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大一剛開學時，我懷著對數學競賽多年的熱情，報了一門美國大學數學競賽課——Putnam Seminar (Putnam Competition是美國和加拿大最具聲望的本科生數學競賽)。第一次走進教室，我就從同學間嘁嘁喳喳的談話中，感受到了一種強烈的不協(xié)調感——這里的人似乎都上過這門課，而且彼此之間都很熟悉。可是如果大家都上過這門課了，為什么還要再上一次？再者說，雖然理學院的許多人彼此認識不足為奇，但為什么這個聚集著各個年級學生的課室里，好像每一個人都互相認識？作為一名不明所以的大一新生，我只好悄悄地找了一個角落里的位置，乖巧而安靜地坐下來了。

幾分鐘后，這門課的教授拿著兩疊紙，一路小跑了進來。簡短地自我介紹之后，他就把紙發(fā)了下來：每人兩張，一張上印了八道練習題，另一張就是白紙。沒有講義，沒有課程大綱，甚至他自己連筆記都沒有帶。十分鐘的解題時間就這么開始了。

我自然一題都沒做出來。

十分鐘后，當受到驚嚇的我滿心期待地打開筆記本，準備記教授要講的解題方法時，他很高興地說：

“今天我想從第四題開始，你們誰對這道題有什么想法？”

教室里的學生們一下子沸騰了。舉手的人不少，但是教授竟然讓每一個人都發(fā)表了自己的想法，并把這些想法全部列在了黑板上。很快就有學生繼續(xù)舉手，順著黑板上幾個比較有前景的思路，繼續(xù)提出接下來的解題步驟。在教授不時的指導和補充之下，很快黑板上就出現了一個看似有些雜亂卻很嚴謹完整的答案。然而他們的思維速度實在太快，也太跳躍，以至于我只能勉強跟上解題進度，根本沒時間去記筆記。

第一節(jié)課之后，我得出了兩個結論。第一，這些學生可能是一群妖精。第二，這個教授可能也是。

我上過的絕大多數數學課，都有著非常相似的結構：第一節(jié)課上，老師會介紹課程大綱和學習方法，讓學生對這門課有一個大致的了解。接下來的每一節(jié)課老師都會講解一個新主題，介紹這個領域里的基礎定義和定理，然后講解例題，或者接著上一節(jié)課的內容進行拓展和補充。這種嚴謹且層次分明的教學結構，能夠讓學生很好地掌握知識體系和內容。在解題方面，老師也會針對這個知識點教授相應的解題方法。多年的傳統(tǒng)數學教育讓我非常適應這種教學方式，記起筆記來得心應手。

然而這門Putnam Seminar徹底顛覆了我的認知。

在沒有講義和大綱的情況下，我不僅學到了很多新的概念，更見識到了前所未知的解題方法。這些方法不像任何根據特定主題規(guī)劃的套路，也沒有固定的能直接套數的公式。相反，所有這些方法都是學生們創(chuàng)造出來、甚至可能是全新的方法。這樣的互動式教學，自然能讓學生學到更多。后來我才知道，這種教學方法叫解題式教學（Problem Based Learning），而這個教授，叫羅博深（Po Shen Loh）。

Problem Based Learning，又稱解題式教學（以下簡稱PBL），是一種源于美國六十年代醫(yī)學院的教學方法，其宗旨在于使用有代表性的例題，由學生來合作提出并搭建解法。這些例題通常沒有標準答案，甚至會讓人不知從何下手。因此學生們要運用他們學過的知識，而不是固定的解題方法，來開辟解題路徑。這種解題體驗是非常獨特的，對于知識的牢固掌握也特別有效。相較之下，在我上過的大部分大學數學課（特別是數學分析課）中，由于知識量較大，課程進度又非?？欤芏嘀R經常在完全消化之前就被后面的新知識沖過去了。這讓我感覺自己對課程知識的掌握并不全面，同時對于運用這些知識來解題也沒有足夠的實踐經驗。

而PBL很自然地解決了這個問題。如果難以將知識運用于解題中，那就在解題過程中學習知識。如果對知識的掌握不夠牢固，那就將知識放入具體的情景中去理解。更重要的是，解題式教學能讓學生跳出固定的思維模式，以更有創(chuàng)造性的方式來思考問題。

在Putnam Seminar上，對于任何一道例題，我們都會提出幾種，甚至十幾種不同的想法。雖然大部分的想法都是即時的、難以延續(xù)的，但是這種創(chuàng)造的過程依然讓我受益匪淺，因為它們提供了多種不同的，看待同一個問題的方式。同時，在選出幾個最有前景的想法之后，接下來的解題步驟都是由多個學生一人一步地搭建出來的，而不是由提出想法的學生單獨完成的。這更加培養(yǎng)了學生的協(xié)作能力，也讓他們看到了一種想法的多種可能。這些都是難以在傳統(tǒng)教學方法中實現的。

這種感受在我上過羅教授的離散數學（discrete math）課之后變得更加深刻。在離散數學課上，羅教授將傳統(tǒng)的教學方法和PBL結合了起來，讓學生在系統(tǒng)學習知識的同時得到足夠多的實戰(zhàn)經驗。每一節(jié)課開始時，羅教授都會先延續(xù)上一個主題，或者介紹一個主題里重要的定義和公理，這也是傳統(tǒng)的教學方法。隨后他就會轉向PBL，提出一個例題，指導學生們提出想法，并一起構造出一個答案。在這樣的一節(jié)課上，我不僅學到了這個主題下的新知識，也鞏固和延申了相關領域多個知識點。這樣的教學方法，會讓我對正在學習的這個領域產生濃厚的興趣?？梢哉f，我現在選擇圖論和組合論作為專攻方向，有一部分原因就來自于羅教授的離散數學課。

PBL不僅可以用于高等數學的學習，經過一定的調整，羅教授還把PBL運用到了初等數學的教學上，比如在證明底邊為圓的直徑的三角形為直角三角形時，就要將思維拓展到多個數學知識，這就是提出問題，然后通過多種方法來講解知識。

視頻來自羅博深小學數學思維課《平面幾何基礎》：半圓的三角形

總結下來，解題式教學有著非常顯著的優(yōu)點。在激發(fā)學生興趣的同時，它能夠給學生帶來寶貴的實戰(zhàn)經驗，并且從中學到更多的知識。然而，使用PBL的難點也同樣顯著：要在課堂或家庭教育中運用PBL，對于課程設計和授課水平都是一個非常大的挑戰(zhàn)，比起傳統(tǒng)的授課方法，老師需要花更多的精力來研究如何選題、如何上課。 PBL若能實施成功，則能起到立竿見影的效果。

正如羅教授一直在跟我們說的一樣 ——授人以魚不如授人以漁，與其用固定的方法快速地解一百題，不如用心地深入思考一題，獲得解決新問題的方式。能夠鍛煉好思維的韌性，就一定能在數學的長跑中比擅長沖刺的選手跑得更長遠。