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高中數(shù)學(xué)：一道向量問題的多角度分析

2019.10.15

如下圖，與的夾角為150°，與的夾角為30°，，用表示。

分析1：由平面向量的基本定理，設(shè)，通過構(gòu)造數(shù)量積，列方程解得。

解法1：設(shè)（），兩邊同時乘以向量得。

∴。

由已知得，即。①

而與的夾角為150°－30°=120°，同理在等式兩邊同時乘以向量得。

∴

由已知得，即。②

由①②可得：

分析2：把向量在與方向上分解，構(gòu)造平行四邊形，借助正弦定理求得（如下圖所示）。

解法2：以與所在直線為鄰邊，為對角線作平行四邊形，則。由已知，且（），與同向，與同向，所以，。

由正弦定理得：，即。

，可得

分析3：向理可以用坐標表示，因此可建立直角坐標系，轉(zhuǎn)化為坐標運算。

解法3：如下圖所示，以O為原點，方向為x軸建立直角坐標系xOy，得A（1，0），B（cos150°，sin150°），C（5cos30°，5sin30°）。

由，得（5cos30°，5sin30°）=（1，0）+（cos150°，sin150°）。

，即

，可得。

上述三種解法，雖然一目了然，但繁簡不一。一道向量問題通過多角度的認識，使思維的方法與知識的應(yīng)用各不相同。一題多思，值得同學(xué)們嘗試，它有益于知識的對比，更有利于思維批判性的養(yǎng)成。

▍ 來源：綜合網(wǎng)絡(luò)

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