譯者 | [遇見數(shù)學翻譯小組] 核心成員 Atena
編輯 | 公理
我們難免會遇到人生中這樣或那樣令你錯愕的場景，出乎預料的事情撲面砸來，職場、社會壓力、生活焦慮……真的很想熬過那個時間，克服或忘記曾發(fā)生過什么尷尬。
如果作為一個數(shù)學人，當原本以為嚴謹、精確的數(shù)學卻發(fā)生令你大失所望的事情，又該怎么面對呢？數(shù)學一直致力于對客觀世界的探求，無論是通過邏輯思考還是通過使用嚴格定義的數(shù)學語言去闡述的這種方式。不過當數(shù)學的世界在某一瞬間突然失去了這些意義后，還能夠用心去觀察數(shù)學，那么這就真的很有啟發(fā)性，富有教育的意義是多方面的。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
因為數(shù)學的嚴謹源自于古希臘，數(shù)學思想最初是緊密圍繞宗教信仰，因此，數(shù)被賦予了神圣的屬性。畢達哥拉斯學派，一個早期數(shù)學的神秘團體，它推動了數(shù)學知識的發(fā)展，像所有的狂熱者一樣，它建立在原教旨主義之上。他們?yōu)楸壤軌蜻\用到每個實際問題而感到震撼，因此相信比例都是神圣的，這樣他們也可以對世界上發(fā)生的任何事做出解釋。▲ 畢達哥拉斯主義者慶祝日出，F(xiàn)yodor Bronnikov作(圖自維基)那么相應的，引發(fā)第一次數(shù)學危機的根號2世界上發(fā)生的每一件事都應該用比例來表達，對吧？
現(xiàn)在想象一下，當剛問世不久的畢達哥拉斯定理得到應用，就發(fā)現(xiàn)了 時候的那種震驚。這個無理數(shù)（無理數(shù)即不能由兩個整數(shù)的比值來表示）顛覆了由比值的神圣性所表達的世界秩序，并向其整個哲學體系拋出了質(zhì)疑！無窮
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)把古希臘人領向了新的一個發(fā)現(xiàn)，它更為震懾人心，那就是：無窮！因為無理數(shù)的特征就是具有無窮數(shù)量的十進制數(shù)位，于是古希臘人當時必須構思出一個合理的解釋來說明怎樣創(chuàng)造無窮數(shù)量的數(shù)。即使是在現(xiàn)如今無窮的概念都很難去理解，更不用說在當時那個宗教與科學緊密相連的時代，而且數(shù)學里的信仰不能挑戰(zhàn)對上帝的認知。▲ 無限大的符號是1655年由英國數(shù)學家約翰·沃利斯開始使用所以，古希臘人是怎么做的呢？像亞里士多德和柏拉圖這樣的哲學家，他們反對絕對的無窮這種概念，于是有數(shù)學家們就想出了別出心裁的辦法來規(guī)避無窮在幾何里的發(fā)展，比如小亞細亞尼多斯的 歐多克索斯，他發(fā)明了窮舉法來計算面積。
17世紀牛頓和萊布尼茨通過運用無窮小量(Infinitesimals)來鼓勵重視無窮這個概念，但因不嚴格使用引來一些批評者的攻擊。直到 19 世紀后半葉，才由維爾特拉斯、康托爾和戴德金等人以極限概念為基礎來解決。芝諾悖論
當談及哲學推理的時候，古希臘人當然做出了巨大的貢獻。古希臘人的先輩赫拉克利特斷言世間萬事萬物都在不斷變化，之后，巴門尼德斷言并非如此。因此，運動純粹只是個幻象，于是即便用古希臘人所認為的描述真理的數(shù)學也不太可能。芝諾，巴門尼德的一位學生，構思出了一系列的悖論，目的是為了證明運動的無理性。其中最著名的一個，就是“阿喀琉斯與烏龜”：阿喀琉斯在追一只烏龜，而烏龜則是很緩慢的，但是給定一個條件即這只烏龜在起跑時領先阿喀琉斯100米。簡單來講，如果我們假定：這兩個競賽者的速度各自保持恒定，并且阿喀琉斯的速度是烏龜速度的十倍；于是我們可以說：當阿喀琉斯到達烏龜最開始的那個起點（即100米）時，由于烏龜已經(jīng)向前爬了10米，于是阿喀琉斯還得再跑10米為了能追上，接著當他到達這一個新起點的時候，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向這個1米……這道高中數(shù)學題，就這樣簡單明了，把我們引向了一個如下的悖論：阿喀琉斯永遠也追不上烏龜，無論他有多快。芝諾的這個悖論讓運動聽上去不符合邏輯。芝諾的悖論被相信存在于形而上學的領域，它困擾了哲學家和數(shù)學家很久，但是如今可以用微積分來解釋。而微積分學，這是古希臘人當時沒有掌握的數(shù)學工具。有趣的莫比烏斯帶，是由德國數(shù)學家、天文學家莫比烏斯和約翰·李斯丁在 1858 年獨立發(fā)現(xiàn)的。它是一個只有面和一條邊的曲面，常常被用來迷惑數(shù)學新生。
其實你也可以簡單地做一個莫比烏斯帶：拿一個紙條，扭一下然后把兩端連接起來。莫比烏斯帶，作為第一個不可定向標準范例，也沒有像其他那些發(fā)現(xiàn)那樣動搖數(shù)學的基礎，它反而是提供了很多實際應用，譬如一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子，或者用于制造磁帶，可以承載雙倍的信息量。也啟發(fā)了數(shù)學家們構想出更多不可定向曲面，譬如克萊因瓶。它的命名很可能來自于一個雙重巧合：德國數(shù)學家菲利克斯·克萊因提出這個概念，起初命名它為 Kleinsche Fl?che”(克萊因平面)，但后者發(fā)音與Flasche 很相似，而其發(fā)育在德語里的意思是“瓶”，后被廣為流傳，最終也沿用了“克萊因瓶”這種叫法。康托爾的實數(shù)集合不可數(shù)
解決無窮的難題已經(jīng)夠困難了，而康托爾在 1874 年證明了實際上有不同的無窮。尤其是證明了實數(shù)集合的不可數(shù)性，他證明了這個集合比自然數(shù)的現(xiàn)存無窮集要大一些。
▲ 康托爾的對角線法論證說明存在不可數(shù)集。比如底部的序列不會出現(xiàn)在上述序列的無限列表中的任何位置。(圖自維基)
1891年，康托爾給出了對角線法，通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，并將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是“一樣大”的。他引入了可數(shù)無窮的概念，用來指與自然數(shù)集合等勢的集合，并證明了有理數(shù)集合是可數(shù)無窮，而實數(shù)集合不是可數(shù)無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數(shù)等勢（從而不是可數(shù)無窮）的集合為不可數(shù)無窮。對角線法是一種如此優(yōu)雅的證明，后來被用作一種來證明悖論的工具。
羅素悖論
伯特蘭·羅素是一位數(shù)學家、哲學家、邏輯學家、歷史學家、作家、社會批評家、政治活動家，以及，在我看來，一位值得學習的人物，能從他身上受到啟發(fā)！1901年，羅素發(fā)現(xiàn)時至當時已是完善建立的康托集合論存在一個有瑕疵的地方，這把他引向了一個矛盾：任給一個性質(zhì)，滿足該性質(zhì)的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論。羅素悖論的一個更為通俗的例子叫作“理發(fā)師悖論”，如下：有一個小城，它有這樣一個規(guī)矩：凡是不給自己刮臉的人都要去找理發(fā)師刮臉。很尷尬的問題便是，那么誰來給理發(fā)師刮臉？這個發(fā)現(xiàn)讓羅素質(zhì)疑傳統(tǒng)集合論并開創(chuàng)了一個新的集合理論，比之后的策梅洛-弗蘭克爾集合論還要復雜。哥德爾不完備定理
庫爾特·哥德爾是奧匈帝國的一位邏輯學家、數(shù)學家和哲學家。他震撼了19世紀的數(shù)學與邏輯學，其最杰出的貢獻是哥德爾不完備定理和連續(xù)統(tǒng)假設的相對協(xié)調(diào)性證明。▲ Kurt G?del, 攝于1925(圖自維基)
我們正在討論的二十世紀，人們不僅僅是想知道，而且還想知道有沒有可能去了解并證明一個東西。人類想要了解宇宙，哥德爾在1931年發(fā)表了兩個定理，統(tǒng)稱哥德爾不完備定理。
解釋技術細節(jié)和接受結論一樣困難，正如哥德爾所證明的那樣，考慮一個相容且完備的系統(tǒng)，比如算術語言，有些命題都是真但無法被證明。哥德爾受到說謊者悖論（“這句話不能被證明”）的啟發(fā)，用了一個簡單的描述展示了他定理的正確性。如果為真，那么這個命題是真且不能被證；如果為假，那么這個命題能被證明，而這又與初始描述“這不能被證”相悖。這些對數(shù)學來說都是壞消息，因為剝奪了人們對于闡釋絕對真理的原始欲望。同時，希爾伯特式對知識的探求再度席卷而來，用他的話說就是：“我們必須知道，我們將會知道”。塔斯基不可定義定理
塔斯基受到了哥德爾的啟發(fā)，于1936年證明了我們無法在算術系統(tǒng)中定義何謂“算術的真理”。盡管塔斯基的發(fā)現(xiàn)也包含在哥德爾的成果之中，但可以說塔斯基所做的有更深遠的哲學影響力。他成功得出了這樣一個通用的結論，即：世上沒有任何直譯語言足以表達出它本身的語義。這個定理可被推廣成適用于任何足夠強的形式系統(tǒng)，以表明：我們無法在系統(tǒng)中定義何謂“系統(tǒng)標準模型的真理”。這對一個數(shù)學家來說，再企圖尋找”一種元語言去統(tǒng)領一切”是毫無意義的。停機問題
艾倫·圖靈曾嘗試解決“決策問題”。該問題用簡單的話描述就是：致力于找到一個算法它能夠回答一個命題是真是假。為了解決這個概念上看似簡單實際卻難以處理的問題，圖靈把它重新闡述為：是否能判斷任意一個程序是否能在有限的時間之內(nèi)結束運行。停機在這里的意思是不會永無止境的循環(huán)下去。但是，當你對這個機器知之甚少的時候，你怎樣證明它的不可行性？于是悖論又來了。艾倫·圖靈在1936年用對角論證法證明了，不存在解決停機問題的通用算法。這個證明的關鍵在于對計算機和程序的數(shù)學定義，這被稱為圖靈機。停機問題在圖靈機上是不可判定問題。這是最早提出的決定性問題之一。沒有免費的午餐定理
當我們這篇文章終于愉快地來到了 21 世紀的數(shù)學世界時，我們可以看到，數(shù)學，它從純數(shù)學、從哲思式的數(shù)學，有序邁向了應用領域，譬如數(shù)據(jù)科學、統(tǒng)計學以及最優(yōu)化。如果你認為自己很感興趣優(yōu)化，你不覺得這會讓你成為一個完美主義者么？而完美主義者不正是追尋最優(yōu)途徑去優(yōu)化事物么？似乎 David Wolpert 和 William Macready 感覺到了這樣的需求并且想出了一個解答。他們1997年發(fā)表的“沒有免費午餐定理” 指出的 ：任何兩個優(yōu)化算法都是等價的，當算法的性能在面向所有可能問題而趨于平均的時候。這也許會很心傷，但這不代表優(yōu)化是無謂的。我們只是從來都找不到一個通用的最優(yōu)方法去實現(xiàn)它。
▌結語
上面這些就是讓數(shù)學感到尷尬大事件，這里我們說尷尬這個詞，是對絕望、混亂的輕量級描述，而實際上這些紛繁問題都是數(shù)學家們經(jīng)歷過的內(nèi)心體驗。但無論怎樣，每一次撼動數(shù)學的問題也都是對科學向前發(fā)展的又一級助推。數(shù)學領域是靠創(chuàng)造維系發(fā)展的，我們有圖靈機，有很炫酷的幾何曲面。最重要是，我們擁有可以反復檢驗心中的預期以及相應于此去合理運用手頭工具的那種能力。這些曾充滿質(zhì)疑的偉大時刻幫助了人們能夠更睿智地繁衍生息與發(fā)展。
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