快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“迷人的數(shù)學(xué)世界”-華東師范大學(xué)出版社七年級上冊
宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，大千世界，天上人間，無處不有數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。
讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，去領(lǐng)略一下數(shù)學(xué)的風(fēng)采。
一、 數(shù)學(xué)是做什么的？
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。
數(shù)學(xué)與人類的活動息息相關(guān)，特別是隨著現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。
數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在社會科學(xué)與人文科學(xué)中發(fā)揮著越來越大的作用。
數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。
數(shù)學(xué)作為我們?nèi)姘l(fā)展的重要組成部分，一方面要掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，另一方面要從數(shù)學(xué)中培養(yǎng)自己的邏輯推理和創(chuàng)新思維。
數(shù)學(xué)課程具有公共基礎(chǔ)的地位，能使我們的整體素質(zhì)得到提高，從而使我們更好地全面、持續(xù)、和諧發(fā)展。
通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們要：
掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，
發(fā)展抽象思維和推理能力，
培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，
并在情感、態(tài)度與價值觀等方面都得到發(fā)展。
對數(shù)學(xué)課程，我們要體會到數(shù)學(xué)本身的特點，數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)；要掌握數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的搭建規(guī)律；對數(shù)學(xué)應(yīng)具有的情感和態(tài)度，樹立對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣；要在掌握作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，更要重視自己已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。
二、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本理念
人人都能具備良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，不同的人在數(shù)學(xué)上會得到不同的發(fā)展。
對數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容，要想想，反映社會的什么需要、數(shù)學(xué)學(xué)科的什么特征，與已有知識有什么聯(lián)系的規(guī)律。
數(shù)學(xué)，不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要聯(lián)系生活實際，從而才能進(jìn)行體驗、思考與探索。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系。應(yīng)注意數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的層次性和各層次的關(guān)系和多樣性及各種類知識之間的聯(lián)系。
學(xué)校的數(shù)學(xué)課，是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。要記?。?b style="mso-bidi-font-weight: normal">我們自己才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，教師是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。
獲得知識，可以通過接受課堂學(xué)習(xí)，也可以通過自主探索等方式，但必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上；應(yīng)用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐；在獲得知識技能的過程中，只有親身參與學(xué)校教師精心設(shè)計的教學(xué)活動，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要建立學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)習(xí)積極性，愛進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性思維；要建立學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受課堂學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。每天要安排有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。
我們要培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力、養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，能自己理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
考試的主要目的是為了全面了解自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵自己更努力學(xué)習(xí)和改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。要多角度評價自己的考試分?jǐn)?shù)。不能只關(guān)注分?jǐn)?shù)的結(jié)果，更要關(guān)注丟分的類型；正確評價自己現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要評價自己在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，從而幫助自己認(rèn)識自我、建立信心。如，要思考評價以下情況：是否積極參與學(xué)校課堂教學(xué)過程？是否勇于探索、創(chuàng)新？是否感受數(shù)學(xué)的價值？如何使自己愿意學(xué)，喜歡學(xué)，對數(shù)學(xué)感興趣？是否體驗成功的喜悅，從而增強(qiáng)自信心？是否善于與同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意見，又能獨(dú)立思考、大膽質(zhì)疑？是否讓自己做自己能做的事，并對自己做的事情負(fù)責(zé)？是否鍛煉克服困難的意志？是否培養(yǎng)了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？
把現(xiàn)代信息技術(shù)作為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)學(xué)習(xí)的方式，使自己更樂意投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。
三、 數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容
數(shù)學(xué)課程有四個方面的內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計與概率”，“綜合與實踐”。
◆數(shù)與代數(shù)
“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認(rèn)識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運(yùn)算，數(shù)量的估計；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算；方程、不等式，及以后要學(xué)習(xí)的方程組、函數(shù)等。
在“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。
數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計、數(shù)量關(guān)系等方面的感悟。建立數(shù)感有助于我們理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。
符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。建立符號意識有助于我們理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。
運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力還有助于我們理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題。
建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于我們初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識。
◆圖形與幾何
“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面的基本圖形，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，及以后要學(xué)習(xí)的相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動。
在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)建立空間觀念，注重培養(yǎng)自己的幾何直觀與推理能力。
空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。
推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運(yùn)算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。
◆統(tǒng)計與概率
“統(tǒng)計與概率”主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，以及以后要學(xué)習(xí)的極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的推斷；簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率。
在“統(tǒng)計與概率”中，我們應(yīng)逐漸建立起數(shù)據(jù)分析觀念，了解隨機(jī)現(xiàn)象。
數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)涵著信息的；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
在概率的學(xué)習(xí)中，了解隨機(jī)現(xiàn)象是重要的。學(xué)習(xí)中所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象都基于簡單隨機(jī)事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。
◆綜合與實踐
“綜合與實踐”是一類以問題為載體、多人共同參與的學(xué)習(xí)活動，是幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑。針對問題情境，我們綜合所學(xué)的知識和生活經(jīng)驗，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實際之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。
四、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的總體目標(biāo)
通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們能：
1. 獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。
2. 體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。
3. 了解數(shù)學(xué)的價值，激發(fā)好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學(xué)態(tài)度。
總體目標(biāo)從以下四個方面具體闡述：
知識技能 | ●經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能。 ●經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。 ●經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識和基本技能。 ●參與綜合實踐活動，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。 |
數(shù)學(xué)思考 | ●建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。 ●體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象。 ●在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。 ●學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。 |
問題 解決 | ●初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，發(fā)展應(yīng)用意識和實踐能力。 ●獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。 ●學(xué)會與他人合作交流。 ●初步形成評價與反思的意識。 |
情感態(tài)度 | ●積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲。 ●體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 ●體會數(shù)學(xué)的特點，了解數(shù)學(xué)的價值。 ●養(yǎng)成質(zhì)疑的習(xí)慣，形成實事求是的態(tài)度。 |
總體目標(biāo)的這四個方面，不是互相獨(dú)立和割裂的，而是一個密切聯(lián)系、相互交融的有機(jī)整體。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中和對自己進(jìn)行評價時，應(yīng)同時兼顧這四個方面的目標(biāo)。這些目標(biāo)的整體實現(xiàn)，是我們受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志，它對我們的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展，有著重要的意義。數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識技能的學(xué)習(xí)，知識技能的學(xué)習(xí)必須有利于其他三個目標(biāo)的實現(xiàn)。
四、 七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)
學(xué)習(xí)目標(biāo)使用“了解、理解、掌握、運(yùn)用、經(jīng)歷、體驗、探索”等術(shù)語。這些詞的基本含義如下。
了解：從具體事例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象。同類詞：認(rèn)識，知道，說出，辨認(rèn)，識別。實例：識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。
理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。同類詞：會。實例：會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。
掌握：在理解的基礎(chǔ)上，把對象用于新的情境。同類詞：能。實例：能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。
運(yùn)用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。同類詞：證明。實例：證明：兩直線平行，則同位角相等。
經(jīng)歷：在特定的數(shù)學(xué)活動中，獲得一些感性認(rèn)識。同類詞：感受。實例：在具體情境中感受負(fù)數(shù)的意義。
體驗：參與特定的數(shù)學(xué)活動，主動認(rèn)識或驗證對象的特征，獲得經(jīng)驗。同類詞：體會。實例：通過實例體會反證法的含義。
探索：獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得理性認(rèn)識。
（一）數(shù)與式
1．有理數(shù)
（1）理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小。
（2）借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法，知道｜a｜的含義（a表示有理數(shù)）。
（3）理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算(三步以內(nèi)必須快速、準(zhǔn)確)。
（4）理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。
（5）能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的問題（如例1）。
例1 災(zāi)害預(yù)案。
一次水災(zāi)中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災(zāi)情持續(xù)一個月，大約需要籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？
[說明] 解決此問題需要在一定的假設(shè)條件下，進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算，最后給出估計。
例如，假定一頂帳篷可以住10個人，需要2萬頂；假如要保證一個家庭住一頂帳篷，每個家庭4口人，需要5萬頂。假定平均每人每天需要
2．代數(shù)式
（1）在現(xiàn)實情境中，借助代數(shù)式進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義（如例2）。
例2 結(jié)合實例解釋
[說明] 希望學(xué)生理解用字母表示的代數(shù)式是有一般意義的。a可以表示數(shù)量，例如葡萄的價格是每千克3元，則
（2）能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示（如例3-1、例3-2）。
例3-1 一條河流的水流速度為每小時2.5千米，描述河流中行船實際行走的速度。
[說明] 解決這個問題需要借助符號表述結(jié)果，可以使我們理解運(yùn)用符號的表示具有一般性，有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程，形成模型思想。因為解決問題時需要分順?biāo)写湍嫠写瑑煞N情況，所以可以培養(yǎng)我們在解決實際問題中，盡量把問題考慮全面。
有兩種方法供參考：先從具體數(shù)據(jù)出發(fā)尋找規(guī)律，然后給出一般表述；先給出一般表述，然后用具體數(shù)據(jù)驗證。無論用哪種方法，都要注意下面兩點：從語言表達(dá)過渡到符號表達(dá)；用具體數(shù)據(jù)計算來驗證表達(dá)結(jié)果。
例3-2 探索數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律。
求1+3+5+…+19=？
此題的目的當(dāng)然不是希望通過加法運(yùn)算得到結(jié)果，而是希望通過求解的過程歸納出規(guī)律，最終預(yù)測出一般性的結(jié)果并驗證?？梢杂懈鞣N途徑探索規(guī)律，但在本質(zhì)上有兩條基本途徑：由簡單到復(fù)雜；利用已知的公式。
（1）由簡單到復(fù)雜。從題目的最簡單的情況開始計算，探索規(guī)律：
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
會發(fā)現(xiàn)上述計算結(jié)果均為平方數(shù)，甚至可能會發(fā)現(xiàn)均為算式中因子個數(shù)的平方，于是可以預(yù)測
1+3+5+…+19=102=100
這個時候，考慮奇數(shù)的符號表達(dá)，考慮這個表達(dá)與題目中因子個數(shù)的關(guān)系，然后可以得到一般的結(jié)論：
1+3+5+7+…+(2n -1)= n2
最后用數(shù)學(xué)歸納法等驗證這個結(jié)論。
這種由最簡單情況出發(fā)探索規(guī)律的方法似乎非常笨拙，但在數(shù)學(xué)探究中往往是最有效的方法。在解決此類問題的過程中要關(guān)注：分析計算結(jié)果的數(shù)量關(guān)系，尋求規(guī)律、提出猜想、符號表達(dá)、驗證規(guī)律。
我們還可以通過下面的點陣，從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
可以看到，圖中的折線中得到的就是平方數(shù)，用算式表達(dá)出來，然后得到一般的結(jié)論。
（2）利用已知結(jié)果。如果已經(jīng)知道自然數(shù)前n項和的公式：
1+2+3+…+
則可以計算偶數(shù)的前n項和的公式：
2+4+6+…+2
=
于是奇數(shù)的前n項和的公式為：
=
=
第二種方法看起來比較簡潔，但是從尋找規(guī)律的角度考慮，采用第一種方法更合適。第二種方法利于理解數(shù)學(xué)符號的意義，培養(yǎng)推導(dǎo)公式的能力。因此，在解決問題的過程中，要根據(jù)實際問題的不同采用不同的途徑。
（3）會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算。
3．整式
（1）了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（包括在計算器上表示）。
（2）了解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算；能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）。
（二）方程與不等式
1．方程
（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型（如例4）。
例4 在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子？
[說明]事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在小學(xué)討論過的方法是基于四則運(yùn)算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。我們從不同的角度思考同一個問題，有利于進(jìn)行比較，加深對于模型的理解。
利用一元一次方程解決此問題時，可以通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于理解方程的意義，體會建模的過程。假設(shè)椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為16-a：
椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù)
a =16 16-a =0
a =15 16-a =1
a =14 16-a =2
這樣，合題意的方程為
對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設(shè)椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個方程a+b=16和
從上面的討論可以看到，用四則運(yùn)算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。
（2）經(jīng)歷心算、畫圖等估計方程解的過程。
（3）掌握等式的基本性質(zhì)。
（4）能解一元一次方程。
（5）能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。
2．不等式與不等式組
（1）結(jié)合具體問題，了解不等式的意義。
（2）能解簡單的一元一次不等式；會確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。
（3）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。
（一）圖形的性質(zhì)[1]
1．點、線、面、角
（1）通過實物和具體模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等（如例5）。
例5 從一個側(cè)面為正方形的長方體實物中抽象出長方體、長方形、正方形、線段和頂點。
[說明] 我們在日常生活中見到的物體都是立體的，而在紙上畫出的圖形都是平面的，這是一類很重要的抽象。特別是把物體表面分解，有利于培養(yǎng)空間觀念。
（2）會比較線段的大小，理解線段的和、差，以及線段中點的意義。
（3）直觀地了解平面上兩條直線（不重合，下同）之間的關(guān)系：相交與不相交。
（4）掌握基本事實：兩點確定一條直線。
（5）掌握基本事實：兩點間直線段最短。
（6）理解兩點間距離的意義，能度量兩點之間的距離。
（7）理解角的概念，能比較角的大小。
（8）認(rèn)識度、分、秒，會對度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并計算角的和、差。
2．相交線與平行線
（1）理解對頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)（如例6）。
例6 探索并掌握“對頂角相等”。
[說明] 通過此題可知道，研究圖形的性質(zhì)可以用不同的方法。
方法一：如圖，如果∠AOB=50°，可以算得∠A′OB=130°，∠A′OB′=50°，∠B′OA=130°；若改變∠AOB的度數(shù)，同樣可以算∠A′OB，∠A′OB′，∠B′OA′的度數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)∠AOB與∠A′O B′，以及∠A′OB與∠B′OA的大小相等可能具有一般規(guī)律。這是用不完全歸納（合情推理）的方法，猜想“對頂角相等”。
方法二：用硬紙片制作一個角，把這個角放在白紙上，描出∠AOB；再把∠AOB繞著點O 旋轉(zhuǎn)180°到∠A′OB′的位置，即OA與OA′在同一條直線上，OB與OB′在同一條直線上（如圖），因此∠AOB與∠A′O B′是對頂角，且它們的大小相等。這是用圖形運(yùn)動的方法證明“對頂角相等”。
方法三：利用“同角的補(bǔ)角相等” ，用演繹推理的方法證明“對頂角相等”。
（2）理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線。
（3）理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。
（4）掌握基本事實：過一點有且只有一條直線與這條直線垂直。
（5）識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。
（6）理解平行線概念；掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。
（7）掌握基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。
（8）掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等；了解該定理的證明（如例7）。
例7 證明：兩直線平行，則同位角相等。
[說明] 這個證明可以利用反證法完成，一方面了解結(jié)論的證明，另一方面可以幫助我們了解反證法。如圖所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設(shè)∠1≠∠2，過點O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個基本事實，可得A′B′∥CD。這樣，過點O就有兩條直線AB、A′B′平行于CD，這與基本事實“過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對的，于是有∠1＝∠2。
（9）能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
（10）探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么兩直線平行；平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。
（11）了解平行于同一條直線的兩條直線平行。
3．三角形
（1）理解三角形及其內(nèi)角、外角等概念，會按照邊長的關(guān)系和角的大小對三角形進(jìn)行分類，了解三角形的穩(wěn)定性。
（2）探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
（10）了解等腰三角形的概念，等腰三角形的兩底角相等；等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形（或有一個角是60°的等腰三角形）是等邊三角形。
（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形。
4．定義、定理
（1）了解定義、定理、推論的意義。
（2）知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，學(xué)會綜合法證明的格式。
（3）通過實例體會反證法的含義。了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一句話是錯誤的。
（二）圖形的變化
圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移，在小學(xué)已經(jīng)初步學(xué)習(xí)過，在有關(guān)圖形、幾何的問題中，要善于用圖形的變化來思考。這些內(nèi)容在初中階段，還會進(jìn)行更深一層次的學(xué)習(xí)。
1．通過對有關(guān)問題的探討，了解所學(xué)過的數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率知識之間的關(guān)聯(lián)，加深對有關(guān)知識的理解。
2．進(jìn)一步經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
3．結(jié)合實際背景，在給定目標(biāo)下，設(shè)計解決問題的方案，進(jìn)一步體驗分析問題和解決問題的過程，發(fā)展應(yīng)用意識和能力。（如例8、例9）
例8 空間想象與分類計數(shù)。
將一個邊長為4的正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成64個邊長為1的小正方體。
（1）求一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
（2）將正方體的邊長改為5，表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體，求一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
（3）將正方體的邊長改為a（a是正整數(shù)）表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體，求一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
（4）將正方體改成長、寬、高分別為3、4、5的長方體，表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體，求一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
（5）將正方體改成長、寬、高分別為a、b、c的長方體(a、b、c均為正整數(shù))，表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體，求一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
[說明] 本活動可以培養(yǎng)空間想象力，積累由特殊到一般、尋找規(guī)律的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。在逐漸深入的探討過程中，要把握問題的共性，從而得到一般性的結(jié)論。
例9 從年歷中想到的。
觀察幾個年份的年歷、月歷，思考下面幾個問題：
（1）在一年的月歷中，哪些月份的“月歷表”是基本一致的？
（2）有一種計算機(jī)病毒叫“黑色的星期五”，當(dāng)計算機(jī)的日期是13日又是星期五時，這種病毒就發(fā)作。請找出最近的5個使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。
（3）許多人都認(rèn)為，“辦喜事”最好的日子應(yīng)該是“
（4）印刷廠需要印刷整張的年歷，不寫標(biāo)題的年號的整張的被稱為“年歷模版”。設(shè)想，只需要多少種不同的年歷模版，就能保證不管是哪一年，都能找到一個對應(yīng)的模版，添上年號后就可以印刷年歷了？（不考慮農(nóng)歷）。
（5）我們用大寫字母表示一個3
A =
稱這樣的數(shù)表為“3階方陣”，那么，在一個月歷表里可以得到幾個3階方陣？
用T（A）表示A中9個數(shù)的和，并稱之為3階方陣的“特征數(shù)”。請在今年的月歷表里找出使得特征數(shù)最大的、最小的3階方陣。有人說：“由月歷表生成的3階方陣的特征數(shù)完全由A所包含的某一個數(shù)（如
[說明] 這是一個通過對日常生活觀察、發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律的開放性問題，可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，提出不同層次的問題。每一個問題的提出和解決，都是為了學(xué)會觀察、思考和質(zhì)疑，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會模型思想。
問題（1）是讓我們學(xué)會觀察、學(xué)會提問題。這個問題的入手點低，都能參與，都能有所發(fā)現(xiàn)。并且可以培養(yǎng)“分類討論”的意識，分平年和閏年：平年時，1、10月；2、3、11月；4、7月；9、12月的月歷表基本一致；閏年時，1、4、7月；2、8月；3、11月；9、12月的月歷表基本一致。在貌似雜亂無章中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律感悟周期現(xiàn)象。
問題（2）中最近的幾個“黑色的星期五”是：
問題（3）中最近的幾個“
問題（4）討論印刷年歷模板的問題?？梢赃@樣思考：平年的
問題（5）中，特征數(shù)最大、最小的3階方陣分別是：
A =
對應(yīng)的特征數(shù)分別為：T（A）= 207和T（B）= 81。
“由月歷表生成的3階方陣的特征數(shù)完全由A所包含的某一個數(shù)（如
考慮數(shù)
A =
則可以得到T（A）=
由上面的證明，還可以發(fā)現(xiàn)T（A）都是9的倍數(shù)。
五、關(guān)于課本第一章《走進(jìn)數(shù)學(xué)世界》
第一節(jié)《與數(shù)學(xué)交朋友》，就是說明數(shù)學(xué)與我們的日常生活、人類的各種活動，都有密切的關(guān)系，從而體會數(shù)學(xué)的價值。
并通過兩位科學(xué)家的故事，告訴我們：只要通過努力，人人都能學(xué)好數(shù)學(xué)。
華羅庚說“聰明在于學(xué)習(xí)，天才在于積累”。就是告訴我們，智商是可以鍛煉出來的，沒有人天生就會得多、懂得多；只要認(rèn)真學(xué)習(xí)，我們每個人都會變得越來越聰明，只要注重積累，我們每個人都是天才。
華羅庚15歲輟學(xué)，只相當(dāng)于初中學(xué)歷，左腿還瘸了，用六年半的時間自學(xué)完成了8年的學(xué)校課程，到了20歲就發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文，并成為舉世公認(rèn)的大數(shù)學(xué)家。
通過華羅庚的故事，可以知道，刻苦鉆研是成功的基石，天生智商再高，以前學(xué)習(xí)再好，沒有了刻苦，最終得到的只會是失敗。
通過華羅庚的故事，多余老師還要告訴你們：
1、 數(shù)學(xué)真的很簡單。初中學(xué)歷一樣成為大數(shù)學(xué)家。
2、 自學(xué)真的很重要。自主學(xué)習(xí)就是刻苦鉆研的一種具體表現(xiàn)。
課本還舉了陳景潤的例子，但多余老師把陳景潤當(dāng)做一個反面的例子。因為他的世界里，只有數(shù)學(xué)，而且還只能是個人進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。我們應(yīng)該做到全面發(fā)展，首先學(xué)會做人，學(xué)會與他人合作。
課本又舉了一個生活實例，說明學(xué)好數(shù)學(xué)，除了要對數(shù)學(xué)有興趣，要有刻苦鉆研的精神，要善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，要善于獨(dú)立思考。還要把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際問題，即知識要和實踐相結(jié)合。
第二節(jié)《讓我們來做數(shù)學(xué)》，就是告訴我們，在解決具體問題時，要用到的一些數(shù)學(xué)思想和方法。
在數(shù)3×3的方格圖案中有多少個正方形的問題中，用到了“分類”的數(shù)學(xué)思想和方法。想一想，我們從小學(xué)一年級開始，數(shù)學(xué)課中是不是經(jīng)常要進(jìn)行“分類”？
“分類”的目的是什么？在數(shù)正方形的問題中，分類的目的就是讓數(shù)數(shù)的事情“變得有順序”，數(shù)數(shù)的過程能“完整、不遺漏、不重復(fù)”。 想一想，在初一上學(xué)期，我們都經(jīng)歷過哪些分類？每一次分類的目的和好處是什么？
在3×3的“九宮格”里填1到9這9個數(shù)，使得每行、每列及對角線上三數(shù)之和都相等的這個問題中，為什么要首先考慮中間的方格？為什么會是5填在中間的方格里？這就涉及到了“從眾多同時存在的數(shù)量關(guān)系中，找出最具影響力的一個元素”，這是一個非常重要的數(shù)學(xué)能力和習(xí)慣。為什么我們說理科好的人，做事情快速、準(zhǔn)確？就是這個能力強(qiáng)，就是這個習(xí)慣好。
課本上有這樣的一道習(xí)題：運(yùn)用加、減、乘、除四種運(yùn)算和括號，如何由三個5和一個1得到24？（每個數(shù)只能用一次）
此題，相當(dāng)多的中學(xué)生不會做，而且還不知道這是初一數(shù)學(xué)課本上的一道題。你怎么樣呢？
不管什么問題，具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，第一考慮的就是“能不能把問題變得簡單”？“簡單化”是非常核心的數(shù)學(xué)思想。
針對本題，如何使思考變得簡單？
從三個5一個1開始想，變化很多，嘗試二三，發(fā)現(xiàn)解決不了，怎么辦？
從24開始考慮，這一下使思考時，參與的元素一下變少了。這就是數(shù)學(xué)的“逆向思維”，從已知條件出發(fā)、從正面解決，解決困難時，可以從我們要達(dá)到的目的入手、從逆向角度解決。
“逆向思維”，不只是在數(shù)學(xué)中使用，數(shù)學(xué)只是提煉出思維，然后思維就可以運(yùn)用到各個學(xué)科，生活的各個方面。你能舉出現(xiàn)實生活中，使用“逆向思維”解決問題的實例嗎？
話歸正傳，從24開始考慮，與1結(jié)合，有23、25、24三種結(jié)果，用三個5都組合不出來。那就讓24與5結(jié)合，有19、29、120、24/5四種結(jié)果，用兩個5一個1來組合，你會終于發(fā)現(xiàn)，只有24/5能組合出來，就是24/5=5-1/5。
于是問題得到解決：（5-1/5）×5=24。
數(shù)學(xué)真奇妙，數(shù)學(xué)真有趣、數(shù)學(xué)真簡單、數(shù)學(xué)真有用。走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，也就走進(jìn)了世界的數(shù)字！
