作者：龍宇 佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué)
責(zé)編：易珊
審核：王常斌
一
教學(xué)內(nèi)容分析
對于普通班級而言，圓錐曲線的復(fù)習(xí)往往止步于策略性，格式、規(guī)范方面。通過對高考題的梳理與研究，我們發(fā)現(xiàn)該章節(jié)的問題并非“遙不可及”，而是可以作為我們現(xiàn)階段分?jǐn)?shù)增長點的。本節(jié)課設(shè)計的主題是圓錐曲線中的“中點”問題。
高中階段學(xué)習(xí)的圓錐曲線包括：圓、橢圓、雙曲線、拋物線，“中點”問題指的是圓錐曲線中“弦”的中點。作為“中點”有幾何與代數(shù)兩種形態(tài)，我們在解題的過程中，可以分別從這兩個角度入手。
二
學(xué)生學(xué)情分析
授課學(xué)生已經(jīng)過高三的一輪復(fù)習(xí)，二輪復(fù)習(xí)也已接近尾聲。學(xué)生對于圓錐曲線的基本性質(zhì)有了一定的認(rèn)識，關(guān)于格式與規(guī)范方面已經(jīng)進(jìn)行了充分的訓(xùn)練。班級的個別優(yōu)生能夠完成該章節(jié)的解答題，大部分學(xué)生僅僅止步于格式及策略性的分?jǐn)?shù)。學(xué)生的困難在于條件的轉(zhuǎn)化與計算化簡的過程。
目前的學(xué)生迫于高考的壓力，有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)動力，但礙于運算能力和邏輯推理能力的不足，往往選擇放棄后續(xù)的運算。本課題的選擇是為了給學(xué)生建立信心，以高考題為主要的訓(xùn)練素材，通過總結(jié)模型來突破難點。
四
教學(xué)設(shè)計過程
一、利用“中點”的幾何性質(zhì)求解——點差法
在圓中，與弦中點有關(guān)的性質(zhì)有很多，而在高中階段常用的是“垂徑定理”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系即為一組斜率關(guān)系。該結(jié)論可“完美地”平移至其他的圓錐曲線，且該類題型在高考中也是一個高頻考點。關(guān)于“中點”的其他幾何特性，本課題不做過多探討，僅在課后的練習(xí)中有所涉及。第一環(huán)節(jié)：梳理高考題，總結(jié)題型特點。
點評
本題組分別以拋物線、橢圓及雙曲線為例，推導(dǎo)該結(jié)論。三個結(jié)論的結(jié)構(gòu)一樣，其蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)也相同。本環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖是讓學(xué)生熟悉“點差法”的運算流程，發(fā)現(xiàn)該題型的核心要素。在講解過程中，強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)的過程，程序化的知識更便于記憶與掌握。點差法是“設(shè)而不求”的一種解題思路。點差法的基礎(chǔ)是以點A,B為基本量，通過代點及作差獲得一個程序化的結(jié)論，而對于點A,B而言，并沒有任何直接的結(jié)論可用。這也是學(xué)生的一個主要思維難點。
利用點差法也有一個弊端，該結(jié)論不包括斜率為0或斜率不存在的情況。對于上面三個練習(xí)的最終結(jié)論，當(dāng)研究對象為圓時，該結(jié)論對應(yīng)的幾何關(guān)系即為圓的“垂徑定理”。通過伸縮變化，即可直接將該結(jié)論推廣至橢圓。所以我們可以把該結(jié)論統(tǒng)一地稱之為圓錐曲線的“垂徑定理”。
二、利用“中點”的代數(shù)性質(zhì)求解
點評
預(yù)測學(xué)生的難點并不在于點差法的使用，而在于上述條件的轉(zhuǎn)化，這也是此類問題的共有難點。當(dāng)學(xué)生在轉(zhuǎn)化過程中，思維受阻時，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用常規(guī)解法求解。即通過基本量，表達(dá)出所求式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算獲得結(jié)論，在進(jìn)行解釋。
通過本節(jié)課的訓(xùn)練，我們可以總結(jié)出解決含“中點”問題的一般解法，點差法的模式固定，運算量小。但對模型的要求較高，需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀察力。且需對題干的條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。當(dāng)點差法失效或不能直接使用時，還可以通過常規(guī)解法求解。
點評
第1題是點差法的直接應(yīng)用，在上面的高考題及習(xí)題中都沒有設(shè)計到圓，在第2題中，筆者就以圓為背景進(jìn)行設(shè)計，在圓中可通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解。對于第3問，在考查中點的基礎(chǔ)上涉及到面積的運算以及最值問題，該問題的難度較大。
五
總結(jié)與反思
復(fù)習(xí)到這個階段，該如何尋找學(xué)生的分?jǐn)?shù)增長點？經(jīng)過一輪，二輪的復(fù)習(xí)，基礎(chǔ)知識已經(jīng)較為熟練，但也形成相對固定的思維定勢。學(xué)生可能對某一類題會很熟練，而對某一類問題完全沒有想法。比如本課題設(shè)計的“中點”問題，很多學(xué)生都知道“點差法”，但什么時候用，有沒有限制等等還比較陌生。此時要教會學(xué)生歸納整理，將陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的模型。
此階段的復(fù)習(xí)要特別重視通性通法，避免技巧性特別強(qiáng)的答題技巧。讓所有的學(xué)生都有分可拿，以此建立學(xué)生的做題信心。
順德教育發(fā)展中心 高中數(shù)學(xué)學(xué)科
