注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)（一）
編者按
函數(shù)與函數(shù)概念的教學(xué)是大家所熟悉的，但本文從教學(xué)設(shè)計的立意入手，凸顯函數(shù)概念本質(zhì)、分析學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、如何更好地把握教學(xué)規(guī)律，以問題串為線索的教學(xué)過程設(shè)計（尤其是例子的選擇和提出的相關(guān)問題）、注重學(xué)生的思維參與和感悟的教學(xué)過程設(shè)計。特別是本文第二部分“課后與任課教師的互動交流”對于我們應(yīng)該如何去思考和進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)會有很好的啟迪。第三部分“在實踐基礎(chǔ)上理性反思”對于如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計、提高自身把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律的能力具有理論價值和現(xiàn)實意義。
為了推進(jìn)高中課標(biāo)教材的實驗工作，使廣大教師更好地理解新教材的編寫意圖，把握新教材的教學(xué)，提高教學(xué)效益，我們組織實施了“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”課題研究，就高中數(shù)學(xué)中的一些核心概念的教學(xué)開展深入研究，并以“人教A版”高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材為藍(lán)本，進(jìn)行課堂教學(xué)實踐研究，制作成課例光盤供廣大教師觀摩．
眾所周知，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的最重要概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終．理解函數(shù)概念及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會用函數(shù)的觀點和方法解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題，是高中階段最重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)之一．因此，搞好函數(shù)概念的教學(xué)至關(guān)重要．另一方面，函數(shù)概念因為其高度的抽象性而成為最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在很大困難．有鑒于此，我們選擇了“函數(shù)概念”單元，內(nèi)容包括函數(shù)的概念、表示和性質(zhì)（單調(diào)性），請“人教A版”高中數(shù)學(xué)課標(biāo)實驗教材作者、南京師范大學(xué)附中
第一部分 教學(xué)設(shè)計
一、基于教材編寫意圖的教學(xué)設(shè)計立意
為了更好地說明問題，我們這里結(jié)合“人教A版”中函數(shù)單元的教材編寫意圖，闡述本教學(xué)設(shè)計的立意．
（一）對本單元教學(xué)內(nèi)容的總體認(rèn)識
高中的函數(shù)學(xué)習(xí)在初中已學(xué)的“變量說”基礎(chǔ)上展開，函數(shù)定義采用“對應(yīng)說”，引進(jìn)抽象符號f(x)表示函數(shù)；較全面地學(xué)習(xí)函數(shù)的表示與性質(zhì)；強調(diào)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實事物變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，因此強調(diào)函數(shù)的背景、思想和應(yīng)用；強調(diào)與方程、不等式的聯(lián)系，注重用函數(shù)觀點理解和解決方程、不等式的有關(guān)問題；用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)性質(zhì)，使思想方法和研究手段都上升到一個全新高度．具體安排強調(diào)螺旋上升，先從一般性角度研究函數(shù)概念，使學(xué)生在宏觀上了解函數(shù)的內(nèi)容和方法，起到先行組織者的作用；然后通過基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，以具體函數(shù)為載體，感受建立函數(shù)模型的過程與方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的應(yīng)用，學(xué)會用函數(shù)思想解決簡單實際問題．
定義抽象、符號抽象、具體函數(shù)類型多復(fù)雜性提高（連續(xù)的、離散的）、相關(guān)知識的聯(lián)系性增強、用更多的工具（實數(shù)運算、導(dǎo)數(shù)）討論函數(shù)性質(zhì)等是高中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的特點．特別是，引入具有一般性的抽象函數(shù)符號f(x)，使學(xué)生能通過建立模型刻畫現(xiàn)實問題的數(shù)量關(guān)系，并通過討論函數(shù)的性質(zhì)而獲得現(xiàn)實問題的解釋，認(rèn)識和把握現(xiàn)實問題的規(guī)律．
（二）教學(xué)設(shè)計的立意
基于上述認(rèn)識，在教學(xué)設(shè)計中，我們特別強調(diào)了如下幾個方面，這也是為了體現(xiàn)教材編寫意圖．
1．突出函數(shù)概念的本質(zhì)和建構(gòu)過程
我們認(rèn)為，函數(shù)概念的本質(zhì)是：函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)概念所反映的思想方法是：自變量、因變量都取實數(shù)值（這樣才有可能用數(shù)及其運算的知識來考察現(xiàn)實問題的變化規(guī)律）；因變量的取值有唯一性；用數(shù)以外的符號f(x)表示函數(shù)（具體表示形式可以是解析式、圖象或表格）．
為了讓學(xué)生在經(jīng)歷函數(shù)概念的概括過程中，更好地體會其本質(zhì)和思想方法，我們遵循教材編寫意圖，在教學(xué)設(shè)計中強調(diào)通過一些具有真實背景的典型實例，從“變量說”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言分析它們的共同特征，再概括出“對應(yīng)說”．這樣既銜接了初中階段將函數(shù)看成變量間依賴關(guān)系的認(rèn)識，又使學(xué)生在用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念的過程中形成對函數(shù)概念本質(zhì)的切身體驗．
2．為學(xué)生概括和領(lǐng)悟函數(shù)概念搭建“腳手架”
函數(shù)概念是中學(xué)階段最難理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表達(dá)方式所帶來的高度抽象性；變量的概念涉及到用運動、變化的觀點看待和思考問題，具有辯證思維特征；有許多下位概念（如自變量、因變量、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性……），是派生數(shù)學(xué)概念的強大“固著點”；具有廣泛應(yīng)用性，建立函數(shù)模型不僅需要具備較強的數(shù)學(xué)能力，而且與學(xué)生的人生閱歷有關(guān)；等．其中最根本的還是其高度抽象性．
眾所周知，越是基礎(chǔ)性的概念，其統(tǒng)攝性就越強，應(yīng)用范圍就越廣，學(xué)生從中領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)就越本質(zhì)，所形成的思維方式、養(yǎng)成的思維習(xí)慣對學(xué)生的終身發(fā)展也就越有根本性影響．所以，對這些概念就越要強調(diào)理解的深刻性、基礎(chǔ)的穩(wěn)固性．但事物總有兩面性，這些概念的理解和掌握往往難度大、時間長，需要更多的經(jīng)驗積累．“是非經(jīng)過故知難”，親身經(jīng)歷過的事情感悟才會深刻．因此，這些概念的教學(xué)要非常講究從簡單到綜合地組織內(nèi)容，要特別耐心地進(jìn)行循序漸進(jìn)的滲透和提高，要特別強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的概括過程．中學(xué)數(shù)學(xué)中，扮演這種奠基角色的概念不是很多（如數(shù)及其運算、空間觀念、數(shù)形結(jié)合、向量、導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計觀念、隨機思想等），但函數(shù)概念是當(dāng)之無愧的一員．因此，教學(xué)設(shè)計中，我們以教材提供的概念概括過程和素材為依據(jù)，特別注意以具體例證為載體化解函數(shù)的抽象性，為學(xué)生搭建理解的平臺，鋪設(shè)概括的路線和階梯，以幫助學(xué)生感悟函數(shù)概念的“本來面目”．其中特別注重典型實例、表格和圖像直觀等的作用，并強調(diào)在思想方法上給予明確、具體的指導(dǎo)．
（1）鋪設(shè)概括路線．教材在簡要回顧初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，以三個有真實背景的實例為載體，先從“變量說”出發(fā)，并用集合與對應(yīng)的語言詳細(xì)講解第一個實例的對應(yīng)關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生模仿敘述后兩個實例的對應(yīng)關(guān)系，然后以“你能概括一下這三個實例的共同特征嗎？”為引導(dǎo)，使學(xué)生概括實例的本質(zhì)而形成“對應(yīng)說”．接著，在函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容中，不斷強化對函數(shù)這一類特殊“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識，強化對函數(shù)所研究的問題和思想方法的理解．教材鋪設(shè)的這一概括路線符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是設(shè)計教學(xué)過程的基本依據(jù)．
（2）選擇典型、豐富的實例．教材提供的實例是精雕細(xì)琢的，特別強調(diào)了典型性和豐富性，我們相信這些例子在學(xué)生理解函數(shù)概念中能起到奠基性的“參照物”作用．因此，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段的教學(xué)中，都應(yīng)用好書中的例子，為學(xué)生提供思考、探究、交流的機會，使學(xué)生在好例子的支持下開展思維，形成函數(shù)概念理解活動的強大背景支撐．
（3）強調(diào)只能用圖像、表格表示的函數(shù)例子的作用．表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法”的一種，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，它們使抽象的函數(shù)符號形象化，為學(xué)生提供了直觀的機會．例如圖像的種種形象和基本性質(zhì)使得學(xué)生直觀地“看到”、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì)，看到a的取值是如何決定y＝ax的特性的，看到y＝sin(2x+)什么時候取正值或負(fù)值等．所以，圖像、表格是幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的重要載體．另外，用函數(shù)圖像分析和解決問題時體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合思想，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要載體．教材充分注意到了圖像、表格的作用，其中特別強調(diào)了只能用圖象、表格表示的函數(shù)例子的使用．我們體會，教材這樣做既是為了提升學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識層次，同時也是為了幫助學(xué)生更全面、深刻地領(lǐng)悟“對應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)．因此，教學(xué)中應(yīng)特別注意利用教材的這些例子，讓學(xué)生指出其中的“對應(yīng)關(guān)系”，這是非常重要的．
（4）思想方法的明確和具體指導(dǎo)．從知識分類角度看，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”屬“隱性知識”，是人類在認(rèn)識客觀世界中的“數(shù)量關(guān)系”“空間形式”和“隨機性中的規(guī)律性”的過程中產(chǎn)生的，是指導(dǎo)人們研究數(shù)、形規(guī)律時需要遵循的規(guī)則和程序，與人的世界觀有緊密聯(lián)系．因為數(shù)學(xué)思想方法的這種“隱蔽性”“默會性”及其高層次性，而中學(xué)生的認(rèn)識能力、智慧水平尚在發(fā)展過程中，因此數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，一方面要強調(diào)讓學(xué)生在親身體驗中獲得內(nèi)心感悟，另一方面還要依靠明確具體的語言指引，這也是加速學(xué)生領(lǐng)悟過程的需要．我們認(rèn)為，教材既充分注意了數(shù)學(xué)思想方法的地位作用，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的規(guī)律也有準(zhǔn)確把握，因此對思想方法的明確和指導(dǎo)也是到位的．例如，在具體討論函數(shù)性質(zhì)之前，教材有這樣一段話：“變化之中保持的‘不變性’‘規(guī)律性’就是性質(zhì)．函數(shù)是描述現(xiàn)實事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．現(xiàn)實事物的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達(dá)到最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到函數(shù)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加或減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)，知道了函數(shù)性質(zhì)也就把握了事物的變化規(guī)律．”其目的就是要讓學(xué)生明確函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容、研究方法和意義．因此，教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真貫徹教材的這一意圖，籌劃好函數(shù)思想方法的領(lǐng)悟過程．
3．加強建立函數(shù)模型的活動，深化函數(shù)概念理解
前已述及，為了有利于學(xué)生理解函數(shù)概念，教材采用“歸納式”安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生在分析、歸納、概括實例共同本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，感悟函數(shù)概念及其蘊含的思想方法．在學(xué)生初步領(lǐng)悟函數(shù)概念，知道了函數(shù)是對客觀現(xiàn)實數(shù)量關(guān)系的抽象以后，教材安排了建立實際問題的函數(shù)模型的內(nèi)容，給學(xué)生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解釋實際問題的學(xué)習(xí)機會．古人云，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”．在用函數(shù)建模的過程中，不但可以使學(xué)生更深入地感悟函數(shù)，而且還可以使學(xué)生形成用函數(shù)解決問題的真實體驗．對于函數(shù)這樣抽象程度極高的概念，只有設(shè)法使學(xué)生卷入其中，強化親身體驗，啟發(fā)內(nèi)心感悟，激發(fā)心理共鳴，才能真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識客觀規(guī)律、解決實際問題的強大武器．教學(xué)中，應(yīng)認(rèn)真體會教材的這種設(shè)計思路，一有機會就要安排函數(shù)建?；顒?，讓學(xué)生有機會用函數(shù)概念解釋各種變化現(xiàn)象，解決相關(guān)問題．
二、“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計
1．內(nèi)容和內(nèi)容解析
“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念．
學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了函數(shù)概念．函數(shù)定義采用“變量說”；介紹了三種表示法；以一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù)為具體函數(shù)模型，借助圖像討論了這些函數(shù)的一些簡單性質(zhì)；要求用所學(xué)函數(shù)知識解決簡單實際問題；不涉及抽象符號f(x)，不強調(diào)定義域、值域；等．初中所學(xué)的函數(shù)知識，與代數(shù)式、方程等聯(lián)系緊密，而對“變量”“變化”“對應(yīng)關(guān)系”等涉及函數(shù)本質(zhì)的內(nèi)容，要求是初步的．
高中階段要建立函數(shù)的“對應(yīng)說”，雖然它比“變量說”更具一般性，但兩者的本質(zhì)一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合與對應(yīng)語言表述；明確了定義域、值域；引入了抽象符號f(x)表示集合B中與x對應(yīng)的那個數(shù)，當(dāng)x確定時，f(x)也唯一確定．
函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)關(guān)系”：兩個非空數(shù)集A，B間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，即對于數(shù)集A中每一個x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)．這里的關(guān)鍵詞是“每一個”，“唯一確定”．集合A，B及對應(yīng)關(guān)系f是一個整體，是兩個集合的元素間的一種對應(yīng)關(guān)系，這種“整體觀”很重要．
根據(jù)上述分析，確定教學(xué)重點為：在研究已有函數(shù)實例的過程中，感受在兩個數(shù)集A，B之間所存在的對應(yīng)關(guān)系f，進(jìn)而用集合、對應(yīng)的語言刻畫這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念．
2．目標(biāo)和目標(biāo)解析
（1）通過豐富實例，建立函數(shù)概念的背景，使學(xué)生體會函數(shù)是描述兩個變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型；
（2）能用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個要素；
（3）會用恰當(dāng)?shù)姆绞矫枋鲆粋€具體函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；
（4）會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；
（5）通過從實例中抽象概括函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．
3．教學(xué)問題診斷分析
（1）由于學(xué)生在初中接觸的主要是用解析式表示的函數(shù)，他們對圖像、表格表示的函數(shù)，因為其對應(yīng)關(guān)系“說不出來”，所以往往認(rèn)為不是函數(shù)．因此，為了幫助學(xué)生認(rèn)識“對應(yīng)關(guān)系”這一函數(shù)概念的核心，應(yīng)當(dāng)特別重視“圖像、表格表示的對應(yīng)關(guān)系是什么”的教學(xué)．
（2）從以往的經(jīng)驗看，學(xué)生對解析式表示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識往往也不清晰，為此，應(yīng)當(dāng)加強用“等值語言”敘述函數(shù)解析式的訓(xùn)練．例如，函數(shù)y＝的對應(yīng)關(guān)系是“非負(fù)數(shù)與它的算術(shù)平方根對應(yīng)”，或者“正方形的面積與它的邊長對應(yīng)”等．
（3）對函數(shù)概念中的“每一個”、“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān)注不夠，領(lǐng)會不深．教學(xué)中，可以通過反例幫助學(xué)生理解，當(dāng)然，真正達(dá)到理解還需要有個過程．
因此，本課的難點主要是對抽象符號y＝f(x)的理解，尤其是對f的意義的理解．教學(xué)中應(yīng)利用具體函數(shù)例證，特別是圖像、表格表示的函數(shù)，使學(xué)生逐步體會對應(yīng)關(guān)系f的意義．
4．教學(xué)過程設(shè)計
（1）用集合、對應(yīng)語言定義函數(shù)
問題1 同學(xué)們在初中已學(xué)過“函數(shù)”，請你舉幾個函數(shù)的例子．
設(shè)計意圖：通過舉例來回顧“變量說”．教師根據(jù)學(xué)生所舉例子，引導(dǎo)他們明確分別用解析式、圖象、表格表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．如果學(xué)生所舉例子都是用解析式表示的，教師則問：“函數(shù)關(guān)系都是可以用解析式表示的嗎？”引導(dǎo)學(xué)生開闊思路，再舉一些用圖象、表格表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．教師也可以參與舉例，但是，讓學(xué)生來判斷教師舉出的例子是否能夠表示一個函數(shù)，并要求說明理由．
例1 圖1中的曲線記錄的是
（此例的功能與教科書中“臭氧層空洞面積關(guān)于時間的變化曲線”相同，但更貼近日常生活．）
圖1
例2 下面是某運動員在一次訓(xùn)練中射擊序號與中靶環(huán)數(shù)的對應(yīng)表：
| 序號 | 1 | 2 | 3 |
| 環(huán)數(shù) | 8 | 8 | 8 |
環(huán)數(shù)是序號的函數(shù)嗎？
學(xué)生正確說明后，再追問：“如果第三次脫靶，還表示函數(shù)嗎？”
例3 （教科書第15頁例1）如圖2，一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為
h＝130t－5t2．（*）
炮彈距地面高度h是時間t的函數(shù)嗎？為什么？
|
教師演示：在線段OD上畫一點M，過M作x軸的垂線，并作出與圖象的交點P，度量點M的橫坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)．隨著點M位置的改變，點M的橫坐標(biāo)x與點P縱坐標(biāo)y都在變化，但無論點M在哪個位置，點M的橫坐標(biāo)x總對應(yīng)唯一的點P縱坐標(biāo)y．由此，使學(xué)生體會，函數(shù)值y的變化依賴于自變量x的變化，而且由x的值唯一確定．炮彈飛行時間t的變化范圍是數(shù)集A＝{t|0≤t≤26}，炮彈距地面的高度的變化范圍是數(shù)集B＝{h|0≤h≤845}，從問題的實際意義可知，對于數(shù)集A中的任意一個時間t，按照對應(yīng)關(guān)系（*），在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應(yīng)．
問題2 （追問舉例的同學(xué)）你憑什么說自己舉的例子表示一個函數(shù)？其他同學(xué)也思考一下，他們所舉的是函數(shù)的例子嗎？為什么？
設(shè)計意圖：讓學(xué)生用概念解釋問題，了解他們對函數(shù)本質(zhì)的理解狀況．要注意突出“兩個變量x，y”，對于變量x的“每一個”確定的值，另一個變量y有“唯一”確定的值與x對應(yīng)，“y是x的函數(shù)”．特別要求學(xué)生指出對應(yīng)關(guān)系是什么？x取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個數(shù)集做準(zhǔn)備．
問題3 前面我們學(xué)習(xí)了“集合”，你能用“集合”和對應(yīng)的語言描述函數(shù)概念嗎？
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)過的函數(shù)概念與高一剛學(xué)的集合知識聯(lián)系起來，用集合的觀點解釋已有概念，獲得對函數(shù)概念的新認(rèn)識．
在學(xué)生用集合與對應(yīng)語言解釋“變量說”后，讓學(xué)生看書上的“對應(yīng)說”．
（2）認(rèn)識函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系
例1 填寫下列表格：
| 函數(shù) | 一次函數(shù) | 二次函數(shù) | 反比例函數(shù) | |
| a>0 | a<0 | |||
| 對應(yīng)關(guān)系 | | | | |
| 定義域 | | | | |
| 值 域 | | | | |
例2 函數(shù)y＝x2是的對應(yīng)關(guān)系是什么？你能用一個具體背景說明這一對應(yīng)關(guān)系嗎？
例3 已知函數(shù)f(x)＝＋．求 f(－)； f(x－4)的定義域．
例4 下列函數(shù)中哪個是與y＝x相同的函數(shù)，為什么？
（A）y＝（）2；（B）y＝（）3；（C）y＝；（D）y＝．
設(shè)計意圖：及時鞏固概念，學(xué)習(xí)用函數(shù)概念作判斷的“基本操作”．上述例題都采用讓學(xué)生先獨立完成再師生共同講評的方式完成．
練習(xí)1 請舉出對應(yīng)關(guān)系f只能用圖象或表格表示的函數(shù)例子，并用函數(shù)定義說明你舉的函數(shù)的確是函數(shù)．
練習(xí)2 圖3表示一個函數(shù)嗎？為什么？
圖3
練習(xí)3 課本第19頁練習(xí)2、3．
設(shè)計意圖：進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)概念中“三要素”的整體
性．兩函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)三要素相同．練習(xí)2是一個反
例，目的是認(rèn)識“對應(yīng)關(guān)系”的特點．
（3）自學(xué)“區(qū)間”概念
在研究函數(shù)時，常常需要用到“區(qū)間”概念．請大家閱讀課本第17頁，了解這個概念．
（4）小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對函數(shù)概念有了哪些新的認(rèn)識？還有哪些收獲？
要點：“對應(yīng)說”的概括過程；如何理解“對應(yīng)關(guān)系f”；等．
設(shè)計意圖：回顧函數(shù)概念的概括過程，體會通過歸納具體事例的共同本質(zhì)特征得出數(shù)學(xué)概念的方法；體會用函數(shù)概念描述變量之間依賴關(guān)系的過程與方法；體會抽象符號f：A→B的含義．
5．目標(biāo)檢測設(shè)計
（1）教科書第24頁習(xí)題1.2，A組，第1，2，3，4題．
（2）給定函數(shù)y＝x(x+2)（x＞0），請你用盡量多的具體情境解釋這個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．
（3）聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實際問題，舉出一些函數(shù)的實例．希望包括一些只能用圖象或表格表示的函數(shù)．
設(shè)計意圖：第（2）（3）題的目的是加深對“對應(yīng)關(guān)系”的理解．學(xué)生能舉出豐富的函數(shù)例子，是理解函數(shù)概念的重要標(biāo)志．
注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)（二） 第二部分 課后與任課教師的互動交流 為了及時對照課堂中發(fā)生的情況（“生成”）與教學(xué)設(shè)計（“設(shè)計”）的差異，增強教學(xué)反思的時效性，在本節(jié)課的教學(xué)結(jié)束后，我 章：對這個單元的教學(xué)目標(biāo)你是怎么認(rèn)識的？你心中的核心目標(biāo)是什么？ 陶：這個單元的教學(xué)目標(biāo)，“課標(biāo)”規(guī)定的是“能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用”、“了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域”、“了解映射的概念”、“會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)”、“通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用”．我以為，核心是理解“對應(yīng)關(guān)系”．通過教學(xué)要使學(xué)生體會到函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域是一個整體，這樣才能準(zhǔn)確、完整地刻畫兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系；函數(shù)的各種表示法、性質(zhì)等，都是圍繞函數(shù)概念展開的．當(dāng)然，這個核心目標(biāo)不是一節(jié)課能完成的． 章：你認(rèn)為高中生理解函數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)有哪些？ 陶：必須注意到，高中生不是首次接觸函數(shù)．在初中，學(xué)生已學(xué)過函數(shù)概念，認(rèn)識到函數(shù)研究的是變量之間的依賴關(guān)系；學(xué)習(xí)過函數(shù)的表示法；函數(shù)的圖象；并學(xué)過幾個具體的函數(shù)（正比例、反比例、一次、二次），對函數(shù)已有不少認(rèn)識．定義域、值域雖然沒有作為一個概念提出，但學(xué)生已從具體函數(shù)的應(yīng)用中體驗到自變量有取值范圍的限制，相應(yīng)地，因變量也有一定的取值范圍．這些都是重要的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)．初中物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)，也為學(xué)生用運動、變化觀點刻畫事物變化規(guī)律奠定了較好的知識和思想方法基礎(chǔ)．另外，隨著學(xué)生年齡增長、生活經(jīng)驗的增加，抽象邏輯思維能力的發(fā)展，他們抽象概括事物本質(zhì)的能力也得到很大增長．這些都為學(xué)習(xí)函數(shù)的“對應(yīng)說”提供了認(rèn)知基礎(chǔ)． 章：你認(rèn)為學(xué)生理解函數(shù)概念的難點在哪里？可以怎樣突破？ 陶：我以為，難點在于對抽象符號“f：A→B，y＝f(x)，x∈A，f(x)∈B”的理解，主要是符號太抽象了，尤其是對應(yīng)關(guān)系f到底是什么含義？突破的方法是，在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，充分利用初中學(xué)過的函數(shù)和生活實例，通過師生共同舉例、分析，讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)?yīng)關(guān)系f的含義（這是重中之重），體會限定變量x，y的變化范圍的必要性，體會在其變化范圍內(nèi)變量的依賴關(guān)系，進(jìn)而逐步使學(xué)生學(xué)會用數(shù)量關(guān)系刻畫兩個變量的依賴關(guān)系． 為了認(rèn)識抽象符號f(x)，應(yīng)當(dāng)特別注意采用從具體到抽象、從特殊到一般的方法，以大量的、形式多樣的實際問題為依托，使抽象符號f(x)具有堅實的具體背景，使學(xué)生更好地體會它所包含的具體信息：數(shù)集A中的數(shù)x在對應(yīng)法則f的作用下所對應(yīng)的數(shù)集B中的一個數(shù)． 章：在教學(xué)設(shè)計中，你考慮最多的問題是什么？你認(rèn)為把握好哪些就可以使學(xué)生理解好函數(shù)概念了？ 陶：我考慮最多的是，應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，找準(zhǔn)“變量說”與“對應(yīng)說”間的觀點差異，為學(xué)生設(shè)計適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知過程，順利實現(xiàn)從“變量說”到“對應(yīng)說”的螺旋上升．要圍繞“對應(yīng)關(guān)系”這一核心展開教學(xué)，要設(shè)法讓學(xué)生理解它的特點，特別是領(lǐng)悟“任意”“唯一”這些關(guān)鍵詞，這也是難點．難點的突破不是靠“定義+解釋”，也不僅是教師舉例、學(xué)生說明．教師要千方百計找好例子，也要讓學(xué)生舉例，并讓他們用函數(shù)定義分析、討論．讓學(xué)生在“說理——反駁”的過程中引發(fā)思維碰撞；在用定義對實例的抽絲剝繭過程中，感悟“對應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)特征．學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的體驗與感受，因此，我十分注重把學(xué)生引導(dǎo)到概念定義的過程中來，讓他們“卷入”到函數(shù)概念中去． 這里我特別想說說“好例子”的重要性．就像你說過的，“一個好例子勝過一千次說教”．我在教學(xué)設(shè)計中，例子的選擇確實下了大功夫．從學(xué)生的課堂表現(xiàn)看，股票指數(shù)圖、射擊命中表、讓學(xué)生構(gòu)建具體背景解釋y＝x2的對應(yīng)關(guān)系等，在學(xué)生感悟“對應(yīng)關(guān)系”中起了關(guān)鍵作用． 章：我注意到，你在課堂中特別重視讓學(xué)生自己舉例，而且問了許多“為什么”“憑什么”，請談?wù)勥@樣做的用意． 陶：讓學(xué)生舉例是為了讓學(xué)生參與到概念的形成過程中來，為概括函數(shù)的本質(zhì)特征提供豐富的背景基礎(chǔ)．學(xué)生在舉例時要考慮許多問題，比如：需要說明什么問題？哪些例子可以說明這個問題？哪個例子能切中要害？課堂實踐表明，學(xué)生會盡量舉與眾不同的例子，因此可以得到豐富、多樣的例子，學(xué)生可以從中得到相互啟發(fā)；有的學(xué)生舉的例子不確切，說明他的理解還不到位，正好可以用來糾正偏差；在說明自己的例子是函數(shù)的過程中必須使用概念，因而能深化學(xué)生的概念理解，提高學(xué)生的思維參與度．“你憑什么說你舉的例子是函數(shù)？”就是要促使學(xué)生“回到概念去”．?dāng)?shù)學(xué)思維的特點是用概念思維，是邏輯思維．多問“為什么”，可以暴露學(xué)生的思維過程，而不是滿足于獲得答案；可以培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的習(xí)慣；可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力．?dāng)?shù)學(xué)是思維科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維教學(xué)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力作為主要任務(wù)． 章：我看過你的教學(xué)設(shè)計，又聽了你的課，教學(xué)設(shè)計中的有些內(nèi)容在實際教學(xué)中并沒有出現(xiàn)．你是怎么考慮的？ 陶：教學(xué)設(shè)計中有求函數(shù)定義域的練習(xí)，時間來不及就不做了．也許有人認(rèn)為這堂課的教學(xué)任務(wù)沒有完成．毫無疑問，每堂都應(yīng)有一定的教學(xué)任務(wù)．但我認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)全面理解教學(xué)任務(wù)，其中以知識為載體的能力培養(yǎng)是最重要的任務(wù)，這是與數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”目標(biāo)緊密相關(guān)的． 另外，教學(xué)是動態(tài)生成的過程，課堂上必然會有課前難以預(yù)料的事情發(fā)生．比如，我沒有預(yù)料到，學(xué)生會在“射擊時脫靶是否有成績”上發(fā)生爭論，而這個問題的討論，對認(rèn)識概念的關(guān)鍵詞“每一個”“唯一確定”很有意義，當(dāng)時就覺得這個討論很值得；再如，當(dāng)學(xué)生對對應(yīng)關(guān)系f到底是什么還存在模糊認(rèn)識時，我舍得花時間，再通過實例加以認(rèn)識．在“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時，我會毫不猶豫地選擇“生成”．教學(xué)越民主，越尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，“教學(xué)任務(wù)沒有完成”的事就越容易發(fā)生．討論、交流活動是促進(jìn)學(xué)生思維深度參與的平臺，是感悟概念的機會，學(xué)生不僅訓(xùn)練了思維，加深了概念理解，培養(yǎng)說理、表達(dá)能力，而且還在不知不覺中學(xué)會了傾聽、尊重，身心健康也得到發(fā)展．所以我認(rèn)為對“完成”兩個字要有正確理解．那種為了把知識“交”給學(xué)生而中斷學(xué)生實質(zhì)性數(shù)學(xué)思維活動的“完成”，是得不償失的．
