數(shù)學(xué)，內(nèi)在文化的消解及緣由
不得不承認(rèn)，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注并認(rèn)同“數(shù)學(xué)是一種文化”這一觀點(diǎn)。然而作為一種推論，既然承認(rèn)數(shù)學(xué)自身是一種文化，那么以傳承數(shù)學(xué)為目的的數(shù)學(xué)課堂，就當(dāng)然具有了一種內(nèi)在的文化性。于此種語(yǔ)境之下，再談“用文化潤(rùn)澤數(shù)學(xué)課堂”，是否有些不合邏輯？
問(wèn)題恰在于此。認(rèn)同某一事物具有文化性，并不等于這一事物就一定能在所有的境域中彰顯出它的文化屬性來(lái)。比方說(shuō)，“魚(yú)”很有營(yíng)養(yǎng)價(jià)值，但糟糕的烹飪方式不僅會(huì)破壞其固有的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值，甚至還可能使其完全喪失營(yíng)養(yǎng)、變成有害于健康的食物。
烹飪魚(yú)是如此，教學(xué)數(shù)學(xué)又何嘗不是這樣？事實(shí)上，只要稍加辨析便不難發(fā)現(xiàn)，我們論定“數(shù)學(xué)是一種文化”，思考的對(duì)象是“科學(xué)范疇”里的數(shù)學(xué)，也即，我們探討的還只是一般意義上的、以“學(xué)術(shù)形態(tài)”存在的客觀的數(shù)學(xué)科學(xué)。此時(shí)的數(shù)學(xué)，它既是“人類(lèi)創(chuàng)造活動(dòng)的結(jié)晶”，同時(shí)，“對(duì)人的行為、觀念、態(tài)度、精神等又具有重要影響”，無(wú)論從廣義還是狹義上看，它都已具備作為一種文化的資格。然而進(jìn)入學(xué)校視野、課堂范疇的數(shù)學(xué)，勢(shì)必經(jīng)歷了一個(gè)從“科學(xué)數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”，進(jìn)而向“教育形態(tài)”的“課堂數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換的過(guò)程中是否消解了數(shù)學(xué)原有的文化屬性，恰是我們深入探討數(shù)學(xué)文化時(shí)應(yīng)著力關(guān)注的話(huà)題。
現(xiàn)實(shí)境況不容樂(lè)觀。反觀當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，由于對(duì)知識(shí)、技巧等工具性?xún)r(jià)值的過(guò)度追逐，數(shù)學(xué)原本具有的豐富意蘊(yùn)日益被單調(diào)、枯燥的數(shù)學(xué)符號(hào)所替代，并幾乎成為了數(shù)學(xué)的全部，這使數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)一點(diǎn)點(diǎn)被剝落、以致本屬文化范疇的數(shù)學(xué)，正漸漸喪失著它的文化性。正是在這一意義上，重申“數(shù)學(xué)文化”，呼吁“還數(shù)學(xué)以文化之本來(lái)面目”，就成為數(shù)學(xué)實(shí)踐層面迫切需要解決的問(wèn)題。
數(shù)學(xué)的文化消解固然有多方原因，但教師對(duì)于數(shù)學(xué)不同的認(rèn)知和理解所帶來(lái)的教學(xué)行動(dòng)的偏差卻是重要的原因之一。試想，倘若教師在課堂中只認(rèn)同數(shù)學(xué)是一門(mén)技術(shù)，那么習(xí)得、模仿、練習(xí)、熟練化勢(shì)必會(huì)成為數(shù)學(xué)課堂中的強(qiáng)勢(shì)語(yǔ)言。生活在這樣的數(shù)學(xué)課堂里，學(xué)生如何去觸摸、領(lǐng)略數(shù)學(xué)那開(kāi)闊、豐富、優(yōu)美、甚而是動(dòng)人心魄的一面？而換一個(gè)視角，在我們的課堂中，倘若數(shù)學(xué)不再只是數(shù)字、符號(hào)、公式、規(guī)則、程序的簡(jiǎn)單組合，透過(guò)它們，我們可以感受數(shù)學(xué)豐富的方法、深邃的思想、高貴的精神和品格，領(lǐng)略數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的五彩斑斕、多姿多彩，分享數(shù)學(xué)前行足跡中的創(chuàng)造、超越及其背后折射出的人類(lèi)的智慧和人性光芒，此時(shí)的數(shù)學(xué)，又將以怎樣的姿態(tài)展現(xiàn)在課堂？
如此看來(lái)，文化可以在課堂被消解，也同樣可以在課堂被重拾。二者之間，差異恰在于視角的切換。所以我一直堅(jiān)持，文化應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂理應(yīng)選擇的視角和姿態(tài)。唯有如此，數(shù)學(xué)課堂彰顯其文化的本性方有可能。
數(shù)學(xué)文化：概念誤讀與意義重建
在實(shí)踐和探索的過(guò)程中，概念或命題的被誤讀已不是什么新鮮事，數(shù)學(xué)文化同樣沒(méi)能幸免。如何被誤讀，為何被誤讀，值得我們思考。
首先是概念的窄化。將數(shù)學(xué)文化簡(jiǎn)單等同于數(shù)學(xué)史，以為滲透了數(shù)學(xué)史，那就是一堂體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的課。應(yīng)該說(shuō)，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，但數(shù)學(xué)文化還遠(yuǎn)不是數(shù)學(xué)史能包容和涵蓋的。
其次是概念的泛化。將數(shù)學(xué)文化和課堂文化混為一談。課堂上人與人的不斷對(duì)話(huà)、交往、互動(dòng)無(wú)疑是一種文化現(xiàn)象，人們通常稱(chēng)之為課堂文化。事實(shí)上，不存在掙脫文化現(xiàn)象的課堂行為。然而，這里的“文化”關(guān)涉的是課堂活動(dòng)本身，而并非指課堂中所承載的數(shù)學(xué)內(nèi)容。一個(gè)充滿(mǎn)著文化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)課堂里，傳遞的未必就是帶有豐富文化意蘊(yùn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這足以表明二者的區(qū)別。不少教師將民主對(duì)話(huà)、平等交流等都納入數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)域，這顯然不妥，是對(duì)數(shù)學(xué)文化的一種泛化，不利于我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化本身，不利于我們準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)真正的文化價(jià)值。
那么，究竟什么才是數(shù)學(xué)文化？數(shù)學(xué)又擁有怎樣的文化價(jià)值呢？此處筆者無(wú)意于給出關(guān)于數(shù)學(xué)文化的確切定義，倒是更傾向于從這樣一個(gè)角度給出自己對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解。作為一種“看不見(jiàn)的文化”，數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、生成、傳播而在特定的數(shù)學(xué)共同體內(nèi)積蓄下的對(duì)人的發(fā)展具有重要促進(jìn)和啟迪價(jià)值的數(shù)學(xué)思考方法、數(shù)學(xué)思想觀念及數(shù)學(xué)精神品格等，這些都屬于數(shù)學(xué)文化。具體而言，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值主要表現(xiàn)在：首先，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，由于數(shù)學(xué)并非對(duì)客觀事物或現(xiàn)象量性特點(diǎn)的直接研究，而是通過(guò)相對(duì)獨(dú)立的“模式”的建構(gòu)，因而它有重要的思維訓(xùn)練功能，對(duì)于創(chuàng)造性思維的發(fā)展尤具重要意義。其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要激情，但更需要理智，需要數(shù)學(xué)地思維，因而其對(duì)于人類(lèi)理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展具有特別重要的意義。再次，數(shù)學(xué)看起來(lái)似乎與價(jià)值判斷無(wú)關(guān)，然而數(shù)學(xué)依然具有至高無(wú)上的“善”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣具有獨(dú)特的“教化”功能：比如探索過(guò)程中的執(zhí)著與堅(jiān)韌；比如論證過(guò)程中的務(wù)實(shí)與謹(jǐn)嚴(yán)；比如數(shù)學(xué)規(guī)則推導(dǎo)過(guò)程中的理智與自律；比如數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程中的開(kāi)拓與超越，甚至于耐心、責(zé)任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。正是這些，見(jiàn)證著數(shù)學(xué)更為深沉的文化力量，使數(shù)學(xué)可以超越知識(shí)本身，找尋到更為樸素、更為豐富，也更為動(dòng)人的內(nèi)涵。
文化，如何潤(rùn)澤數(shù)學(xué)課堂
“有些數(shù)學(xué)課很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，比如‘數(shù)與代數(shù)’領(lǐng)域的許多內(nèi)容，尤其像計(jì)算課……”類(lèi)似的聲音并不鮮見(jiàn)，我以為，這同樣涉及對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的定位問(wèn)題。正如前文所言，如果將數(shù)學(xué)文化窄化為數(shù)學(xué)史，那么，“數(shù)學(xué)文化”勢(shì)必會(huì)成為某些數(shù)學(xué)課堂的奢侈品，而在更加普遍、更為一般的數(shù)學(xué)課堂里，它必然只是難以登堂入室的“稀客”。反之，對(duì)數(shù)學(xué)文化的泛化理解，又會(huì)帶來(lái)這樣的后果：一切皆為文化，也就沒(méi)有了文化。
如此看來(lái)，教師首先要做的是調(diào)適好自己的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)文化觀、數(shù)學(xué)價(jià)值觀，這是文化能否潤(rùn)澤課堂的重要前提。唯有澄清了認(rèn)識(shí)，實(shí)踐才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及閱讀與積累的問(wèn)題了。比如，適當(dāng)閱讀一些關(guān)于數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域的書(shū)籍、資料等，廓清自己對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解。再如，可以涉獵一些關(guān)于數(shù)學(xué)歷史典故、趣聞?shì)W事等，必要時(shí)，還可以了解一些高等數(shù)學(xué)方面的內(nèi)容、思想、方法，這對(duì)于打開(kāi)自己的數(shù)學(xué)視野不失為一種可行的路徑。
具體的課堂實(shí)踐，我努力從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則、數(shù)學(xué)思想方法及情感態(tài)度價(jià)值觀四個(gè)方面切入，試圖以更為日?；?、更具涵蓋性的數(shù)學(xué)內(nèi)容和更加樸素的教學(xué)實(shí)踐表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，追求數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值。
1．?dāng)?shù)學(xué)概念，在“頭腦創(chuàng)造”中還原生命活力。
即便在“學(xué)校數(shù)學(xué)”的范疇里，概念通常也是以一種冷冰冰的姿態(tài)呈現(xiàn)在教材或者課堂上。但我們應(yīng)明白，任何數(shù)學(xué)概念的形成、發(fā)展、生成，都經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家無(wú)數(shù)的觀察、分析、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、判斷、辨析、調(diào)整、優(yōu)化等一系列數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。由此想見(jiàn)，即使是靜態(tài)的數(shù)學(xué)概念，其必沉淀下豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)觀念。如果課堂僅僅停留于對(duì)數(shù)學(xué)概念的被動(dòng)認(rèn)識(shí)、理解和傳遞上，那么內(nèi)涵于“冰冷的美麗”背后的這些“火熱的思考”將無(wú)法為學(xué)生所觸及、所分享，數(shù)學(xué)概念“可能”的文化價(jià)值也無(wú)法成為“現(xiàn)實(shí)”力量。數(shù)學(xué)課堂，恰恰需要在這兒做一些工作。
比如“認(rèn)識(shí)乘法”，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2”表示“9個(gè)2相加”比較麻煩時(shí)，教師直接告知乘法算式“2×9”是一種方式，引導(dǎo)學(xué)生自己想辦法去“創(chuàng)造”一種新的算式表示“9個(gè)2相加”也是一種方式。但后一種方式更加充滿(mǎn)挑戰(zhàn)，也預(yù)示著更多生成的可能。在我的課堂里，有學(xué)生選擇了“2＋2＋……2（9）”，有學(xué)生選擇了“2＋2（9）”，有學(xué)生選擇了“29”，在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下，又有學(xué)生選擇了“2·9”或者“2★9”等。靜態(tài)、冰冷的乘法概念在這一刻綻放了絢麗的光芒。可以想見(jiàn)，這些看似不太科學(xué)、不夠準(zhǔn)確的“乘法”表達(dá)形式背后，折射出了學(xué)生多少生動(dòng)、活潑的數(shù)學(xué)思考，比如觀察、概括、想像、推理、優(yōu)化、調(diào)整、創(chuàng)造，而這恰恰正是數(shù)學(xué)的“文化力量”。
再如認(rèn)識(shí)“長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高”，作為規(guī)定性知識(shí)，直接告知未嘗不可。然而，倘若引導(dǎo)學(xué)生作這樣的思考：如果將長(zhǎng)方體12條棱中擦掉1條，你還能想像出這個(gè)長(zhǎng)方體的大小嗎？如果擦掉2條、3條……呢？試一試，看至少留下幾條棱，才能確保想像出長(zhǎng)方體的大小？當(dāng)學(xué)生在經(jīng)歷嘗試、探索、操作、優(yōu)化等數(shù)學(xué)活動(dòng)后不約而同地選擇了這樣三條棱（如右）時(shí)，規(guī)定性的數(shù)學(xué)常識(shí)“長(zhǎng)、寬、高”在這一刻被“活化”了，并被學(xué)生生動(dòng)、深刻地予以建構(gòu)。我以為，像這樣的“頭腦創(chuàng)造”可以還原數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在生命力量，相對(duì)于概念的授受而言，其文化價(jià)值顯然更大。
2．?dāng)?shù)學(xué)規(guī)則，在充滿(mǎn)張力的數(shù)學(xué)思考中綻放理性之美。
和數(shù)學(xué)概念一樣，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)同樣面臨著一個(gè)“冰冷美麗”和“火熱思考”之間的抉擇和轉(zhuǎn)換。處理不當(dāng)，規(guī)則學(xué)習(xí)會(huì)誘導(dǎo)學(xué)生陷入機(jī)械記憶、單純模仿、反復(fù)操練的窠臼。如何將學(xué)生置身于規(guī)則發(fā)生、發(fā)展、形成的生動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)他們親歷觀察、猜想、驗(yàn)證、建模、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而獲得一種更有力度、充滿(mǎn)張力的數(shù)學(xué)思考以及觸及心靈的精神愉悅，這是我在課堂教學(xué)中一直關(guān)注并努力實(shí)踐的問(wèn)題。
比如教學(xué)“筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）”時(shí)，“從個(gè)位加起，滿(mǎn)十進(jìn)一”是繞不開(kāi)的計(jì)算規(guī)則。在成人看來(lái)，“從個(gè)位加起”應(yīng)是一件再自然不過(guò)的事，但學(xué)生究竟會(huì)如何理解、建構(gòu)這一規(guī)則呢？教學(xué)時(shí)，我放手讓學(xué)生自己探索24＋18的筆算方法，沒(méi)想到，竟有不少學(xué)生選擇了從十位加起（事實(shí)上，要合并兩堆小棒，我們通常不也是先數(shù)數(shù)一共有多少捆，然后再將零散的小棒滿(mǎn)十根一捆，最后得出結(jié)果的嗎），過(guò)程如下：
24
?。?font face="Times New Roman">18
432(注：3劃去)
面對(duì)這一狀況，草率地否定這一思考顯然不夠理智，急于糾正更顯得缺乏智慧，還是讓他們自己在比較中去發(fā)現(xiàn)、去感悟吧。結(jié)果，正是這樣一份理解和從容，不但讓他們?cè)趦煞N不同計(jì)算規(guī)則的比較中深化了對(duì)“從個(gè)位加起”的合理性認(rèn)知，同時(shí)也讓大家深刻地感受到了計(jì)算規(guī)則豐富和確定的辯證統(tǒng)一，體驗(yàn)到了規(guī)則生成過(guò)程中豐富的數(shù)學(xué)思考。
此外，“滿(mǎn)十進(jìn)一”也是數(shù)學(xué)中重要的規(guī)則之一。教學(xué)時(shí)，我沒(méi)有僅僅停留于“告訴”，而是在學(xué)生認(rèn)識(shí)“十進(jìn)制”后，進(jìn)一步拓展他們的視野，給他們介紹了關(guān)于五進(jìn)制、七進(jìn)制、十二進(jìn)制的知識(shí)，并引導(dǎo)他們思考諸如“不同的進(jìn)制之間有什么共同的地方”、“十進(jìn)制之所以被廣泛應(yīng)用，可能的原因是什么”、“如果將十進(jìn)制改為七進(jìn)制，對(duì)已有的數(shù)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響”等問(wèn)題?；蛟S這樣的思考對(duì)于學(xué)生鞏固或強(qiáng)化十進(jìn)制并無(wú)太大幫助，然而正是有了這樣的適度開(kāi)掘，學(xué)生的視野開(kāi)闊了，尤其是，數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程的多元化，數(shù)學(xué)思考的多樣性，數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所展現(xiàn)出的無(wú)窮智慧等，漸漸沉積為學(xué)生的內(nèi)在涵養(yǎng)，成為一種文化積淀。
3．方法、策略和思想的有效滲透與主題實(shí)踐。
離開(kāi)學(xué)校后，真正能留存于個(gè)體腦海中的具體數(shù)學(xué)知識(shí)、技能往往很少，但數(shù)學(xué)方法、策略、思想?yún)s常常以更為內(nèi)斂、潛在的方式沉積于學(xué)生內(nèi)心深處，成為他們進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要支撐。這是數(shù)學(xué)文化價(jià)值集中體現(xiàn)的又一重要方面。
較之于知識(shí)、技能而言，方法、思想和策略更為內(nèi)隱，常潛伏于許多看似普通的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要教師敏銳地予以捕捉、判斷、放大、外化，并在課堂中予以傳遞。
如教學(xué)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”時(shí)，面對(duì)如下問(wèn)題“在括號(hào)里填上合適的分?jǐn)?shù)”（見(jiàn)下圖），我有意將后兩幅圖中的等分線隱去，使這一內(nèi)容誘導(dǎo)出了更多的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。
其中有估計(jì)意識(shí)的培養(yǎng)（估計(jì)后兩幅圖中涂色部分占整體的幾分之一）、有思維策略的綜合應(yīng)用（對(duì)第三幅圖的估計(jì)）、有極限思想的滲透（引導(dǎo)學(xué)生想象并感受：如果繼續(xù)往下平均分，份數(shù)越多，表示每一份的分?jǐn)?shù)會(huì)怎樣）等。樸素的內(nèi)容完全可以承載豐厚的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，每一堂課，我們都可以作出這樣的思考。
此外，我還結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“數(shù)學(xué)思維方法”或“問(wèn)題解決策略”的主題性教學(xué)實(shí)踐（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“解題策略”作為具體板塊進(jìn)行教學(xué)，比如“綜合與分析”、“畫(huà)圖與列表”、“倒推”、“假設(shè)”、“枚舉”、“轉(zhuǎn)化”等），效果也很好。
4．挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中的豐富情感、態(tài)度和價(jià)值觀。
在更多課堂，一句“使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值”，往往便將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中原本更為豐富、多元、立體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀掩蓋。事實(shí)上，數(shù)學(xué)可以給予個(gè)體情感、態(tài)度、價(jià)值觀方面的影響遠(yuǎn)不止于此，前文第二小節(jié)已有描述，此處不贅。具體的實(shí)踐過(guò)程中，我認(rèn)為應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題。
首先是如何正確對(duì)待數(shù)學(xué)史料的問(wèn)題。歷史往往沉淀下許多值得流傳的史實(shí)與價(jià)值觀念。我們不能僅僅停留于對(duì)史實(shí)的介紹上，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)史實(shí)，觸摸到史實(shí)背后的價(jià)值和觀念，使其構(gòu)成一種更有教育意義的積極影響。如祖沖之是中國(guó)古代研究圓周率的驕傲，但僅到此為止，并進(jìn)行膚淺的愛(ài)國(guó)主義教育是不夠的。他在研究過(guò)程中如何“借助正多邊形周長(zhǎng)研究圓周長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)思想和智慧；他不滿(mǎn)足于既有結(jié)論，不斷超越、執(zhí)著奮進(jìn)的探索精神等，更應(yīng)該透過(guò)課堂浸潤(rùn)到學(xué)生的內(nèi)心深處。我在教學(xué)時(shí)，將這一段數(shù)學(xué)歷史有機(jī)融入到具體的周長(zhǎng)公式的探索過(guò)程中來(lái)，學(xué)生的感受更豐富了，認(rèn)識(shí)也更全面了。此外，我還適時(shí)地介紹了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的領(lǐng)先與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的落后，并給學(xué)生分析造成這一后果的內(nèi)在原因，深刻的民族尊嚴(yán)感和為中華數(shù)學(xué)之崛起而奮斗的決心在學(xué)生心中升騰。
轉(zhuǎn)自《人民教育》張齊華
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