù)方程：注意函數(shù)的定義；一種二元關系。
方法：逐層遞推，巧妙代元。
0，1，零點，不動點，單射，滿射，單調(diào)，奇偶……
推薦：《題典·代數(shù)卷》
3．不等式：另見筆記
較易的不等式可以組合成較復雜的不等式。
推薦：《小叢書》兩本，《湖南·代數(shù)卷》
數(shù) 論
注意整個理論體系，數(shù)論的體系性很強，同時基本理論中也包括了最基本的思想方法。任何一道數(shù)論題也都有相應的一串問題及明顯的背景。但掌握體系必須符合人正常的思維規(guī)律。體系是從大量事實中抽象出來的，應先讓學習者純憑直覺做一些數(shù)論題，在適當?shù)臅r候引導他自己發(fā)現(xiàn)更基本的規(guī)律，或給他點明不必強行追求“返璞歸真”，高級的理論自然是有用才會提出，如果它能揭示問題的本質(zhì)就可大膽使用，而且應該使用。
不定方程是競賽的重點，注意代數(shù)變形在數(shù)論中的應用。
推薦：《初等數(shù)論》、《數(shù)論講義》
組 合
組合無體系，是純直覺的。
推薦：《華南師大附中習題集》，環(huán)球城市競賽題，俄羅斯賽題，《組合卷》（題典，湖南）
【書目評論】
《華南師大附中習題集》：經(jīng)典，特別是組合部分，題題經(jīng)典，將靈巧流暢的解題及思維方式發(fā)揮到極致。
《葉軍教程》：研究性很強，適合由老師認真研讀后講解。
《奧林匹克數(shù)學研究教程》：風格獨特，有思想性，在時間充裕的情況下建議全書閱讀。
《走向IMO》：好題不少，但難度太大，可用于少數(shù)選手在專題訓練時配合使用。
對幾個基本概念的詮釋
【本質(zhì)】 “本質(zhì)”并不是什么高深神秘之物，我們說一種說法是本質(zhì)的，其實只是說這種說法最為簡單，能揭示更多的相關問題，更具有啟發(fā)性等等。我們初做題時，看到證明過程中的方法技巧覺得很巧妙就有興趣，但做到一定程度之后，就不會滿足于簡單地做出題來，而要追求最簡單和最新穎的思維方式，以及將各種不同的題目分類，統(tǒng)一。這實際上就是對本質(zhì)的追求。
【結構】 一個結論單獨存在沒有意義，如果它能解決某一類問題，就顯得有意義。如果有許多結論互相關聯(lián)，或是許多事物互相影響協(xié)同變化，特別是當我們可以感覺到其中有某種我們還不知道的內(nèi)在聯(lián)系時，我們就會對它產(chǎn)生興趣。所謂結構就是指這一類而言。比如群的結構，圖的結構，或是數(shù)論中各定理組成的邏輯結構，或是幾何中點線圓相似形組成的幾何結構。結構中往往有某種對稱性。對結構的領悟可以培養(yǎng)深層的數(shù)學直覺。
【思維】 人的思維的基本方式是歸納，即從自己的生活、以前的經(jīng)歷中獲取經(jīng)驗，提出規(guī)律。比如數(shù)的概念最初就是人類在日常生活中提煉出來的。比如我們初學電學的時候，可能對“電壓”、“電流”等概念完全無法理解，更不能應用自如，但學了一段時間之后，做了不少習題，就自然而然地對這些概念有了理解，能夠應用，甚至能夠提出一些更深刻的問題或概念。我們學習數(shù)學時，見過的技巧也不能保證立刻就會應用，而是必先經(jīng)歷一段對技巧的內(nèi)部結構的把握和理解的過程。也許要將一個技巧重復見上多次，也許要接觸更深刻的東西才能理解這個技巧。所以，做過的題不會做很正常，因為對這個題還沒有真正理解。
【關注思維】 學習一個概念或是一種技巧，都需按人正常的思維方式進行，最好是讓它由學習者在學習了一些相關內(nèi)容之后自己提煉出來，也可以在學習者遇到困難糾纏不清時由教師點破迷霧。比如數(shù)論的理論體系和組合的直覺就可以長期少量地進行培養(yǎng)，先讓學習者自己做一些題目，他也許不十分了解數(shù)論中的各種定理，但憑借直覺他就可以自己解決一部分問題。控制題目的難度和知識點，可以引導學習者自己把那些基本定理悟出來。等時機成熟的時候再引導學習者將所有的經(jīng)驗總結歸納，補充不足，形成完整的知識結構。也可以按正常的課本授課，講述一些基本知識，讓學習者用它們解決問題，但需給他們時間，慢慢悟出其中奧妙。
【思維模式】 學習者在接觸了一些問題之后，不但會形成應對某種特殊問題的特殊方法，而且會形成一種可以用來應對新問題的普遍措施，即思維模式。要解決一個問題，解法往往很多，每一種解法都包含了許多不同步驟，從任何一個步驟入手都有辦法得到整個解法。
通常的思維模式有：
歸納：從具體事例中得到啟發(fā)，如先考慮特殊情況。
劃歸：把問題的解決轉(zhuǎn)化為它的具有本質(zhì)特性的一部分的解決。
猜想：為解決問題，先猜想出一些可能的中間步驟或結論，這往往需要較強的數(shù)學直覺。
等價變換：把問題換一種語言敘述，從不同的角度、不同的背景看問題。如反證法是從反面看問題，同一法是交換問題的條件和結論。再如一個不減的整數(shù)列An無上界，也就等價于有無限多個n使A(n+1)>An。有時可以重組問題的條件和結論，分析定與動的關系，比如幾何變換及不等式中的調(diào)整。
初學者以自己知道的方法技巧來套題目，沒有思維模式可言。高手的競爭往往是思維模式的競爭。對于數(shù)學直覺更強的學習者，也許可以超越思維模式的限制，任憑直覺自由發(fā)展，但這已遠遠超越數(shù)學競賽的范疇。數(shù)學競賽的培訓的目的，是培養(yǎng)面對更多新問題的思維模式。每種思維模式都有自身的限制，需要學習者不斷突破，海納百川。
【解題的原則】 追求本質(zhì)，自然為上，把題目當朋友。
綜合數(shù)學能力的培養(yǎng)
1．過程訓練：寫過程以自然的反應思維為上，關鍵處要注明，詳簡看情況而定。要把寫過程當作整理思維的方法，嘗試用最樸素最有啟發(fā)性的語言來敘述。寫過程之前先要逐步推敲每一步思維，直到自己覺得每一步都非如此不可。同一題的過程可寫多遍，如此訓練，對思維大有好處。
2．計算訓練：計算能力和心態(tài)有很大關系，需要心平氣和，把握節(jié)奏。不要把計算當做一件很枯燥的工作，要觀察發(fā)現(xiàn)計算結果的對稱性。有時題目的內(nèi)在規(guī)律就隱藏在其中。計算就像跑步，雖不像打球那樣有趣，但欣賞周圍的風景，感覺到自己的呼吸，也會覺得欣喜。
3．心態(tài)訓練：心態(tài)本說有就有、說無就無，考場上的心態(tài)大體是長時間人生狀態(tài)的反映，所以平時就要快樂起來。心中有了問題就要認真思考進行回答，但不可以把自己囚禁在那一種狀態(tài)之中。人對世界的理解是歸納的過程，其中常有錯誤，許多問題本來是不存在的，甚至許多概念也都是歸納中的錯誤。當人沉浸在一種狀態(tài)之中的時候，往往會戴上有色眼鏡，看不到世界的豐富多彩，但只要一走出來立刻會發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)的想法是多么荒唐。要多接觸各方面的思想，特別是文學和哲學著作，完善自己的人格，要做題，先作人。做題的最好狀態(tài)是自由聯(lián)想，自然而然，在考場上要把最靈活的思維調(diào)出來。在遇到難題沒有思路時，下面的方法也許有用：列出已有的所有想法并回顧每種想法，如果有一點新思維的火花就馬上抓住，進行下去。
