撰文 | 鄧崇林
來(lái)源：物理與工程
氫原子不連續(xù)光譜之巴耳末公式的發(fā)現(xiàn)，為原子物理中玻爾理論的創(chuàng)立提供了直接依據(jù)，在量子物理發(fā)展進(jìn)程中起了重要作用。然而，在物理學(xué)上從巴耳末的古典時(shí)代，過(guò)渡到玻爾的量子時(shí)代的這一段傳奇，其過(guò)程疑云重重。關(guān)于那巴耳末基數(shù)到底是怎么得來(lái)的，現(xiàn)行物理學(xué)介紹這段傳奇時(shí)，總好像是夢(mèng)里得來(lái)的。
（圖源：Pixabay）
1 提出問(wèn)題
回顧近代物理學(xué)史，氫原子不連續(xù)光譜之巴耳末公式的發(fā)現(xiàn)，為原子物理中玻爾理論的創(chuàng)立提供了直接依據(jù)，在量子物理發(fā)展進(jìn)程中起了重要作用。當(dāng)玻爾一看到巴耳末公式，突然間“我都明白這一切了”，這是當(dāng)時(shí)玻爾在與Léon Rosenfeld會(huì)面時(shí)所透露的心靈激動(dòng)[1]。然而，在物理學(xué)上從巴耳末的古典時(shí)代，過(guò)渡到玻爾的量子時(shí)代的這一段傳奇，其過(guò)程疑云重重，始終都無(wú)法清晰明白，那巴耳末基數(shù)是怎么得來(lái)的，這里假設(shè)是在巴耳末那個(gè)時(shí)代節(jié)點(diǎn)，不能依靠玻爾理論來(lái)推導(dǎo)該公式。
為什么巴耳末基數(shù)剛好就是那個(gè)數(shù)目？由于有關(guān)巴耳末基數(shù)，這個(gè)至關(guān)重要的推理線索，至今仍然披著神奇色彩，無(wú)法看透又無(wú)從捉摸，因當(dāng)初巴耳末公布經(jīng)驗(yàn)公式論文[2]中敘述著“從埃格斯特朗的測(cè)定，推出這個(gè)公式的共同因子是3645.6×10-7mm”，唯獨(dú)沒(méi)有闡明巴耳末基數(shù)的由來(lái)，就這樣輾轉(zhuǎn)變成了歷史懸案，造成現(xiàn)行基礎(chǔ)物理學(xué)介紹這一段深具時(shí)代開(kāi)創(chuàng)性的傳奇過(guò)程時(shí)，總是像在夢(mèng)里求答案就得到了這組數(shù)字，然后直接就用這個(gè)答案再行推導(dǎo)公式，這在邏輯上有倒果為因推論疑慮，實(shí)有礙于物理概念的建立。為了破除這個(gè)迷團(tuán)，消彌學(xué)習(xí)障礙，有不少人士因此試著提出各種見(jiàn)解，甚至還搬出另一種神奇數(shù)字來(lái)推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)公式，但推導(dǎo)手法都不夠簡(jiǎn)明，也欠缺物理圖像，這就是為何需要以物理直觀進(jìn)一步探討的緣由。
本研究方法乃以未知數(shù)并運(yùn)用物理基本概念，于計(jì)算不同波長(zhǎng)比例時(shí)，保留物質(zhì)元素內(nèi)稟表征，只要不被約分消掉，其本性自然顯露出來(lái)，就能推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式以及推導(dǎo)巴耳末基數(shù)，手法一切簡(jiǎn)明，因果相扣邏輯合理。此外，除了找出巴耳末基數(shù)的物理意涵，還要推廣巴耳末經(jīng)驗(yàn)公式，并提出與里德伯公式的等價(jià)證明，最后，以量綱分析手法揭露此一內(nèi)蘊(yùn)物理量的真正本質(zhì)。
2 尋找巴耳末基數(shù)文獻(xiàn)回顧
巴耳末在其論文[2]中沒(méi)有具體介紹是怎樣找到這個(gè)共同因子的過(guò)程，也就是巴耳末基數(shù)。巴耳末經(jīng)驗(yàn)公式的推導(dǎo)過(guò)程不失簡(jiǎn)單，但不簡(jiǎn)明，雖然找出了氫原子可見(jiàn)光區(qū)光譜線的規(guī)律，卻失去了找尋巴耳末基數(shù)源頭的真相。巴耳末本人始終都沒(méi)有交代是如何精準(zhǔn)取得巴耳末基數(shù)的推演過(guò)程，在當(dāng)時(shí)，此一公式僅止于現(xiàn)象的描述，并未提出此一光譜線背后的成因，氫原子不連續(xù)光譜仍然是自然科學(xué)界的未解之謎，而巴耳末基數(shù)竟成為謎中謎，因此變得富有想像空間。巴耳末基數(shù)之謎并非沒(méi)人打理，也有人試著尋找為什么可以精準(zhǔn)取得巴耳末基數(shù)。從事科學(xué)研究，理應(yīng)格物致知，本研究乃秉持此一精神。此處先回顧現(xiàn)有尋找巴耳末基數(shù)的記載，概分為下列5種：
(1) 沿用巴耳末神奇基數(shù)法
這是一般教科書(shū)的標(biāo)準(zhǔn)做法，借用巴耳末本人所敘述，直接拿現(xiàn)成的巴耳末基數(shù)來(lái)用，推導(dǎo)出這些光譜波長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)公式。至于巴耳末基數(shù)的來(lái)龍去脈，就把它當(dāng)歷史事件，這留給研究物理學(xué)史的學(xué)者去琢磨吧。這是目前便宜的行事手法，未來(lái)或許因本文而改變。
(2) 以形求數(shù)概念式幾何法
從幾何圖形上看到各個(gè)譜線就像透視圖那樣，由近而遠(yuǎn)，逐漸縮小，就能領(lǐng)悟到譜線波長(zhǎng)有迫近某一極值的趨勢(shì)。以形求數(shù)，便成了分析對(duì)策，如再細(xì)心觀察巴耳末公式的數(shù)學(xué)形式，是不是很像下列式子：
仔細(xì)觀察上式等號(hào)右邊的平方比例項(xiàng)形式，與巴耳末公式右邊整數(shù)平方比例項(xiàng)形式是一模一樣，上述公式就是畢達(dá)哥拉斯定理的應(yīng)用，也就是我們較熟悉的勾股定理。由于巴耳末公式當(dāng)n→∞ 時(shí)，λ→B，為這個(gè)線系的極限﹐這時(shí)鄰近二譜線的波長(zhǎng)差就趨于零，因而在歸納光譜數(shù)據(jù)分析手法時(shí)，應(yīng)可將一維問(wèn)題二維化，于是化學(xué)光譜分析專(zhuān)書(shū)[3]中采用幾何方式，介紹巴耳末光譜分析手法，從幾何關(guān)系找到譜線波長(zhǎng)之間遵循畢達(dá)哥拉斯定理(即勾股定理)，經(jīng)過(guò)反復(fù)試算，可概念性地找到一個(gè)共同因子，就是巴耳末基數(shù)，這種以形求數(shù)概念就如同下列圖1所示。
(3) 以碼解數(shù)用5/36比例密碼法
德國(guó)數(shù)學(xué)家撰寫(xiě)一本《數(shù)字巨大的陰影》暢銷(xiāo)書(shū)[4]，該書(shū)內(nèi)容有一部分是講玻爾，提到其石破天驚開(kāi)創(chuàng)原子理論新天地的機(jī)遇，就是看了一眼巴耳末公式。在介紹如何推導(dǎo)氫原子光譜公式時(shí)，并沒(méi)沿用迷一樣的巴耳末基數(shù)，而是運(yùn)用簡(jiǎn)單算術(shù)，另辟一條路子，尤其要仔細(xì)觀察各光譜波數(shù)比中，若要讓分母變化呈現(xiàn)規(guī)律，就需在一個(gè)5/36比例密碼，便可破解氫原子光譜線找出其中規(guī)律。其運(yùn)用簡(jiǎn)單算術(shù)推導(dǎo)過(guò)程，也可以當(dāng)作很好的數(shù)據(jù)分析入門(mén)教材，以下將簡(jiǎn)約介紹這本書(shū)[4]的推演過(guò)程，其重點(diǎn)陳述如下：
先取氫原子光譜之波數(shù)1523310, 2056410, 2303240, 2437290, 2518130，接著將每一項(xiàng)波數(shù)皆除以第一項(xiàng)紅光波數(shù)，取得各波數(shù)比為1, 27/20, 189/125, 8/5, 81/49，注意前述各項(xiàng)分母變化可轉(zhuǎn)為1, 4×5, 25×5, 1×[5], 7×7然后再想辦法變成如1, 4, 25, [36], 49這種有規(guī)律的數(shù)列，重點(diǎn)觀察前面兩組數(shù)列中第四項(xiàng)分母中括號(hào)數(shù)字，該項(xiàng)分母要同時(shí)消掉5又要變成36的話，就得將波數(shù)比數(shù)列通通都要乘上這個(gè)比例密碼：5/36，其中，只需用第一項(xiàng)紅光波數(shù)就能直接算得里德伯常數(shù)為：R=1,523,310/(5/36)=10,967,832，然后將紅光波數(shù)轉(zhuǎn)成里德伯常數(shù)與比例密碼的乘積再帶回到波數(shù)比，若將原波數(shù)比的分母換成只有里德伯常數(shù)的話，則比例密碼要挪到等號(hào)另一邊，也就是將各波數(shù)比乘上此密碼得到下列數(shù)列：
上式中第二項(xiàng)分子分母同乘以4，以及第四項(xiàng)分子分母同乘以16，之后再整理得出下列數(shù)列：
5/36, 12/64, 21/100, 32/144, 45/196
仔細(xì)整理上式并進(jìn)一步觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)呈有規(guī)律變化的數(shù)列如下：
現(xiàn)在重新將上式歸納一下，會(huì)得出形如
的規(guī)律，再變成倒過(guò)來(lái)的因子
然后這項(xiàng)是要放到波數(shù)等號(hào)的右邊，于是得到里德伯公式為：
該書(shū)中推導(dǎo)氫原子光譜經(jīng)驗(yàn)公式的關(guān)鍵之處，從觀察各波數(shù)比中分母變化里看出規(guī)律而得到解題靈感，雖說(shuō)解謎需要奇巧密碼之助，卻也交代清楚，這個(gè)思路雖有一點(diǎn)曲折，推演過(guò)程明朗，沒(méi)有神奇之處，卻也未能解開(kāi)巴耳末基數(shù)身分之謎，而其來(lái)龍去脈需要數(shù)字演練才得以一窺究竟，過(guò)程卻缺少物理概念。
(4) 以質(zhì)取數(shù)質(zhì)因數(shù)法
若假定巴耳末基數(shù)是個(gè)公共因子，那么應(yīng)該能找出氫原子光譜中的公共質(zhì)數(shù)因子，有個(gè)網(wǎng)頁(yè)[5]就是采質(zhì)因數(shù)的因子分析法找出巴耳末基數(shù)，其推演過(guò)程重點(diǎn)陳述是從紅光開(kāi)始取4個(gè)波數(shù)1523310, 2056410, 2303240, 2437290，除第一項(xiàng)外，將每個(gè)一項(xiàng)波數(shù)皆除以第一項(xiàng)紅光波數(shù)得各波數(shù)比27/20=1512/1120, 189/125=1512/1000, 8/5=1512/945，然后從中檢列出重要數(shù)字1512, 1120, 1000, 945，而這些數(shù)字的質(zhì)因數(shù)可表成下列內(nèi)容：
為這些譜線確定了另一個(gè)公共質(zhì)數(shù)因子，其值為23×3×5×7=840，再將4個(gè)波數(shù)改回4條氫譜線波長(zhǎng)分別為：6562.1?, 4860.74?, 4340.1?, 4101.2?，于是從紅光波長(zhǎng)可求得公共因子數(shù)值為6562.1/(1512/840)=3645.6，就這樣找到了巴耳末基數(shù)，至于巴耳末公式，可從4條氫譜線波長(zhǎng)比轉(zhuǎn)成質(zhì)數(shù)因子比，特征是分別除以公共因子，公式就得以推導(dǎo)，其過(guò)程如下：
將前4個(gè)算式稍加整理就能得出巴耳末公式：
其中B=3645.6,n=2,m=3,4,5,6。
質(zhì)因數(shù)因子分析法能找出神奇基數(shù)，是對(duì)數(shù)字具有洞察力，或許有一點(diǎn)運(yùn)氣，不能一般性推廣，總之，這也是個(gè)沒(méi)有物理概念的數(shù)字游戲，于通俗物理介紹可用，但于正式基礎(chǔ)物理課程卻不宜。
(5) 泛故事法
19世紀(jì)開(kāi)始不斷涌現(xiàn)出各式各樣的光譜實(shí)驗(yàn)，吸引物理學(xué)家注意并試著解析此現(xiàn)象，但流于習(xí)慣用力學(xué)思維方法，始終擺脫不了舊物理框架束縛，光譜線問(wèn)題難倒了眾多科學(xué)家。也許正是這個(gè)因素，在光譜規(guī)律上的研究，首先打開(kāi)突破口的不是物理學(xué)家，而是瑞士的一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師巴耳末，當(dāng)時(shí)年屆60的他，受到對(duì)光譜很有研究的物理教授哈根拜希的鼓勵(lì)，試圖尋找氫光譜的規(guī)律。由于光譜線不連續(xù)的特征是隱藏在比例項(xiàng)形式的數(shù)，而分?jǐn)?shù)形式間變化規(guī)律的掌握，恰恰是數(shù)學(xué)家的強(qiáng)項(xiàng)（前面就有兩個(gè)實(shí)例），而且巴耳末對(duì)建筑結(jié)構(gòu)、圖形透視、幾何素描有濃厚興趣，專(zhuān)長(zhǎng)是投影幾何，寫(xiě)過(guò)這方面的專(zhuān)書(shū)，他在數(shù)與幾何方面的特長(zhǎng)使他取得了物理學(xué)家沒(méi)能做到的成就。巴耳末公式是由其基數(shù)乘上分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng)所構(gòu)成的，這看似平常，因而沒(méi)引起后續(xù)物理學(xué)家的高度關(guān)切，直到玻爾看了一眼，玻爾看對(duì)眼的并不是其基數(shù)，而是比例項(xiàng)的分?jǐn)?shù)形式與所搭配的整數(shù)遞變規(guī)律，那可是玻爾建立模型所需穩(wěn)定態(tài)能級(jí)躍遷假設(shè)的靈感泉源。
當(dāng)回顧前述對(duì)巴耳末基“數(shù)”解謎之文獻(xiàn)，有世說(shuō)角度，以事講數(shù)；有從數(shù)學(xué)角度，找比例因子以碼解數(shù)，或?qū)べ|(zhì)數(shù)因子以質(zhì)取數(shù)；也有光譜分析角度，以形求數(shù)；唯獨(dú)沒(méi)有從物理角度，以理導(dǎo)數(shù)，這就是本研究的契機(jī)。
3 回顧氫原子光譜簡(jiǎn)史并提出假設(shè)及擬定研究方法
這里特別把有關(guān)氫原子光譜的個(gè)案歷史拿出來(lái)談，以便聚焦吸收知識(shí)，也方便后續(xù)的探索。1814年，夫瑯禾費(fèi)發(fā)明了分光儀，并在太陽(yáng)光的光譜研究中發(fā)現(xiàn)了574條黑線，這些線被稱(chēng)作夫瑯禾費(fèi)線。1853年埃格斯特朗首先發(fā)現(xiàn)氫原子光譜線，但測(cè)量不易，由于不是用氣體放電管，而是常壓下利用電火花放電法研究，觀測(cè)雖有所發(fā)現(xiàn)，但激發(fā)的原子生命非常短暫不易測(cè)量。1862年用早期頸部肥大圓柱管狀的蓋斯勒管，他在研究氣體放電中，確認(rèn)了氫原子的Hα線 (6562.1?) ，即紅線譜線，隨后證明它就是夫瑯禾費(fèi)在太陽(yáng)光譜中發(fā)現(xiàn)的C線。之后又發(fā)現(xiàn)氫原子3條在可見(jiàn)光區(qū)域內(nèi)的光譜線，即Hβ線 (4860.74?) 、Hγ線 (4340.1?) 、Hδ線 (4101.2?) 。現(xiàn)在做歷史場(chǎng)景的模擬，假設(shè)吾人是回到19世紀(jì)的物理學(xué)家，那個(gè)年代通訊不發(fā)達(dá)，科學(xué)家大都靠私交書(shū)信流通科學(xué)新知或發(fā)現(xiàn)，如果吾人當(dāng)時(shí)并不知道有一門(mén)光譜分析學(xué)，又前述氫原子光譜線是在地球上找到的，然后埃格斯特朗核對(duì)此前先有的太陽(yáng)光譜，從中發(fā)現(xiàn)其C線暗條位置與氫原子光譜完全重合，這才發(fā)現(xiàn)，原來(lái)太陽(yáng)大氣中存有氫原子。單單得知這道重要巧合訊息，就當(dāng)代的時(shí)空背景與科學(xué)知識(shí)條件，作為基礎(chǔ)科學(xué)的研究精神，可以大膽地提出兩點(diǎn)假設(shè)：第一假設(shè)：氫原子激發(fā)不連續(xù)光譜線只與原子的內(nèi)蘊(yùn)（intrinsic）物理量有關(guān)；第二假設(shè)：氫原子不連續(xù)光譜線波長(zhǎng)就是此一內(nèi)蘊(yùn)物理量的特定表征。
雖然我們不了解原子的內(nèi)蘊(yùn)物理量，由第二假設(shè)可以知道，當(dāng)同一原子不同光譜線波長(zhǎng)求比值時(shí)，由于其特定表征都會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在分子項(xiàng)與分母項(xiàng)中，因此，如果將氫原子發(fā)出不同光譜線波長(zhǎng)兩兩相除的話，會(huì)對(duì)其內(nèi)蘊(yùn)物理量之外在表征做約分被消除掉，而無(wú)法察覺(jué)內(nèi)蘊(yùn)物理量的存在。如若想掌握其內(nèi)蘊(yùn)物理量之特性表征，就必須在求波長(zhǎng)比時(shí)，不能讓它被約分而不見(jiàn)蹤跡，自然就會(huì)顯露其物理量面貌，以下就是要落實(shí)這個(gè)思路的最簡(jiǎn)單做法。
首先令氫原子有一不為零之未知內(nèi)蘊(yùn)物理量定為參數(shù)B，然后將它同時(shí)乘上波長(zhǎng)比的分子項(xiàng)與分母項(xiàng)，接著轉(zhuǎn)換成各帶一個(gè)參數(shù)B并分立成兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)的乘積，以如下公式說(shuō)明會(huì)更明白：
波長(zhǎng)比
再來(lái)就看看有沒(méi)有機(jī)會(huì)，就前后兩項(xiàng)各擁一個(gè)B參數(shù)的分?jǐn)?shù)是否有規(guī)律可循。事實(shí)上，從前面的歷史回顧與探索思路，應(yīng)能推斷B參數(shù)與經(jīng)驗(yàn)公式都是同時(shí)存在于波長(zhǎng)間比例關(guān)系式中，因此可以不用先管參數(shù)B，就能從波長(zhǎng)間比例關(guān)系式中推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式，換句話說(shuō)，這里暫時(shí)不知道B參數(shù)的切確數(shù)值，試著不靠參數(shù)B值來(lái)找尋發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式的途徑，這個(gè)做法與所有文獻(xiàn)做法全然不同，當(dāng)然也不同于巴耳末的做法。
4 推導(dǎo)巴耳末經(jīng)驗(yàn)公式
由于不知道當(dāng)時(shí)巴耳末分析數(shù)據(jù)的誤差是什么情況，其采用分?jǐn)?shù)比例形式計(jì)算出來(lái)的波長(zhǎng)真的可信嗎？這里得先做公式計(jì)算與實(shí)際測(cè)量的誤差計(jì)算，倘若誤差不能接受，那么巴耳末公式就不值得深究下去了?？紤]原巴耳末取材自當(dāng)時(shí)氫原子光譜在可見(jiàn)光區(qū)波段早被埃格斯特朗測(cè)定的4條譜線波長(zhǎng)數(shù)據(jù)，再經(jīng)巴耳末公式計(jì)算并進(jìn)行與實(shí)際測(cè)量的誤差計(jì)算，詳如表1所示，可以發(fā)現(xiàn)誤差小于波長(zhǎng)的
吻合得十分出色，因此有信心深入探索。又為了增加數(shù)據(jù)分析的難度，另再追加一條譜線波長(zhǎng)數(shù)據(jù)，總共拿這紅、青綠、青、藍(lán)、紫等5色氫原子光譜譜線波長(zhǎng)，并以符號(hào)化為各項(xiàng)光譜線波長(zhǎng)命名如表1所示。
首先列出最長(zhǎng)波長(zhǎng)與其他波長(zhǎng)間的比值與近似的整數(shù)比例關(guān)系計(jì)算如下：
a(3)/a(4)=1.35002078，比值取小數(shù)點(diǎn)后三位并經(jīng)四舍五入得1.350=27/20，
a(3)/a(5)=1.51196977，比值取小數(shù)點(diǎn)后三位并經(jīng)四舍五入得1.512=189/125，
a(3)/a(6)=1.60004389，比值取小數(shù)點(diǎn)后三位并經(jīng)四舍五入得1.600=8/5。
a(3)/a(7)=1.65292191，比值取小數(shù)點(diǎn)后三位并經(jīng)四舍五入得1.653=…？
最后一項(xiàng)比值不能很快算出其整數(shù)比例式，由于所有實(shí)數(shù)皆可將它展開(kāi)成為簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，我們可以借助相同概念，從這個(gè)思路出發(fā)，不需要大海撈針，但需要一些步驟，進(jìn)行比數(shù)分解成形式類(lèi)似簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)以找出近似的分?jǐn)?shù)。步驟是這樣的，輾轉(zhuǎn)運(yùn)算過(guò)程是先同時(shí)將分母與分子都經(jīng)放大10倍以去除小數(shù)點(diǎn)，即a(3)/a(7)=1.65292191=65621/39700，計(jì)算波長(zhǎng)比例是采長(zhǎng)波長(zhǎng)除以短波長(zhǎng)的比數(shù)，結(jié)果能很快找到一個(gè)2的整數(shù)下限，使得a(3)/a(7)=2-(2×39700-65621)/39700=2-13779/39700，再將分?jǐn)?shù)項(xiàng)倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)形成39700/13779=3-(3×13779-39700)/13779=3-1637/13779，再運(yùn)用同樣的輾轉(zhuǎn)運(yùn)算手法，又將分?jǐn)?shù)項(xiàng)倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)形成13779/1637=9-(9×1637-13779)/1637=9-954/1637，令分?jǐn)?shù)項(xiàng)954/1637取近似值為1/2，則13779/1637=9-1/2，因此重新整理表成減號(hào)的簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)形式，此一完整計(jì)算過(guò)程如下：
這個(gè)近似分?jǐn)?shù)到底能不能接受呢？現(xiàn)在驗(yàn)算一下其數(shù)值結(jié)果為a(3)/a(7)=81/49=1.653061，雖然符合近似值為1.653的要求，還是再回頭用原始波長(zhǎng)比值為a(3)/a(7)=1.652922，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)十分逼近用原始波長(zhǎng)計(jì)算的結(jié)果，這個(gè)近似分?jǐn)?shù)是可以接受的。重新整理波長(zhǎng)比例關(guān)系如下：
重點(diǎn)現(xiàn)在就要讓內(nèi)蘊(yùn)物理量參數(shù)B重返公式，不要被除時(shí)而消去掉，具體做法就是將此參數(shù)分別乘上前述各式以波長(zhǎng)代號(hào)的分母項(xiàng)與分子項(xiàng)，其整數(shù)比例關(guān)系并不會(huì)因此而改變，然后將前述各式中間等號(hào)左邊之符號(hào)比例項(xiàng)經(jīng)適度調(diào)整并分立成兩項(xiàng)比例的乘積，同樣思路也用在前述各式中間等號(hào)右邊之整數(shù)比例項(xiàng)，經(jīng)適度調(diào)整也分立成兩項(xiàng)比例的乘積，整個(gè)推演計(jì)算過(guò)程重新整理成新的關(guān)系式如下：
綜觀上述4組比例式的前后關(guān)系式子，對(duì)照分立中間等號(hào)兩邊的兩個(gè)波長(zhǎng)代號(hào)比例乘積與兩個(gè)整數(shù)比例乘積，呈現(xiàn)出一對(duì)對(duì)小括號(hào)比例因子的乘積，很容易發(fā)現(xiàn)其前項(xiàng)乘數(shù)共同因子都長(zhǎng)得一模一樣，也就是，中間等號(hào)左邊波長(zhǎng)代號(hào)比例共同因子是a(3)/B，而右邊整數(shù)比例共同因子則是9/5，然后將中間等號(hào)兩邊兩兩相對(duì)映的其他小括號(hào)因子找出來(lái)，再經(jīng)過(guò)整理符號(hào)與整數(shù)比例間之一一對(duì)映，就能得出下列5組符號(hào)整數(shù)比關(guān)系恒等式的數(shù)列：
這些公式中只有參數(shù)B是個(gè)未知參數(shù)，此外都是已知數(shù)值，而且各項(xiàng)公式之形式都是一個(gè)未知數(shù)一個(gè)方程式，這是最容易求解的。顯而易見(jiàn)，因?yàn)闆](méi)有約分消掉，所以本性就顯露出來(lái)，這就是當(dāng)初分析思路的目的，但這里先暫時(shí)不算，以便凸顯接下來(lái)要進(jìn)行的重點(diǎn)工作，要在參數(shù)B完全不知道的切確條件之下，也能推演出巴耳末經(jīng)驗(yàn)公式。
上述恒等式中，除了頭一項(xiàng)保持原狀以外，將其他恒等式的分母與分子上下對(duì)調(diào)一番，全數(shù)恒等式變成如同頭一項(xiàng)形式一樣，皆是以參數(shù)B為分母的符號(hào)比等于整數(shù)比的數(shù)列：
初看起來(lái)，這5項(xiàng)整數(shù)比像似無(wú)法構(gòu)成規(guī)律性的分?jǐn)?shù)數(shù)列，但如果將第二項(xiàng)和第四項(xiàng)之分子與分母分別乘以4，接著進(jìn)行建立平方項(xiàng)推演，則分子部分依序可書(shū)寫(xiě)成3×3，4×4，5×5，6×6，7×7，而分母部分相應(yīng)書(shū)寫(xiě)成完全平方再減4，這樣就出現(xiàn)了依序漸增平方的變化規(guī)律。重新整理新得到的符號(hào)整數(shù)比恒等式如下列所示：
在不知參數(shù)B 切確數(shù)值條件之下，從這些符號(hào)整數(shù)比恒等式的漸增平方規(guī)律，很容易從前5個(gè)式子歸納出巴耳末經(jīng)驗(yàn)公式如下：
5 推算巴耳末基數(shù)
巴耳末基數(shù)皆出現(xiàn)在一元一次方程式的符號(hào)整數(shù)比關(guān)系恒等式中，因此采用任何一個(gè)已知波長(zhǎng)并借由前述關(guān)系式就能很快求得巴耳末基數(shù)切確數(shù)值，但分?jǐn)?shù)也是近似值，因此分別求出之后再取平均值，又為了與已知巴耳末基數(shù)做對(duì)照，這里先剔除先前額外加進(jìn)來(lái)的最末項(xiàng)，取前四項(xiàng)同巴耳末所選用的波長(zhǎng)當(dāng)計(jì)算依據(jù)，計(jì)算過(guò)程如下：
由于每個(gè)分?jǐn)?shù)都是近似值，取平均值得B=3645.59，如與巴耳末一樣取小數(shù)后一位的話，那就得到一樣的數(shù)值：3645.6，終于這般如此容易，巴耳末基數(shù)現(xiàn)身了。
6 推廣巴耳末公式并證明與里德伯公式等價(jià)
由于巴耳末公式起初預(yù)測(cè)氫原子的其他光譜線系列波長(zhǎng)不準(zhǔn)，勢(shì)必要修正，光譜研究方面，巴耳末腳步并未停歇，持續(xù)于1897年發(fā)表另一篇論文“光譜波長(zhǎng)的一個(gè)新公式”[6]，巴耳末自己也在該論文中提出修正，也就是將原巴耳末基數(shù)除4得A=B/4=3645.6/4=911.4?，這個(gè)新修正過(guò)的A值，就是我們于前述第二項(xiàng)假設(shè)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，但為何出現(xiàn)4這個(gè)數(shù)字？又為何剛好是整數(shù)？有必要探討了解。由于該值是2的平方，馬上聯(lián)想到與比例平方項(xiàng)式有關(guān)聯(lián)的，重新整理后，可以發(fā)現(xiàn)是規(guī)律變化的一部分，現(xiàn)在試著計(jì)算一下不同的n值并查驗(yàn)一下變化規(guī)律，試算過(guò)程如下：
通過(guò)前面試算過(guò)程，可看出當(dāng)n=2時(shí)就是原先的巴耳末公式，現(xiàn)歸納推廣后的巴耳末經(jīng)驗(yàn)通式：
此乃巴耳末經(jīng)驗(yàn)通式，適用于所有的氫原子光譜線系，終于求得氫原子內(nèi)蘊(yùn)物理量A=911.4?，這個(gè)攸關(guān)第二項(xiàng)假設(shè)內(nèi)蘊(yùn)物理量的存在性已經(jīng)證明了，但為何是這個(gè)值呢？此值的成因要如何解釋?zhuān)劣诒壤P(guān)系項(xiàng)里頭的m與n參數(shù)各有何物理意義？又為何剛好都是整數(shù)呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，光靠經(jīng)驗(yàn)公式這種唯象理論是不行的，得深入發(fā)展理論架構(gòu)才行，因此就要靠物理發(fā)展史接下來(lái)的玻爾氫原子模型理論進(jìn)行探索，才能揭露前述唯象理論有關(guān)困惑，這已超出研究范圍故不做探討。
接下來(lái)就是證明這個(gè)推廣后的巴耳末經(jīng)驗(yàn)通式與里德伯公式是否等價(jià)，當(dāng)然對(duì)象局限于氫原子。首先要進(jìn)行波長(zhǎng)換成波數(shù)的表示式，只要將推廣后的巴耳末經(jīng)驗(yàn)通式之分子項(xiàng)與分母項(xiàng)上下對(duì)調(diào)，就能轉(zhuǎn)成里德伯公式，顯然這就構(gòu)成了它們之間的等價(jià)證明，這里用最后修正的巴耳末基數(shù)來(lái)計(jì)算出R=1/A=1/911.4=10972130.79m-1，這個(gè)數(shù)字接近里德伯當(dāng)年所提的常數(shù)值10970000m-1[7]。推廣后的巴耳末經(jīng)驗(yàn)通式與里德伯公式的等價(jià)證明推演，十分簡(jiǎn)單，但限于氫原子所有光譜系，只要進(jìn)行求波長(zhǎng)倒數(shù)換成波數(shù)的表示式，過(guò)程詳如下列形式轉(zhuǎn)換：
7 以量綱分析揭露內(nèi)蘊(yùn)物理量的本質(zhì)
雖然此前已推得里德伯常數(shù)R的真正數(shù)值，可是只能假定它是一個(gè)屬于氫原子的內(nèi)蘊(yùn)物理量，卻不清楚它是由哪些基本物理常數(shù)所構(gòu)成，因此，本單元將以量綱分析手法[8]揭露此一內(nèi)蘊(yùn)物理量的真正本質(zhì)。此處選取質(zhì)量(M)、長(zhǎng)度(L)、時(shí)間(T)3個(gè)基本量綱，就氫原子中一個(gè)電子受庫(kù)侖力吸引繞著以原子核為中心在半經(jīng)r處做圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行量綱分析。首先考量此一由庫(kù)侖力產(chǎn)生的勢(shì)能：
現(xiàn)就上述位能公式中找出一些有興趣的物理量，以及考量海森伯不確定度關(guān)系，并按照它們與基本量之間的關(guān)系式道出下列分析所需的各種量綱式：
仔細(xì)研究上述各種量綱式，可得到一個(gè)無(wú)量綱量（學(xué)巴耳末沒(méi)做交代，欲知過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]）如下：
(1) 由于我們是在探討此一系統(tǒng)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，而上述無(wú)量綱量中的r是個(gè)變量而不是常數(shù)，因此把它剔除，這樣就符合本研究的第一項(xiàng)假設(shè)，此時(shí)，由于式(1)少了半徑，這相當(dāng)于是把式(1)的無(wú)量綱量乘上一個(gè)長(zhǎng)度基本量綱，就會(huì)變成一個(gè)具長(zhǎng)度綱量的內(nèi)蘊(yùn)物理量，其量綱又等同于巴耳末基數(shù)，于是也會(huì)有著巴耳末基數(shù)的內(nèi)蘊(yùn)作用，也就是會(huì)按本研究的第二項(xiàng)假設(shè)來(lái)運(yùn)作，因此這個(gè)式(1)少了半徑的物理量會(huì)隱藏在氫原子所發(fā)射的光波之中，所以，該光波所具有的能量E會(huì)是由上述式(1)無(wú)量綱量中除開(kāi)半徑以外的其他3種不同道出量所組成，接著針對(duì)這些道出量分別設(shè)置相對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)x,y,z，并存在一個(gè)未知比例系數(shù)Γ，使得能量E與這些道出量的函數(shù)關(guān)系式如下：
(2) 那么可以從上述式(2)可得到能量的量綱式為
就量綱的一致性對(duì)照上式不同基本量綱其已知與未知之間的量綱關(guān)系，可分別找出下列聯(lián)立方程組：
對(duì)上述代數(shù)方程組求解，可得3個(gè)量綱指數(shù)分別為x=-2,y=2,z=1，再把它們代回到式(2)，使得能量E與這些道出量的函數(shù)關(guān)系式如下：
(3)又里德伯常數(shù)的量綱是波長(zhǎng)λ的倒數(shù)，此光量子能量為E=h f，其中f為其頻率，并令式(3)函數(shù)關(guān)系中的系數(shù)Γ=1/2，再把這些與式(3)關(guān)聯(lián)起來(lái)，于是能道出由基本物理常數(shù)實(shí)際構(gòu)成的里德伯常數(shù)：
(4)今分別引用物理基本常數(shù)：電子的荷電量(e)=1.602×10-19C，電子質(zhì)量(m)=9.108×10-31kg，光速(c)=3×108m·s-1，真空介電常數(shù)(ε0)=8.85×10-12C2·N-1·m-2，普朗克常數(shù)(h)=6.626×10-34J·s，將這些物理常數(shù)代入到式(4)中，可算得其數(shù)值如下：
上述經(jīng)相關(guān)物理常數(shù)計(jì)算值，以及前一單元自創(chuàng)新法里對(duì)實(shí)驗(yàn)波長(zhǎng)數(shù)據(jù)所做的里德伯常數(shù)R推算值，都和當(dāng)年能被大家接受的四位有效數(shù)字的值[7]完全一致，因此，本研究要找的內(nèi)蘊(yùn)物理量，其本質(zhì)內(nèi)涵就是經(jīng)量綱分析所得里德伯常數(shù)的式(4)里所用基本物理常數(shù)關(guān)系式，這也與玻爾理論所推得的形式及內(nèi)涵完全一致，至此，也驗(yàn)證了本文于進(jìn)行研究前所做的兩項(xiàng)假設(shè)事項(xiàng)。
8 結(jié) 論
課堂上沒(méi)講清楚的巴耳末公式，除了數(shù)學(xué)家還有一些余熱之外，就只剩記憶里的歷史片段了，何曾想到，深入研究發(fā)現(xiàn)，竟能用如此簡(jiǎn)明的物理推導(dǎo)手法，就能重新發(fā)現(xiàn)巴耳末公式，并以量綱分析及沿用本研究的兩個(gè)假設(shè)，就能揭露光譜線中內(nèi)蘊(yùn)物理量的真正本質(zhì)！現(xiàn)總結(jié)一下研究心得：
(1) 用多元角度數(shù)據(jù)分析刺激建模靈感。本文保留了各路對(duì)解決巴耳末公式的不同推演手法，用意是提供課堂上數(shù)據(jù)分析的多元角度練習(xí)，借由不同手法推論特征，從而體認(rèn)到數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家在解決問(wèn)題層面會(huì)有本質(zhì)上的不同，希望能從這些素材刺激一些靈感泉源。本質(zhì)上，物理理論都是簡(jiǎn)化復(fù)雜面貌后的濃縮資訊，單從理論學(xué)不到全貌，其根本原因是，建模者原來(lái)綜觀問(wèn)題核心的思量，原創(chuàng)者建模的拿捏過(guò)程，這些林林總總?cè)绾未俪山⒛Ｐ偷闹匾B(yǎng)份沒(méi)有教，也是無(wú)從教起的，至今沒(méi)人完全知道哥白尼、開(kāi)普勒、牛頓、玻爾、愛(ài)因斯坦等人怎么能夠覺(jué)察問(wèn)題，找出問(wèn)題的關(guān)鍵所在，進(jìn)而發(fā)明自己的創(chuàng)見(jiàn)。這些無(wú)價(jià)之寶，乃是研究層面的真學(xué)問(wèn)，只能當(dāng)它是靈感吧！
(2) 創(chuàng)造力=創(chuàng)造另一種可能。本文所用資料背景和巴耳末所處年代完全一樣，就是為了在教學(xué)過(guò)程中，除了能以歷史軌跡講授當(dāng)代科學(xué)發(fā)展史與巴耳末公式的特殊貢獻(xiàn)之外，還能以不一樣的邏輯軌跡用隨堂方式演練歷史的偶然，因?yàn)閷W(xué)習(xí)物理也需學(xué)習(xí)創(chuàng)造力，而創(chuàng)造力就是創(chuàng)造另一種可能，理應(yīng)研習(xí)在一些偶然情況下做出不一樣的假設(shè)條件，從而進(jìn)行創(chuàng)造性思考與推理，如此場(chǎng)景在外、思路在內(nèi)相互呼應(yīng)，以內(nèi)外兼有的物理圖像，期建立學(xué)子清晰的物理概念。
(3) 鋪墊物理發(fā)展三部曲。楊振寧[10]針對(duì)物理界研究定性地概分為實(shí)驗(yàn)物理、唯象理論和理論架構(gòu)三部分。先從哥白尼日心說(shuō)講起，經(jīng)過(guò)開(kāi)普勒創(chuàng)建三大定律，然后這些成果奠定了牛頓的萬(wàn)有引力定律。以上體現(xiàn)古典物理的實(shí)驗(yàn)物理、唯象理論和理論構(gòu)架三部曲，這一路發(fā)展充滿了物理圖像。反觀近代物理史發(fā)展，從氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)物理，過(guò)渡到巴耳末公式的唯象理論，再到玻爾氫原子模型理論，這是課堂必上教材，然而在教授巴耳末公式時(shí)，往往采講故事的方式帶過(guò)，問(wèn)題是，沒(méi)有了物理量方面實(shí)際操練，就易失去對(duì)物理性質(zhì)的感受，這一避重就輕的彎道超車(chē)，會(huì)讓認(rèn)知披上一層神秘面紗，造成學(xué)習(xí)上的一個(gè)斷層現(xiàn)象。本研究找到了巴耳末公式所欠缺的最后一塊物理拼圖，從而清楚認(rèn)識(shí)其來(lái)龍去脈，再佐以量綱分析，能順勢(shì)與玻爾模型接軌，過(guò)程思路就清晰了，這一路發(fā)展才又充滿了物理圖像，進(jìn)而完備了近代物理史發(fā)展的實(shí)驗(yàn)物理、唯象理論和理論架構(gòu)三部曲。
(4) 逆向思考切入問(wèn)題的隱因還原比例法。固有成見(jiàn)常會(huì)潛意識(shí)地自我設(shè)限，框住了自己創(chuàng)建發(fā)現(xiàn)的開(kāi)拓潛力，要如何擺脫，將成為科學(xué)家的重要養(yǎng)成教育。其中有個(gè)辦法就是逆向思考，在物理史中有個(gè)典型的例子，就是費(fèi)米靈機(jī)一動(dòng)拿石蠟做實(shí)驗(yàn)意外發(fā)現(xiàn)了慢中子效應(yīng)。一般人在進(jìn)行比例計(jì)算，當(dāng)分子分母有相同乘積項(xiàng)時(shí)，都會(huì)進(jìn)行兩兩消除。本研究所探明的一種簡(jiǎn)易且具物理直觀方法，也是采用逆向思考，將一般計(jì)算比例思路反過(guò)來(lái)，把被隱藏具物理意義的重要因子，當(dāng)作共同乘積項(xiàng)，借由比例計(jì)算將其還原到分子分母里，因此，特將此研究方法稱(chēng)之為隱因還原比例法。至于本方法相關(guān)的理論介紹，與量綱分析又有何關(guān)聯(lián)，可參考接續(xù)本研究發(fā)展的下篇文獻(xiàn)[9]。
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作者簡(jiǎn)介：鄧崇林，獨(dú)立研究員，主要研究方向?yàn)閯?chuàng)新研發(fā)高階基礎(chǔ)科學(xué)教育教學(xué)內(nèi)容與實(shí)驗(yàn)設(shè)施、機(jī)器人綜合型學(xué)習(xí)教案。
引文: 鄧崇林. 以簡(jiǎn)明物理法重新發(fā)現(xiàn)巴耳末公式[J]. 物理與工程，2019，29(1)：44-52.
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