模糊數(shù)學(xué)是以前較為有爭議的一個(gè)領(lǐng)域，因?yàn)楹蛿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性相悖，但是由于現(xiàn)實(shí)中模糊現(xiàn)象較多，使得它在短暫的時(shí)間內(nèi)就迅速發(fā)展起來了，現(xiàn)在在社會(huì)眾多領(lǐng)域都有滲透，可以稱為是一次變革。所謂模糊是指處于中間過渡狀態(tài)的不分明性和辯證性，區(qū)別于隨機(jī)，隨機(jī)是指一個(gè)事件要么發(fā)生要么不發(fā)生(取決于發(fā)生的可能性)，比如硬幣就只有正反兩個(gè)可能，基本事件總數(shù)總是一定的，而模糊則不一樣，比如形容一個(gè)人很高，那多高算高？如果他1.8我們就說他比較高，這里的比較高是一個(gè)模糊概念，很難用確定性的數(shù)學(xué)描述，類似的還有老年人與年輕人的劃分、污染嚴(yán)重與不嚴(yán)重的界限等，這些都是模糊概念。
數(shù)學(xué)經(jīng)過了確定性數(shù)學(xué)(即研究對(duì)象之間有必然的關(guān)系)到隨機(jī)性數(shù)學(xué)(即在確定性上增加了偶然性，但結(jié)果一定是可以預(yù)知的，只是增加了發(fā)生可能性的隨機(jī))到模糊性數(shù)學(xué)(即對(duì)象的結(jié)果都不一樣)，總體來說是一大飛躍
模糊數(shù)學(xué)領(lǐng)域主要有三種用途，第一是模糊識(shí)別，即識(shí)別未知樣本的所屬歸類，第二是模糊聚類，可以無監(jiān)督地將樣本動(dòng)態(tài)聚成多類，第三是模糊綜合決策，主要是一些方案的評(píng)價(jià)、樣本的優(yōu)劣評(píng)價(jià)等，下面詳細(xì)解釋，(有較多數(shù)學(xué)符號(hào))
模糊數(shù)學(xué)中的類似于定義域的概念被稱為論域，假設(shè)模糊集為A，使得
X稱為A的論域，
稱為A的隸屬函數(shù)，其函數(shù)值為隸屬度，如果隸屬度為0.5表明此時(shí)的x是模糊集A的過渡點(diǎn)，是最具模糊的點(diǎn)，如果
，A則就是普通集
隸屬函數(shù)一般可由頻數(shù)、實(shí)際業(yè)務(wù)場景、枚舉實(shí)例、偏重程度等方面來確定，一般來說，隸屬函數(shù)為值域在[0,1]上的分段函數(shù)
模糊集合的表示，個(gè)人認(rèn)為最經(jīng)典的就是zadeh表示法，它有很多好處(后面說)，其中有限模糊集A為
這里論域
為有限集，這里的'+'號(hào)不是數(shù)學(xué)上面的加號(hào)，可以理解為并集，分?jǐn)?shù)除法也不是數(shù)學(xué)上面的含義而只是一種表示方法(表示
的隸屬度為
),寫成這樣的好其實(shí)就是相同隸屬類別(分母)的值那它的隸屬度等于各自隸屬度(分子)相加
如果是無限模糊集(連續(xù)的)，則表示為
同樣的，這里的積分符號(hào)也不是數(shù)學(xué)上面的積分含義
比如有四個(gè)人{(lán)
,
,
,
}，身高分別為150,170,180,190,其中假設(shè)高個(gè)子的隸屬函數(shù)為
則這四個(gè)人構(gòu)成的模糊集為
常用
、
來表示模糊集之間的運(yùn)算
、
，且論域相同，若對(duì)任意的x有
，則稱
= max{A(x), B(x)} =
,隸屬度為
= min{A(x), B(x)} =
,所以隸屬度為
為A的補(bǔ)集，隸屬度為
并集就是取大，交集是取小，聯(lián)想韋恩圖即可
設(shè)論域U為
,論域V為
類似于高代里面的線性變換(從一個(gè)空間通過變換到另一個(gè)空間)，而這里是論域U到論域V的模糊關(guān)系映射
模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)為
，值域?yàn)閇0,1],這里的R是m*n的二維矩陣，即模糊矩陣
,則等價(jià)于
,則等價(jià)于
這里的
等于
可以看成是矩陣乘法中的乘替換成立先取兩值最小后所有這樣的兩值中的最大
截矩陣
對(duì)于任意的
，對(duì)于模糊矩陣A有
故模糊矩陣A經(jīng)過
截取后的截矩陣為布爾矩陣
假定論域都為U，U上所有的模糊集為F(U),U={
,
,...,
}
言下之意就是模糊集相似程度的一種度量，記模糊集A，B之間的貼近度為N(A,B)
用的是L1范數(shù)
有限集型
無限集型，即
用的是L2范數(shù)
即
黎曼貼近度只需要確保函數(shù)黎曼可積就行，黎曼可積可以理解為在離散型的時(shí)候也可積，所以不用區(qū)分是否是有限集
以上貼近度的復(fù)雜度較大，現(xiàn)實(shí)中一般采用格貼近度
模糊集之間的內(nèi)積定義為
先取對(duì)應(yīng)元素中的最大再取最大值中的最小
外積定義為
先取對(duì)應(yīng)元素中的最小再取最大值中的最大
固定模糊集 A ，如果模糊集 B 越靠近 A ，會(huì)使內(nèi)積增大而外積 減少，所以用格貼近度來刻畫兩個(gè)模糊集的貼近程度，即格貼近度為
若給定一個(gè)未知的樣本，如何識(shí)別它的隸屬，有兩種辦法
即
，則說明
相對(duì)隸屬模糊集
比如在模糊集(年輕，中年，老年)，一個(gè)人在三個(gè)模糊集的隸屬度最大就表示它更應(yīng)該屬于那個(gè)模糊集
則說明
相對(duì)隸屬模糊集
,B為待識(shí)別的一個(gè)模糊向量
所以應(yīng)用這兩種規(guī)則就可以判定識(shí)別出未知樣本屬于哪個(gè)等級(jí)或哪個(gè)分類
聚類分析含義是對(duì)客觀事物按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法，而在很多領(lǐng)域中有許多事物的類與類之間并無清晰的劃分即其邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系，所以用模糊聚類分析更加符合
若滿足
，R>=I(單位矩陣)，且R為對(duì)稱矩陣，則稱R為模糊等價(jià)矩陣
性質(zhì)是對(duì)于它的截矩陣
和
，如果在
時(shí)將
,
聚成一類，則在
時(shí)一定也是一類，其中
如圖所示，截矩陣后成為布爾矩陣，只需找相同行即可歸為一類，可以知道當(dāng)
越小，類別數(shù)越少，可以再看一下截矩陣的定義
這個(gè)條件即可
設(shè)R為模糊相似矩陣，則存在最小的正整數(shù)k使得
,其中t為任意大于等于k的正整數(shù)，并且
為模糊等價(jià)矩陣，即模糊相似矩陣的有限次冪一定收斂于對(duì)應(yīng)的模糊等價(jià)矩陣，因?yàn)檫@里的矩陣乘法是兩者元素取完最小后的最大值
稱為模糊相似矩陣R的傳遞閉包矩陣，記作t(R),一般冪次的乘積用平方法，直到收斂，即
若有
故此時(shí)傳遞閉包矩陣為
，傳遞閉包矩陣為模糊等價(jià)矩陣
)
，得到動(dòng)態(tài)聚類的效果(和層次聚類法較像)
因?yàn)槭怯上嗨葡禂?shù)構(gòu)建的模糊相似矩陣，則一定存在傳遞閉包，從而使用不同水平的
去截這個(gè)閉包矩陣(模糊等價(jià)矩陣)得到動(dòng)態(tài)聚類效果
類比與層次分析法，具有主觀性
它是從多個(gè)因素出發(fā)對(duì)被評(píng)價(jià)樣本分類隸屬等級(jí)綜合性評(píng)價(jià)的方法，是后續(xù)模糊決策分析方法的基礎(chǔ)
評(píng)價(jià)的是單個(gè)樣本對(duì)象
對(duì)評(píng)價(jià)等級(jí)
的影響隸屬關(guān)系
),即
而這里B的元素為
若是多個(gè)樣本的決策，則只需對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行上述的評(píng)價(jià)過程即可，但是如何評(píng)價(jià)這些個(gè)多個(gè)樣本哪個(gè)最優(yōu)呢，這就是多目標(biāo)模糊綜合評(píng)價(jià)決策法解決的問題
，總評(píng)分?jǐn)?shù)最大的那個(gè)就是最優(yōu)的樣本
多層次體現(xiàn)在特征體系的選取上，一般來說樣本如果因素眾多，可以先組合一些特征進(jìn)行組合特征的決策，然后再總體決策，這就是多層次模糊綜合評(píng)價(jià)的思想
，子集元素交集為空，并集為整個(gè)特征集
與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)集V結(jié)合，獲得模糊關(guān)系矩陣
計(jì)算評(píng)價(jià)結(jié)果向量
之間的權(quán)重A
視為一個(gè)特征，此時(shí)的模糊關(guān)系矩陣為
,即評(píng)價(jià)結(jié)果向量構(gòu)成的矩陣
之間的權(quán)重計(jì)算評(píng)價(jià)結(jié)果向量，
確定權(quán)重的方法可以是頻數(shù)統(tǒng)計(jì)法，層次分析法，熵權(quán)法等
模糊數(shù)學(xué)的出現(xiàn)是從確定性到隨機(jī)性再到模糊性的一大飛躍，更好地貼近了現(xiàn)實(shí)生活，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中很多東西的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)都是模糊的，隸屬度的含義是屬于每個(gè)類別的程度，就將一個(gè)不確定不預(yù)知的結(jié)果給刻畫出來了，不得不說，傳遞閉包矩陣、截矩陣這些思想是精髓所在，真的佩服??！這也正是數(shù)學(xué)思想的奇妙！
模糊數(shù)學(xué)模型可以解決模糊識(shí)別、模糊聚類等經(jīng)典場景，具有較高的準(zhǔn)確性和簡易型，雖然說模糊評(píng)價(jià)和層次分析法一樣有主觀賦權(quán)的存在，但是在主觀性很強(qiáng)的研究領(lǐng)域不失為一個(gè)可擴(kuò)展性好，效果較好，且能更好結(jié)合其他評(píng)價(jià)方法的一種手段！
參考資料
《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》 司守奎老師著
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